重庆开州区2023-2024学年数学八年级第一学期期末考试试题【含解析】

这是一份重庆开州区2023-2024学年数学八年级第一学期期末考试试题【含解析】，共19页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（ ）
A．24B．21C．18D．16
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，5 cm，8cm B．3 cm，3 cm，6 cm
C．3 cm，4 cm，5 cm D．1 cm，2cm，3 cm
3．如果分式方程的解是，则的值是（ ）
A．3B．2C．-2D．-3
4．如图，中，的垂直平分线与的角平分线相交于点，垂足为点，若，则（ ）
A．B．C．D．不能确定
5．方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（ ）
A．5，1B．3，1C．3，2D．4，2
6．如图所示，在中，，平分，交于点D，，，DE⊥AB，则（ ）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，以下说法错误的是（ ）
A．AC＝2CDB．AD＝2CDC．AD＝3BDD．AB＝2BC
8．如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（ ）
A．22B．16C．18D．20
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．如图，已知△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，△ADE绕顶点A旋转，连接BD，CE．以下四个结论：
①BD=CE；②∠AEC+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______．
12．判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成______；______；______；______；______．
13．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=_____°．
14．图1是小慧在“天猫•双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅.档位调节示意图如图2所示，己知两支脚分米，分米，为上固定连接点，靠背分米.档位为Ⅰ档时，，档位为Ⅱ档时，.当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端向后靠的水平距离（即）为______分米．
15．某学生数学学科课堂表现为分，平时作业为分，期末考试为分，若这三项成绩分别按，，的比例计入总评成绩，则该学生数学学科总评成绩是_______分．
16．点A（，）在轴上，则点A的坐标为______.
17．已知，，则________．
18．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)
(1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为________；
(2)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
20．（6分）如图，，点、分别在边、上，且，请问吗？为什么？
21．（6分）请你先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
22．（8分）如图，在中，，分别是边，上的点，且．求证：四边形为平行四边形．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上．
（1）画出关于轴对称的；
（2）在轴上找到一点，使得最小．
24．（8分）某电器商场销售进价分别为120元、190元的两种型号的电风扇，如下表所示是近二周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）：
（1）求两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若商场再购进这两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完，该商场能否实现这两批电风扇的总利润为8240元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
25．（10分）如图，在中，，以为直角边作等腰，，斜边交于点．

（1）如图1，若，，作于，求线段的长；
（2）如图2，作，且，连接，且为中点，求证：．
26．（10分）因式分解：
(1)
(2)
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为16cm，
∴AB＋BD＋DA＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝16cm，
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝16＋8＝24（cm），
故选：A．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2、C
【解析】三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行解答即可.
【详解】解：2cm+5 cm＜8cm，A不能组成三角形；
3cm+3cm＝6cm，B不能组成三角形；
3cm+4cm＞5cm，C能组成三角形；
1cm+2cm＝3cm，D不能组成三角形；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系.
3、C
【分析】先把代入原方程，可得关于a的方程，再解方程即得答案．
【详解】解：∵方程的解是，∴，解得：a=﹣1．
经检验，a=﹣1符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的解及其解法，属于基本题型，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．
4、B
【分析】首先过点D作DF⊥AB于E，DF⊥AC于F，易证得Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），即可得∠BDC=∠EDF，又由∠EAF+∠EDF=180°，即可求得答案．
【详解】解：过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BOC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
∴∠EAF+∠EDF=180°，
∵∠BAC=84°，
∴∠BDC=∠EDF=96°，
故选：B．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
5、A
【分析】把x=2代入x+y=3中求出y的值，确定出2x+y的值即可．
【详解】解：把x=2代入x+y=3中，得：y=1，
把x=2，y=1代入得：2x+y=4+1=5，
故选：A．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6、C
【分析】根据线段的和差即可求得DC，再根据角平分线的性质即可得出DE=DC．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，平分，DE⊥AB，
∴DE=DC=6cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线的性质．角平分线上的点到角两边距离相等．
7、B
【解析】在Rt△ABC 中，由∠A的度数求出∠B的度数，在Rt△BCD中，可得出∠BCD度数为30°，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，得到BC=2BD，由BD的长求出BC的长，在Rt△ABC中，同理得到AB=2BC，于是得到结论．
【详解】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC；
∵CD⊥AB，
∴AC＝2CD，
∴∠B＝60°，又CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，CD＝BD，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，AD＝CD＝3BD，
故选：B．
【点睛】
此题考查了含30°角直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质是解本题的关键．
8、D
【分析】根据平行四边形的性质，得到AO=6，利用勾股定理求出BO=10，然后求出BD的长度即可.
【详解】解：∵ABCD是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴△ABO是直角三角形，
∴，
∴；
故选：D.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，正确求出BO的长度.
9、C
【分析】分为三种情况：①AP=OP，②AP=OA，③OA=OP，分别画出即可．
【详解】如图，
分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论.
∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个.
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解．
10、C
【分析】①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；②由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠ABD=∠ACE就可以得出结论；③由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠CFG=90°，进而得出结论； ④由∠BAE+∠EAD+∠DAC+∠BAC=360，即可得出结论．
【详解】①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∴①正确；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°．
∴∠ACE+∠DBC=45°，
而∠ACE与∠AEC不一定相等，∴②错误；
③设BD与CE、AC的交点分别为F、G，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∠AGB=∠FGC，
∵∠CAB=90°，
∴∠BAG=∠CFG=90°，
∴BD⊥CE，∴③正确；
④∵∠BAE+∠EAD+∠DAC+∠BAC=360，
∠EAD=∠BAC=90°，
∴∠BAE +∠DAC =360-90°-90°=180，∴④正确；
综上，①③④正确，共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、且
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．
【详解】关于的一元二次方程有实数根
∴
∴，即且．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．
12、SSS； AAS； SAS； ． ASA； HL
【解析】试题解析：判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成 SSS； AAS； SAS； ASA； HL．
13、1．
【详解】试题分析：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，∠AED=90°，
∴∠A=∠ABD，∵∠ADE=40°，
∴∠A=90°﹣40°=50°，
∴∠ABD=∠A=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=65°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=1°．
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
14、1
【分析】如图，作AN⊥BC，交PO于G点，延长GO，交DE于H，交D’F于M，根据等腰三角形的性质得到NC的长，故得到cs∠ABN的值，根据题意知GO∥BC，DO∥AB，可得到cs∠DOH=cs∠ABN，根据即可得到OH的长，又，可得∠D’OM=∠OAG，再求出cs∠OAG=即可求出OM，故可得到EF的长．
【详解】如图，作AN⊥BC，交PO于G点，延长GO，交DE于H，交D’F于M，
∵，，
∴BN=CN=6，AN=
∴cs∠ABN=,
根据题意得GO∥BC，DO∥AB，
∴∠DOH=∠APG=∠ABG
∴cs∠DOH=cs∠ABN
∴cs∠DOH= =
∴OH=6，
由，
∴∠AOG+∠D’OM=90°,又∠AOG+∠OAG =90°
∴∠D’OM=∠OAG，
∵cs∠OAG==
∴cs∠D’OM ==
∴OM=8
∴HM=1,
则EF=1，
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的定义进行求解．
15、92.1
【分析】根据加权平均数的计算方法可以求得该生数学学科总评成绩，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
95×30%+92×30%+90×40%=92.1（分），
故答案为：92.1.
【点睛】
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
16、（0，-1）
【解析】已知点A（3a-1，1-6a）在y轴上，可得3a-1=0，解得 ，所以3a-1=0，1-6a=-1，即A的坐标为（0，-1）.
17、1
【分析】根据同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=1
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用是解决此题的关键．
18、11
【分析】连接AD，交EF于点M，根据的垂直平分线是可知CM=AM，求周长的最小值及求CM+DM的最小值，当A、M、D三点共线时，AM+AD最小，即周长的最小．
【详解】解：连接AD，交EF于点M，
∵△ABC为等腰三角形，点为边的中点，底边长为
∴AD⊥BC，CD=3
又∵面积是24，
即，
∴AD=8，
又∵的垂直平分线是，
∴AM=CM，
∴周长=CM+DM+CD= AM+DM+CD
∴求周长最小值即求AM+DM的最小值，
当A、M、D三点共线时，AM+AD最小，即周长的最小，
周长=AD+CD=8+3=11最小．
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换解决最短路径问题，解题的关键是找出对称点，确定最小值的位置．
三、解答题(共66分)
19、 (1)(m＋2n)(2m＋n)（2）42cm
【解析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；
（2）求出m+n的值，然后根据图象由正方形的性质和长方形的性质即可得出结论；
【详解】（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
故答案为（m+2n）（2m+n）；
（2）依题意得：2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=1．
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn=49，
∴m+n＝7，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为6m+6n=6(m+n)=6×7=42cm．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题的关键．
20、，证明见解析
【分析】根据题意证明△ABE≌△ACD即可求解.
【详解】，证明如下：
∵，
∴AB-BD=AC-CE,即AD=AE，
又
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴.
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.
21、 ，当时，原式.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可（答案不唯一）．
【详解】
=
=
=，
当时，原式.
22、证明见解析．
【分析】由平行四边形的性质，得到AD∥BC，AD=BC，由，得到，即可得到结论.
【详解】证明：四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质进行证明.
23、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质先描出三个顶点，依次连接即可；
（2）过x轴作B点的对称点，连接与x轴的交点即为P点．
【详解】（1）就是所求作的图形；
（2）点就是所求作的点．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化—轴对称．正确得出对应点位置是解题关键．
24、 (1)150元/台， 260元/台；(2) 见解析．
【分析】(1)设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台，根据总价=单价×数量结合近二周的销售情况统计表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设再购进A种型号的电风扇m台，则购进B种型号的电风扇(120-m)台，根据利润=销售收入-进货成本，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】(1)设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台，根据题意，得：
，
解得，
答：A种型号的电风扇的销售单价为150元/台，B种型号的电风扇的销售单价为260元/台；
(2)设再购进A种型号的电风扇m台，则购进B种型号的电风扇(120-m)台，
依题意，得：2310+3540+150m+260(120-m)-120(5+8+m)-190[6+9+(120-m)]=8240，
解得：m=40，
∴120-m=1．
答：再购进A种型号的电风扇40台，B种型号的电风扇1台，就能实现这两批电风扇的总利润为8240元的目标．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出一元一次方程．
25、（1）；（2）见解析
【分析】（1）由直角三角形的性质可求，由等腰直角三角形的性质可得，即可求BC的长；
（2）过点A作AM⊥BC，通过证明△CNM∽△CBD，可得，可得CD=2CN，AN=BD，由“SAS”可证△ACN≌△CFB，可得结论．
【详解】（1），，
，
，，
．
，，
，且，
，
，
；
（2）如图，过点作，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
，且，
，且，，
．
，
．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26、（1）2(x+2)(x-2)；（2）(x+1)2(x-1)2
【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式进行计算；
（2）先运用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1）
=2（x2-4）
=2（x+2）（x-2）；
（2）
＝
＝
＝（x+1）2（x-1）2
【点睛】
考查了因式分解，解题关键是熟记完全平方公式和平方差公式的特点，并利用其进行因式分解．
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
5
6
2310
第二周
8
9
3540