重庆市巴蜀常春藤学校2023年数学八年级第一学期期末学业水平测试模拟试题【含解析】

这是一份重庆市巴蜀常春藤学校2023年数学八年级第一学期期末学业水平测试模拟试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了如果m是任意实数，则点一定不在，已知一组数据等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．一个笼子装有鸡和兔，共有10个头，34只脚，每只鸡有两只脚，每只兔有四只脚.设鸡有只，兔有只，则可列二元一次方程组（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′ 恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为( )
A．40°B．35°C．60°D．70°
4．在实数中， ， ， 是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a＞1且a≠2C．a＜3D．a＜3且a≠2
6．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则|a﹣b|﹣的结果为( )
A．bB．2a﹣bC．﹣bD．b﹣2a
7．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写( )
A．3xyB．-3xyC．-1D．1
8．如果m是任意实数，则点一定不在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知一组数据：92，94，98，91，95的中位数为a，方差为b，则a+b=（ ）
A．98B．99C．100D．102
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=2，则该等腰三角形的底角为________．
12．已知a1，则a2+2a+2的值是_____．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的处.若，，则点的坐标是__________．
14．在平面直角坐标系中，将点（-b，-a）称为点（a，b）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第_______象限．
15．因式分解：________．
16．分解因式：_______
17．已知 x+y=1，则 x²  xy  y² =_______
18．如图，在等边三角形中，，点为边的中点，点为边上的任意一点（不与点重合），将沿折叠使点恰好落在等边三角形的边上，则的长为_______cm．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，当△PCD的周长最小时，在图中画出点P的位置，并求点P的坐标．
20．（6分）阅读以下内容解答下列问题．
七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题：
（1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是 ．
（2）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”．
①求式子中m、n的值；
②用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+1．
21．（6分）如图，正方形的对角线交于点点，分别在，上（）且，，的延长线交于点，，的延长线交于点，连接.
（1）求证：.
（2）若正方形的边长为4，为的中点，求的长.
22．（8分） (1)如图1，点、分别是等边边、上的点，连接、，若，求证：
(2)如图2，在(1)问的条件下，点在的延长线上，连接交延长线于点，．若，求证：．
23．（8分）我国边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防部迅速派出快艇追赶(如图1) ．图2中分别表示两船相对于海岸的距离 (海里)与追赶时间(分)之间的关系．根据图象问答问题：
（1）①直线与直线中 表示到海岸的距离与追赶时间之间的关系；
②与比较 速度快；
③如果一直追下去，那么________ (填 “能”或“不能")追上；
④可疑船只速度是 海里/分，快艇的速度是 海里/分；
（2）与对应的两个一次函数表达式与中的实际意义各是什么？并直接写出两个具体表达式．
（3）分钟内能否追上？为什么？
（4）当逃离海岸海里的公海时，将无法对其进行检查，照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？为什么？
24．（8分）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，求∠MAN的度数是多少？
25．（10分）解下列方程组：
26．（10分）如图，∠MON=30°，点A、A、A、A…在射线ON上，点B、B、B…在射线OM上，△ABA、△ABA、△ABA…均为等边三角形，若OA=1，则△ABA的边长为_________．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边，②三角形的两边之差小于第三边，逐个判断即可．
【详解】A、1+2=3，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
B、2+3=5，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
C、3+4=7，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
D、4+5＞8，符合三角形三边关系定理，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
2、D
【分析】设鸡有x只，兔有y只，等量关系：鸡+兔=10，鸡脚+兔脚=1．
【详解】解：设鸡有x只，兔有y只，
依题意得，
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程．解题的关键是弄清题意，找准等量关系，列出方程组．
3、B
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC=∠B'AC，∠DAE=∠B'AE，即可得出∠CAE= ∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB=∠ACB'=90°-∠BAD．
【详解】
解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB=AB'，
∴∠BAC=∠B'AC，
∵AB=AD，
∴AD=AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE=∠B'AE，
∴∠CAE=∠BAD=55°，
又∵∠AEC=90°，
∴∠ACB=∠ACB'=35°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
4、A
【解析】无限不循环小数是无理数，根据定义判断即可.
【详解】是无理数；
是有理数，不是无理数 ；
=3是有理数，不是无理数；
=2是有理数，不是无理数，
故选：A.
【点睛】
此题考查无理数定义，熟记定义并掌握无理数与有理数的区别即可正确解答.
5、D
【分析】先求得分式方程的解，然后再解不等式即可，需要注意分式方程的分母不为4．
【详解】解：去分母得：a﹣4＝x+4．
解得：x＝a﹣3．
∵方程的解为负数，且x+4≠4，
∴a﹣3＜4且a﹣3+4≠4．
∴a＜3且a≠4．
∴a的取值范围是a＜3且a≠4．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了分式方程，已知方程解的情况求参数的值，解题过程中易忽略分式有意义的条件是分母不为4，灵活的求含参数的分式方程的解是解题的关键.
6、A
【分析】由数轴可知a＜0＜b，根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可.
【详解】解：由数轴可知，a＜0＜b，
则a﹣b＜0，
则|a﹣b|﹣＝-(a-b)-(-a)=﹣a+b+a＝b．
故选A．
【点睛】
本题考查的是绝对值和二次根式，熟练掌握绝对值的性质和二次根式的性质是解题的关键.
7、A
【详解】解：∵左边=-3xy（4y-2x-1）=-12xy2+6x2y+3xy
右边=-12xy2+6x2y+□，
∴□内上应填写3xy
故选：A．
8、D
【分析】求出点P的纵坐标一定大于横坐标，然后根据各象限的点的坐标特征解答．
【详解】∵，
∴点P的纵坐标一定大于横坐标．．
∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标．
∴点P一定不在第四象限．
故选D．
9、D
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，可得答案．
【详解】解：选项A：；
选项B：；
选项C：；
选项D:∵2x2+1＞1，∴不论字母取何值都有意义．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是分式有意义的条件，通过举反例也可排除不正确的选项．
10、C
【分析】分别根据中位数和方差的定义求出a、b，然后即可求出答案.
【详解】数据：92，94，98，91，95从小到大排列为91，92，94，95，98，处于中间位置的数是94，
则该组数据的中位数是94，即a=94，
该组数据的平均数为×（92+94+98+91+95）=94，
其方差为×[（92﹣94）2+（94﹣94）2+（98﹣94）2+（91﹣94）2+（95﹣94）2]
=6，所以b=6，
所以a+b=94+6=100，
故选C．
【点睛】
本题考查了中位数和方差，熟练掌握中位数和方差的定义以及求解方法是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、º
【分析】根据特征值为2设设底角为，则顶角为2，再根据三角形内角和定理列方程求解即可.
【详解】解：∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值=2，
∴设底角为，则顶角为2，
∴++2=，
∴=，
∴底角为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，设未知数并根据三角形内角和定理列方程是解此题的关键.
12、1．
【分析】先将多项式配方后再代入可解答．
【详解】解：∵a1，
∴a2+2a+2=（a+1）2+1=（1+1）2+1=11+1=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了完全平方式和二次根式的化简，熟记完全平方公式对解题非常重要．
13、
【分析】由勾股定理可以得到CE、OF的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E的坐标．
【详解】设CE=a，则BE=8-a，
由题意可得，EF=BE=8-a，
∵∠ECF=90°，CF=4，
∴a2+42=（8-a）2，
解得，a=3，
设OF=b，则OC=b+4，
由题意可得，AF=AB=OC= b+4，
∵∠AOF=90°，OA=8，
∴b2+82=（b+4）2，
解得，b=6，
∴CO=CF+OF=10，
∴点E的坐标为（-10，3），
故答案为（-10，3）．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化-对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14、二、四.
【解析】试题解析：根据关联点的特征可知：
如果一个点在第一象限，它的关联点在第三象限.
如果一个点在第二象限，它的关联点在第二象限.
如果一个点在第三象限，它的关联点在第一象限.
如果一个点在第四象限，它的关联点在第四象限.
故答案为二，四.
15、
【分析】用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：=
故答案为：
【点睛】
本题考查完全平方公式进行因式分解，掌握公式结构是解题关键．
16、
【解析】=2（）=.
故答案为.
17、
【分析】根据完全平方公式即可得出答案.
【详解】∵x+y=1
∴
∴
【点睛】
本题考查的是完全平方公式：.
18、或
【分析】如图1，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，于是得到MN⊥AB，BN＝BN′，根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠ABC＝60°，根据线段中点的定义得到BN＝BM＝，如图2，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边A，C上时，则MN⊥BB′，四边形BMB′N是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论．
【详解】解：如图1，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，
则MN⊥AB，BN＝BN′，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°，
∵点M为边BC的中点，
∴BM＝BC＝AB＝，
∴BN＝BM＝，
如图2，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边A，C上时，
则MN⊥BB′，四边形BMB′N是菱形，
∵∠ABC＝60°，点M为边BC的中点，
∴BN＝BM＝BC＝AB＝，，
故答案为：或.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、图见详解；(，)
【分析】过作于，延长到，使，连接，交于，连接，的值最小，即可得到点；通过和点的坐标，运用待定系数法求出直线的函数表达式，再通过和点的坐标，运用待定系数法求出直线的函数表达式，联合两个表达式解方程组求出交点坐标即可．
【详解】解：如图所示，过作于，延长到，使，连接，交于，连接;
∵△PCD的周长=
∴时，可取最小值，图中点即为所求；
又∵BD=3，DC=1
∴平面直角坐标系中每一个小方格的边长为1，即：A(5，4)，B(1，0)，D(4，0)，E(1，4)
设直线的解析式为，代入点和得：
解得：
∴
设直线的解析式为,代入点和得：
解得：
∴
∴联合两个一次函数可得：
∴解得
∴(，)
【点睛】
本题主要考查了轴对称最短路径的画法，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，求出一次函数的解析式组建二元一次方程组是解题的关键．
20、（1）降次；（2）①m＝﹣3，n＝﹣5；②（x+1）（x+2）2．
【分析】（1）根据材料回答即可；
（2）①分别令x=0和x=1即可得到关于m和n的方程，即可求出m和n的值；
②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+1，得出多项式含有因式（x+1），再利用①中方法解出a和b，即可代入原式进行分解.
【详解】解：（1）根据因式分解的定义可知：因式分解的作用也可以看做是降次，
故答案为：降次；
（2）①在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，
令x＝0，可得：，解得：n=-5，
令x=1，可得：，
解得：m=﹣3，
故答案为：m＝﹣3，n＝﹣5；
②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+1，得x3+5x2+8x+1=0，
则多项式x3+5x2+8x+1可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，
同①方法可得：a＝1，b＝1，
所以x3+5x2+8x+1＝（x+1）（x2+1x+1），
＝（x+1）（x+2）2．
【点睛】
本题考查了因式分解，二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂材料中的意思，利用所学知识进行解答.
21、（1）见解析（2）
【解析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；
（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，
∴∠OAM=∠OBN=135°，
∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM=ON；
（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，
∵正方形的边长为4，
∴OH=HA=2，
∵E为OM的中点，
∴HM=4，
则OM=，
∴MN=OM=2．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．
22、（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC=CB，∠ABC=∠A=∠ACB=60°，然后利用SAS即可证出△AEC≌△CDB，从而得出BD=CE；
（2）根据全等三角形的性质可得∠CBD=∠ACE，从而证出∠ABD=∠ECB，然后根据等边对等角可得∠BFC=∠BCF，从而证出∠H=∠ECH，最后根据等角对等边即可证出结论．
【详解】证明：（1）∵△ABC为等边三角形
∴AC=CB，∠ABC=∠A=∠ACB=60°
在△AEC和△CDB中
∴△AEC≌△CDB(SAS)
∴BD=CE
（2）∵△AEC≌△CDB
∴∠CBD=∠ACE
∴∠ABC－∠CBD=∠ACB－∠ACE
∴∠ABD=∠ECB
又∵BF=BC，
∴∠BFC=∠BCF
∵∠ABD＋∠H=∠BFC，∠ECB＋∠ECH=∠BCF
∴∠H=∠ECH，
∴EH=EC
【点睛】
此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质和等腰三角形的判定及性质，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、等边对等角和等角对等边是解决此题的关键．
23、（1）①;②;③能;④0.2,0.5.（2）两直线函数表达式中的表示的是两船的速度. A船:,B船:.（3）15分钟内不能追上.（4）能在逃入公海前将其拦截.
【分析】（1）①根据图象的意义, 是从海岸出发, 表示到海岸的距离与追赶时间之间的关系;②观察两直线的斜率, B船速度更快; ③B船可以追上A船; ④根据图象求出两直线斜率,即为两船的速度.
（2）两直线函数表达式中的表示的是两船的速度.
（3）求出两直线的函数表达式,令时间,代入两表达式,若,则表示能追上,否则表示不能追上.
（4）联立两函数表达式,解出B船追上A船时的时间与位置,与12海里比较,若该位置小于12海里,则表示能在逃入公海前将其拦截.
【详解】解: （1）①直线与直线中, 表示到海岸的距离与追赶时间之间的关系；
②与比较, 速度快；
③B船速度更快,可以追上A船;
④B船速度海里/分;
A船速度海里/分.
（2）由图象可得,将点代入,
可得,解得,表示B船的速度为每分钟0.5海里,
所以:.
将点,代入,
可得,
解得,
所以:,
表示A船速度为每分钟0.2海里.
（3）当时,
,
,
,所以15分钟内不能追上.
（4）联立两表达式,
,
解得,
此时,
所以能在逃入公海前将其拦截.
【点睛】
本题结合追及问题考查了一次函数的图象与性质,一次函数的应用等,熟练掌握函数的图象与性质,理解图象所代表的的实际意义是解答关键.
24、20°．
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=180°﹣∠BAD=80°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），再求∠MAN的度数即可得出答案．
【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于M，交CD于N，则A'A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB=100°，
∴∠AA'M+∠A″=180°﹣∠BAD=180°﹣100°=80°．
∵∠MA'A=∠MAA'，∠NAD=∠A″，且∠MA'A+∠MAA'=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA'A+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠AA'M+∠A″)=2×80°=160°，
∴∠MAN=180°﹣160°=20°．
故当△AMN周长最小时，∠MAN的度数是20°．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
25、
【分析】将②变形得③，然后将③代入①可求得y的值，最后把y的值代入方程③即可求得x的值，进而得到方程组的解．
【详解】解：（1）
由②，得 ，③
将③带入①，得，

将代入③，得
所以原方程组的解为
【点睛】
本题主要考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，正确掌握解题方法是解题的关键．
26、32
【分析】根据等边三角形的性质可得: AB= AA,∠BAA=60°,再根据外角的性质即可证出:∠OBA=∠MON,由等角对等边可知: AO =AB=1,即可得: 等边三角形△ABA的边长为1=20=21－1,同理可知: 等边三角形△ABA的边长为2=21=22－1,以此类推: 等边三角形△ABA的边长为,从而求出△ABA的边长.
【详解】解:∵△ABA是等边三角形
∴AB= AA,∠BA A=60°
∵∠MON=30°
∴∠O BA=∠BA A－∠MON=30°
∴∠O BA=∠MON
∴AO =AB=1
∴等边三角形△ABA的边长为1=20=21－1,O A= OA + AA=2;
同理可得: AO =AB=2
∴等边三角形△ABA的边长为2=21=22－1,O A= O A + AA=4;
同理可得: AO =AB=4
∴等边三角形△ABA的边长为4=22=23－1,O A= O A + A A=8;
∴等边三角形△ABA的边长为,
∴△ABA的边长为: .
故填32.
【点睛】
此题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定及探索规律题，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解决此题的关键.