2024年中考数学易错01 数与式（七大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

这是一份2024年中考数学易错01 数与式（七大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版），共59页。试卷主要包含了实数的分类，绝对值，相反数，倒数等内容，欢迎下载使用。

易错点一：错误理解实数的有关概念
一、实数的分类：
二、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若，则；若，则。
三、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数
四、倒数：如果与互为倒数，则有，反之亦成立
易错提醒：（1）需要牢记与三者有关的概念以及相关概念之间的的包含与被包含的关系才能避免出错；
（2）几个特殊值注意：0的相反数还是0；0没有倒数，1的倒数是1，－1的倒数是－1；一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0.
例1．2023的倒数的相反数是（ ）
A．2023B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了倒数和相反数的定义，先求出2023的倒数，再求出其相反数即可．
【详解】解：2023的倒数是，
的相反数是，
故选：C
易错警示：有理数、无理数以及实数的有关概念容易理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念容易混淆。选择题考得比较多。
例2．下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数；其中正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】此题主要考查了实数与数轴以及无理数的定义，直接利用实数的相关性质结合无理数的定义分别分析得出答案．
【详解】①负数有立方根，原说法错误；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，原说法正确；
③，原说法错误；
④任何实数不是有理数就是无理数，原说法正确；
⑤两个无理数的和不一定还是无理数，原说法错误；
⑥无理数都是无限小数，原说法正确，
故选：B．
变式1．下列实数：0.22，，，0.010203040506，，．其中有理数有 个，无理数有 个．
【答案】 4 2
【解析】略
变式2．已知的倒数是，的绝对值是最小的正整数，且，求的相反数．
【答案】的相反数是
【分析】本题主要考查了倒数、绝对值的意义、相反数，先根据倒数的定义和绝对值的意义得出，，再结合得出，从而求得的值，最后根据相反数的定义即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：的倒数是，的绝对值是最小的正整数，
，，
，
，
，
的相反数是．
变式3．若实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求的值.
【答案】1或
【分析】根据相反数的定义、倒数的意义及绝对值可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴当时，则：
；
当时，则：
；
综上所述：的值为1或．
【点睛】本题主要考查因式分解、相反数、倒数及负指数幂，熟练掌握各个运算是解题的关键．
变式4．请把下列各数填在相应的集合里：
0，，，，，π，，0.010010001…
正数集合：{ …}
负数集合：{ …}
有理数集合：{ …}
无理数集合：{ …}
【答案】见解析
【分析】本题考查实数的分类，有理数和无理数称之为实数，无理数是无限不循环小数，有理数包括无限循环小数和有限小数，逐一判断即可．
【详解】解：，，
正数集合：{，，π，，…}
负数集合：{，，，…}
有理数集合：{0，，，，， ，…}
无理数集合：{π，，…}
故答案为：，，π，；，，；0，，，，， ；π，．
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘方，相反数和绝对值，正确得到有理数的乘方运算结果是解答本题的关键，表示2的立方的相反数，表示的立方，表示3的平方的相反数，表示的平方，表示5的平方的相反数， 表示的五次方，分别求出各选择支中各式的值，即可得到答案．
【详解】选项A，因为，，所以，不符合题意；
选项B，因为，，所以与互为相反数，符合题意；
选项C，因为，，所以不符合题意；
选项D，因为，，所以，不符合题意．
故选B．
2．已知，，则与的关系是（ ）
A．互为相反数B．相等C．互为倒数D．互为负倒数
【答案】A
【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得的值是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴与互为相反数，
故选：．
3．下列说法：①互为相反数的两数和为；②互为相反数的两数商为；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的意义和等式的基本性质，根据相反数意义和等式的性质逐项判断即可求解，掌握相反数的意义和等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：互为相反数的两数和为，正确，符合题意；
当互为相反数的两数为时，两数商无意义，故错误，不合题意；
若，则，正确，符合题意；
当时，，但不一定相等，故②错误，不合题意；
∴正确的结论有，
故选：．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．实数可分为正实数和负实数B．、、都是无理数
C．绝对值最小的实数是D．无理数包括正无理数，零和负无理数
【答案】C
【分析】A、根据实数的分类即可判定；
B、根据无理数的定义和平方根的定义即可判定；
C、根据实数绝对值的定义即可判定；
D、根据无理数的分类及其定义即可判定．
【详解】解：A、实数分为正实数、负实数和0，故选项错误；
B、=3是有理数，故选项错误；
C、绝对值最小的实数是0，故选项正确；
D、0不是无理数，故选项错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了实数的定义：有理数和无理数统称为实数，分数是有理数．也考查了实数的计算．要求掌握这些基本概念并迅速做出判断．
5．在单元复习课上，老师要求写出几个与实数有关的结论，小明同学写了以下5个：
①任何无理数都是无限不循环小数；
②立方根等于它本身的数是和；
③在和之间的无理数有且只有、、、这个；
④是分数，是有理数；
⑤由四舍五入得到的近似数表示大于或等于，而小于的数．
其中正确的有 （填序号）．
【答案】①②⑤
【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，近似数；根据无理数是无限不循环小数，立方根，实数的分类，近似数，可得答案．
【详解】解：①任何无理数都是无限不循环小数，故①正确；
②立方根等于它本身的数是和，故②正确；
③在和之间的无理数有无数个，故③错误；
④是无理数，故④错误；
⑤由四舍五入得到的近似数表示大于或等于，而小于的数，故⑤正确；
故答案为：①②⑤．
6．给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ．
【答案】2
【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答．
【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误；
②有理数分为正数、负数和0,故②错误；
③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误；
④非负数包含正数和0，故④错误；
⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确；
⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确；
综上，正确的有⑤和⑥，共2个．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键．
7．请把下列各数填入相应的集合中
，，0，，，，，
非负数集合：{ …}
分数集合：{ …}
无理数集合：{ …}
【答案】，，0，，；，，，；
【分析】本题主要考查了实数的分类，由于实数包括有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无限不循环小数是无理数；实数还可分为正实数、负实数和0．利用这些结论即可求解．
【详解】解：非负数集合：{，，0，，，…}；
分数集合：{，，，，…}；
无理数集合：{}．
故答案为：，，0，，；，，，；．
8．已知的绝对值是的绝对值是4．求的最大值.
【答案】
【分析】本题考查了绝对值和有理数运算，解题关键是求出两个数，再根据求的最大值进行计算即可．
【详解】解：因为的绝对值是的绝对值是4，
所以，，
当，时，的值最大，
最大值为．
易错点二：运算顺序错误
实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
易错提醒：在有理数混合运算中不注意运算导致计算错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，后算大括号．
例3．若取，计算的结果是（ ）
A．B．181.7C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数的运算，先把的系数相加减，再把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故选B．
易错警示：关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
例4．定义一种新的运算“”，若，则．
①依定义， ；
②若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方等知识，①直接根据新定义即可求解设，②，，根据新运算定义用表示得方程即可求解，理解并运用新运算的定义是解题的关键．
【详解】解：①依题意可得，
∴，
∴，
设，，
②依题意可知：，，
∴，
∴
∴
，
故答案为：，．
变式1．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查的是实数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；
（1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可；
（2）先计算乘方，立方根，算术平方根，再计算加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
变式2．计算：
【答案】
【分析】本题考查零指数幂、二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别利用二次格式的化简、零指数幂及有理数的乘方法则计算即可．
【详解】解：原式
．
变式3．计算．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的运算．
（1）根据立方根、算术平方根的性质化简，再合并即可求解；
（2）根据立方根、算术平方根、乘方和绝对值的性质化简，再合并即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
变式4．观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：
，
，
,
，
…
(1)计算：；
(2)试比较与的大小．
【答案】(1)2022
(2)
【详解】解：（1）原式
．
（2），
，
．
又,
，
，
．
1．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先根据平方差公式，立方根的定义，绝对值的定义，将算式化简，再进行计算即可，掌握实数的运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：
．
2．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查实数的混合运算能力，
（1）先将原式化简，再进行加减运算；
（2）先计算有理数的乘除法，再计算加减运算；
（3）先计算立方、变除法为乘法，再运用乘法分配律计算乘法，最后计算加减运算；
（4）先计算绝对值、算术平方根和立方根，再进行加法运算；
解题的关键是能准确确定运算顺序和运算法则，并能进行正确地计算．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
3．阅读材料并解决问题：
求的值．
令，等式两边同时乘2，则，
两式相减得，所以．
依据以上计算方法，计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数计算中的规律，读懂阅读材料并知晓等式两边同乘的是幂的底数是解题的关键．根据阅读材料，可令，再利用等式的性质即可解题．
【详解】解：由题意知，令，
等式两边同时乘以，得
两式相减，得
故答案为：．
4．对有理数a，b定义运算“”：
(1)计算的值；
(2)比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数新定义计算，大小比较：
（1）根据定义运算即可；
（2）先计算，后比较大小即可．
【详解】（1）∵，
∴
．
（2）∵，
∴
.
．
故. ．
5．小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数，加*键，再输入数，就可以得到运算：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)43
(2)
【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解题目所给新定义的运算顺序和运算法则是解题的关键．
（1）根据题目所给新定义的运算顺序和运算法则进行计算即可；
（2）根据题目所给新定义的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
；
（2）解：根据题意可得：
．
6．符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下：
，，，…
(1)利用以上运算的规律写出 ；（为正整数）
(2)计算；
(3)计算的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】此题主要考查了定义新运算，解题的关键是观察数字规律和熟练掌握实数的运算法则．
（）根据题意中的运算，观察规律即可写出；
（）由（）中求出的表达式，即可求出的值；
（）由（）中求出的表达式，即可求出的值．
【详解】（1）解：∵，，，，…，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，，，，
∴；
（3）．
7．【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分为，∴的小数部分为．
【解决问题】
(1)填空：的小数部分是 ；
(2)已知、分别是的整数部分、小数部分，求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）由于，可求的整数部分，进一步得出的小数部分；
（）先求出的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可．
本题考查了估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
【详解】（1）∵，
∴的整数部分是，
∴的小数部分是，
故答案为；
（2）∵、分别是的整数部分、小数部分，
∴，，
∴
，
，
，
．
易错点三：混淆平方根、算术平方根、立方根
一、算术平方根：一个正数的算数平方根用符号表示为，
二、平方根：一个非负数的平方根用符号表示为
三、立方根：一个数的立方根用符号表示为.
易错提醒：几个特殊值：0的算术平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有和1
例5．下列说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．在数轴上找不到
C．1的立方根与1的平方根相等D．和是同类二次根式
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式，数轴与点，平方根与立方根，同类二次根式，根据性质判断解答即可．
【详解】A. 是最简二次根式，正确，符合题意；
B. 在数轴上能找到，错误，不符合题意；
C. 1的立方根是1，1的平方根是，错误，不符合题意；
D. ，，不是同类二次根式，错误，不符合题意；
故选A．
例6．已知，则的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
变式1．若一个正数的平方根是和，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了平方根的定义和立方根的定义，正确把握定义是解题关键；
根据平方根的定义得出，进而求出a的值，即可得的值．
【详解】∵和是的平方根，
故和互为反数，
∴与互为相反数，
即，
解得
的值为，
故答案为：．
变式2．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值；
（2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】（1）解：的立方根是3，
，解得，
的算术平方根是4，
．把代入可得，
是的整数部分，
；
．
（2）解：把代入得：
，
的平方根是．
【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键．
变式3．已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根为2，
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根等知识点，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的计算方法是解题的关键．
（1）根据正数的两个平方根互为相反数可求得a的值，的立方根为2列方程求解即可求得b的值；
（2）根据(1)可求得的值，然后再求其算术平方根即可．
【详解】（1）解：∵某正数的平方根分别是和，的立方根为2，
∴，
解得．
（2）解：∵，
∴，
∵16的算术平方根为4，
∴的算术平方根为4．
变式4．(1)若 是 的整数部分，求 的平方根；
(2)已知 和都是的平方根， 求 的值．
【答案】（1）；（2）或
【分析】本题考查了平方根的概念、无理数的估算等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由题意可得出的值，从而可求出答案；
（2）由平方根的定义可列出方程，从而求出的值，进一步得出答案．
【详解】解：（1）
故 的平方根为；
（2） 和都是的平方根
解得或
或
故或．
1． 的立方根是 ；的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查求平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键．分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：的立方根是；
的平方根是．
故答案为：；．
2．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为3时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入后能够输出y．
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（ ）
A．①②B．②④C．①④D．①③
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，根据运算规则即可求解．
【详解】解：①x的值不唯一．或或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，，即，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入，算术平方根式是，输出的y值为，故③说法错误；
④当时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
3．一个正数的平方根是与，的立方根是，求的算术平方根．
【答案】5
【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的定义，根据“正数有两个平方根，它们互为相反数”列式求得与的值，再根据立方根定义求得的值，将与的值代入求解，即可得到的算术平方根．
【详解】解：一个正数的平方根是与，
，解得，
将代入中，得，
的立方根是，
，
将，代入中，
有，则的算术平方根为．
的算术平方根为5．
4．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)的平方根
【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根以及无理数的估算，求代数式的值，理解立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键．
（1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求，，的值；
（2）将，，的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行解答即可．
【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是3，
，，
解得：，，
，
的整数部分3，
，
，，；
（2），，，
，
的平方根．
5．已知的平方根是，是27的立方根，是的整数部分．
(1)求的值；
(2)若是的小数部分，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了无理数的估算，平方根，立方根．
（1）根据平方根，立方根的定义，无理数的估算求出的a，b，c的值，代入计算即可得出答案；
（2）先得出x的值，即可得出结果．
【详解】（1）∵a的平方根是，
∴，
∵b是27的立方根，
∴，
∵c是的整数部分，而
，
∴；
（2）由（1）可知，的整数部分是3，
∵x是的小数部分，
∴，
∴，
∴的平方根是．
6．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【分析】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活估算无理数是解题的关键．
【详解】解：根据题意，可得，
故，
又
的平方根为．
7．已知的立方根是1，的平方根是，c是的整数部分．求的算术平方根．
【答案】
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，无理数的估算，分别求得的对应值是解题的关键．根据立方根的定义，求得的a值，根据平方根，可求得b值，根据无理数的估算，可得c，代入代数式，进而求算术平方根即可求解．
【详解】解：由题可得：
，
，
，
，
，
的算术平方根为：．
易错点四：有效数字和精确度识别错误
一、科学记数法：表示形式为的形式，其中为整数．
二、近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位
易错提醒：（1）科学计数法中确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，是正数；当原数的绝对值＜1时，是负数；
（2）有效数字：从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字
例7．宁都县位于赣江东源贡水上游．2020年户籍人口约为904000人，用科学的计数方法表示904000为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：904000=9.04×105，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
例8．把准确数237.448四舍五入，精确到十分位的近似数是 ．这个近似数有 个有效数字．
【答案】 237.4 4
【分析】本题主要考查了近似数，有效数字，先把百分位上的数字4进行四舍五入可得近似数，再根据有效数字的定义解答即可．
【详解】解：（精确到十分位），近似数237.4的有效数字为2、3、7、4．
故答案为：237.4；4．
变式1．数据0.001239用科学计数记作（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a× ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.001239=1.239×
故答案为：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a× 其中0≤≤10 ，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
变式2．“厚德开泰，奋发图兴”是130万泰兴人的不懈追求，130万用科学计数表示为( )
A．13×105B．1.3×106C．1.3×107D．1.3×109
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将130万用科学记数法表示为1.3×106．
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．解题关键在于掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
变式3．用四舍五入法取近似数，保留3位有效数字后， ．
【答案】
【分析】本题主要考查有效数字和近似数，一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．
【详解】解：根据题意得：1.804≈1.80
故答案为：．
变式4．精确到的近似数是 ，精确到个位的近似数是 ，保留4个有效数字时是 ，精确到千分位时是 ；
【答案】 6
【分析】本题考查近似数及有效数字．根据对一个数精确到哪一位就是对这一位后面的数字进行四舍五入即可．
【详解】解：精确到的近似数是，
精确到个位的近似数是6，
保留4个有效数字时是，
精确到千分位时是．
故答案为：，6，，
1．在芯片设计和制造中，为了表示芯片中晶体管与晶体管之间的距离，经常需要用到纳米这样的计数单位．我们知道：，，则 1纳米=（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】B
【分析】根据科学记数法定义处理，把一个绝对值小于1的数表示成，其中，n等于原数第一个不为零的数字前零的个数．
【详解】解：
故选：B
【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法定义是解题的关键．
2．下列说法正确的是( )．
A．有4个有效数字B．万精确到
C．精确到千分位D．有个有效数字
【答案】C
【分析】本题考查了近似数与有效数字，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．有效数字是指从左起第一个不为0的数开始所有数字个数的和．
【详解】解：A、有3个有效数字，故本选项错误；
B、万精确到千位，故本选项错误；
C、精确到千分位，故本选项正确；
D、有4个有效数字，故本选项错误．
故选：C．
3．2020年我国达到1015986亿元，是全球为数不多的实现经济正增长的国家之一，用科学计数法保留4个有效数字可表示为 亿元．
【答案】
【分析】先把1015986亿元表示成的形式，进而把保留4个有效数字即可．
【详解】解：1015986亿元亿元亿元，
故答案为：
【点睛】本题考查科学记数法及有效数字的应用；科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数数位减1；保留几个有效数字，从的左边第一个不是0的数字数够需要的数字，让下一位四舍五入．
4．世界上最小、最轻的昆虫是膜翅缨小蜂科的一种卵蜂，其质量只有克；用科学记数表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．近似数28.00与近似数28.0的精确度一样
B．近似数0.32与近似数0.302的有效数字一样
C．近似数与近似数240的精确度一样
D．近似数220与近似数0.101都有三个有效数字
【答案】D
【分析】本题主要考查了近似数的精确度与有效数字的意义，根据这两者的意义解题即可．
【详解】解：A、近似数28.00精确到百分位，近似数28.0精确到十分位，故本选项不符合题意；
B、近似数0.32有3、2两个有效数字，近似数0.302有3、0、2三个有效数字，故本选项不符合题意；
C、近似数精确到十位，240精确到个位，故本选项不符合题意；
D、近似数220与近似数0.101都有三个有效数字，故本选项符合题意．
故选：D．
6．记者从2022年高质量发展新闻发布会上获悉，截至2022年年底，国家能源集团风电装机达到5600万千瓦，继续保持世界第一、其中数据5600万可用科学记数表示为 千瓦．
【答案】
【分析】根据科学记数法表示形式的确定方法即可求解．
【详解】解：数据5600万可用科学记数表示为，
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，，n为整数，a是把原数的小数点移动到左边第一个不为0的数字的后面所得到的数，确定n的值，要看小数点向左移动了几位，n就等于几．
7．海洋面积用科学记数法可记作 ．（保留2个有效数字）
【答案】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数﹒考查科学记数法即考查应用数学的能力．有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字，根据定义即可求解．
【详解】解：根据题意
故答案为∶．
易错点五：混淆代数式的运算法则
一、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变
二、幂的运算：①同底数幂的乘法：；②幂的乘方：；
③积的乘方：；④同底数幂的除法：.

例9．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，解题的关键是熟整式的运算法则．
【详解】解：A、 不是同类项，不能合并，故不正确；
B、，原计算不正确；
C、，原计算正确；
D、，原计算不正确；
故选C．
例10．(1)化简：；
(2)先化简，再求值：，其中，．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查了整式的化简求值．熟练掌握整式的化简求值是解题的关键．
（1）先去括号，然后合并同类项即可；
（2）先去括号，然后合并同类项，可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
当，时，原式．
变式1．已知，B是多项式，在计算时，某同学把看成了，结果得，则 ．
【答案】
【分析】本题考查整式的混合运算，根据结果为，利用整式的混合运算法则算出，再算出，即可解题．
【详解】解：根据题意列出，
则．
故答案为：．
变式2．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据算术平方根、立方根、乘方的定义分别化简，再进行加减运算即可得到结果；
（）根据同底数幂、积的乘方运算、幂的乘方运算法则及单项式的乘除运算法则进行运算即可得到结果；
本题考查了实数的混合运算，整式的乘除法运算，掌握实数的运算法则和整式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
，
．
变式3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)1；
(4)．
【分析】本题考查整式的混合计算：
（1）根据整式的乘法和积的乘方以及整式的除法法则解答即可；
（2）根据积的乘方和整式的混合计算解答即可；
（3）根据有理数的混合计算和0指数幂解答即可；
（4）根据多项式的乘法解答即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
变式4．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】此题考查了整式的乘除混合运算-化简求值，完全平方公式，非负数的性质，先利用整式乘除的混合运算法则化简，再利用完全平方公式，非负数的性质求出x，y的值，代入计算即可．
【详解】解：原式
；
，
，
，
当时，原式．
1．三角形的面积是，它的一条高是，这条高对应的底边长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式的除法运算：根据三角形的面积等于底乘高的一半，故底边长等于面积除以高，列式计算即可作答．
【详解】解：∵三角形的面积是，它的一条高是，
∴这条高对应的底边长
故选：A
2．计算题：
(1)；
(2)（用乘法公式进行计算）；
(3)；
(4)；
(5)先化简，再求值：其中，y=1．
【答案】(1)0.125；
(2)1；
(3)；
(4)；
(5)，．
【分析】（1） 将原式变形为 ，再逆用积的乘方变形计算可得；
（2） 原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；
（3） 原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（4）原式利用平方差公式， 以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（5）原式中括号中利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）


；
（2）
；
（3）


；
（4）


；
（5）
，
当时，
原式
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键．
3．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则和合并同类项法则．
先根据完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式法则去掉括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行有理数的混合运算即可．
【详解】解：原式，
，
．
当，时，
原式，
，
，
．
4．计算：
(1)；
(2)求的值，其中，．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查了多项式除以单项式，整式的化简求值．
(1)根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
(2)根据去括号，合并同类项，进行化简，后代入求值即可．
【详解】（1）解：
＝
＝．
（2）解：

当，时，
．
5．已知，，.
(1)求证：；
(2)求的值.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则可以得到即可得到结论；
（2）根据幂的运算得到，代入计算即可解题．
【详解】（1）证明：，
.
即.
（2）解：．
6．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)0
(3)
(4)
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键；
（1）分别根据幂的乘方和同底数幂的乘法化简后计算即可；
（2）先算积的乘方，再算除法，最后算减法即可；
（3）先根据积的乘方和幂的乘方运算，再算除法和加法；
（4）先算积的乘方，再算乘除即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
7．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式的混合运算、幂的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
（1）根据幂的混合运算法则解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【详解】（1）原式
（2）原式
易错点六：忽略了分式的分母不能为零
一、分式：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母的式子
二、分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变
易错提醒：求分式值时要主要到隐藏条件，即分式的分母不能为零，否则原分式无意义．
例11．化简，从1，，2中选一个适合的数作为a的值代入求值．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后根据分式的有意义的条件，可得，再代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：原式
∵且
∴a不能为1，，0，
∴，
∴将代入，得
原式．
易错警示：分式运算要注意运算法则和符号的变化。当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。
例12．化简下式：
(1)
(2)
(3)分式方程的解是_________（请直接写出答案）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是根据题意找到规律进行化简，再利用分式方程的解法求解．
（1）根据，然后根据此规律进行解答即可；
（2）根据规律，再把要求的式子进行整理即可得出答案；
（3）先把分母进行因式分解，再根据找出的规律对方程化简，然后求解即可．
【详解】（1）
（2）
（3）∵
∴
∴
故
解得
经检验，是原方程的解．
变式1．若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．0B．C．3D．3或
【答案】B
【分析】本题考查分式为的条件，熟记分式为的条件是解决问题的关键．
根据分式为的条件（分子为0，分母不为0）列式求解即可得到答案．
【详解】解：分式的值为0，
，且，
解得，
故选：B．
变式2．先化简，再求值：
，其中是方程的解．
【答案】，1
【分析】本题考查了分式化简求值，解分式方程，先运用因式分解和逆用完全平方公式进行化简得，再解分式方程并检验，将分式方程的解代入进行计算即可得，掌握因式分解，完全平方公式，解分式方程是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
，
，
，
，
，
检验：当时，，
∴是分式方程的解，
当时，原式．
变式3．已知，且，则的值为 ．
【答案】1
【分析】先由得到，再整体代入，进行约分即可得到答案．此题考查了分式的化简求值，整体代入是解题的关键．
【详解】解：
两边都乘以得到，，
把代入得到，
，
故答案为：1
变式4．先化简，再求值：，从的整数解中选取一个合适的代入求值．
【答案】，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先分式的除法运算，再进行加减运算即可得以化简，然后把有意义的值代入即可求解，熟练掌握分式的通分和约分积加减是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
∵，
∴整数解为：，，
∵且，
∴，
∴原式．
1．当x 时，分式的值为0．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值为0的条件．分式的值为0的条件是：（1）分子；（2）分母．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：．
故答案为：．
2．要使分式的值扩大4倍，、的取值可以如何变化（ ）
A．的值不变，的值扩大4倍B．的值不变，的值扩大4倍
C．、的值都扩大4倍D．、的值都扩大2倍
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，根据分式的基本性质逐项判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．先化简，再求值：，从、、0中选择一个合适的x值代入求值．
【答案】，时，原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据分式有意义的条件确定符号题意的x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式有意义，
∴，
∴且，
当时，原式．
4．如图，约定：上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式
(1)求代数式M；
(2)当时，求代数式N的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用异分母分式的减法进行运算解题即可；
（2）利用异分母分式的加法进行解题即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
当时，原式．
5．先化简，再求值：，其中从中选出你认为合理的一个数代入化简后的式子中求值．
【答案】；当时，值为．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则先化简，再把代入化简后的式子中进行计算即可求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
，
当时，
原式，
，
．
6．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”．
(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）
①； ②； ③； ④．
(2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由．
【答案】(1)①③④；
(2)；
(3)是美好分式，理由见解析．
【分析】本题主要考查了分式的混合运算、新定义等知识点，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据“美好分式”的意义逐个判断即可；
（2）依先对分子进而变形，然后根据题意化简即可；
（3）首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据“美好分式”的定义判断即可．
【详解】（1）解：①由，则①属于“美好分式”；②分式分子的次数低于分母次数，不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则②不属于“美好分式”； 由，则③属于“美好分式”；④则④属于“美好分式”；
故答案为：①③④；
（2）解：．
（3）解：的化简结果是“美好分式”，理由如下：
∵
，
∴的化简结果是“美好分式”．
7．王老师在黑板上书写了一个代数式及其正确的演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如：．求“所捂部分”化简后的结果．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的化简求值，设“所捂部分”为，根据题意列出表达式，运用分式方程的混合运算法则即可解题．
【详解】解：设“所捂部分”为，
可得：，
整理得：
，
所以“所捂部分”化简后的结果为：．
易错点七：因式分解不彻底致错
一、因式分解的常用方法：
①提公因式法：；②公式法：
③分组分解法
④十字相乘法：
二、因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
易错提醒：（1）要牢记公式法和十字相乘法，切不可混淆；
（2）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止
例13．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了综合提公因式、公式法，提公因式法，运用平方差公式进行因式分解．熟练掌握综合提公因式、公式法，提公因式法，运用平方差公式进行因式分解的是解题的关键．
根据综合提公因式、公式法，提公因式法，运用平方差公式进行因式分解对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A中，因式分解不彻底，故不符合要求；
B中，因式分解不彻底，故不符合要求；
C中，不是因式分解，故不符合要求；
D中，因式分解正确，故符合要求；
故选：D．
例14．计算：
(1)化简计算：；
(2)分解因式：；
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查整式混合运算，因式分解．
（1）先用多项式乘以多项式法则和完全平方公式展开，再合并同类项即可；
（2）先提公因式y，再用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
．
变式1．若将多项式进行因式分解后，有一个因式是，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解和多项式乘多项式，由多项式分解因式后有一个因式是得出当时，多项式的值为，由此得出关于的方程，求出方程的解即可，能得出关于的方程是解此题的关键．
【详解】解：∵多项式进行因式分解后有一个因式是，
∴当时，多项式的值为0，
即，
解得：，
∴的值为．
故答案为：．
变式2．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的方法与步骤逐一判断即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：、，故错误，不合题意；
、，故错误，不合题意；
、不是完全平方式，不能进行因式分解，故错误，不合题意；
、，正确，符合题意；
故选：．
变式3．已知，，都是正整数，其中，且，设，则（ ）
A．3B．69C．3或69D．2或46
【答案】C
【分析】本题考查整式化简求值，因式分解的应用．
先化简，再根据得，求得或，从而求得或，再代入计算即可．
【详解】解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∵
∴或，
∴当时，原式，
当时，原式，
∴或69．
故选：C．
变式4．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为
【答案】
【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，
解得，
∴，
∴，
，
，
，
，
故答案为：．
1．若实数a、b、c满足，，那么的值是 ．
【答案】13
【分析】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式将代数式变形是本题的关键．利用完全平方公式将代数式变形：，即可求代数式的值．
【详解】解：，，
故答案为：13
2．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案，掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：．等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
．等式左右不相等，故本选项不符合题意；
．等式左右不相等，故本选项不符合题意；
．等式右边是整式积的形式，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
3．下列因式分解：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查提公因式法，公式法，十字相乘法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的方法一一判断即可求解．
【详解】解：①，故原式错误；
②，故原式正确；
③，故原式错误；
④，故原式错误；
综上所述，正确的有②，共个，
故选：．
4．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为14，面积为12，请计算的值为（ ）

A．42B．84C．76D．82
【答案】B
【分析】本题考查了求代数式值，因式分解-提公因数法，关键是由提公因数法得到，由长方形的面积、周长公式得到，，即可求值．
【详解】解：由题意得：，，
，
，
故选：．
5．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了因式分解：
（1）先提取公因式y，然后再运用完全平方公式因式分解即可；
（2）先提取公因式，然后再运用完全平方公式因式分解即可；
（3）先运用平方差公式，再运用完全平方公式因式分解即可；
（4）先整理，再提出公因式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
6．计算：
(1)已知，求的值．
(2)先化简，再求值：其中a、b满足．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，整式的化简求值，非负数的性质：
（1）先把所求式子因式分解为，再代值计算即可；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，进一步计算多项式除以单项式化简，再利用非负数的性质求出a、b的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴原式．
7．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
仿照以上方法分解因式：
(1)；
(2)．
(3)解决问题：已知、、、为的三边长，，且为等腰三角形，求的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)的周长是5
【分析】本题考查因式分解及其应用，分组分解法，拆项法因式等知识，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
（1）运用分别分组分解法将看出一组，再用平方差公式因式分解即可；
（2）运用拆项法将拆成，再运用（1）的方法因式分解即可；
（3）将化成平方和等于0的形式，从而求出a、b，再运用等腰三角形的定义分类讨论即可得解．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3），
，
，
，，
，，
是等腰三角形，
或(不符合三角形三边关系，舍去)
的周长．
8．阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则原式
再将“”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解： ________；
(2)因式分解：；
(3)求证：无论n为何值，式子的值一定是一个不小于1的数．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了因式分解，掌握整体思想解决问题的方法是解题的关键．
（1）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式；
（2）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式；
（3）先由，运用整体思想，再即可得到式子的值一定是一个不小于1的数．
【详解】（1）解：令，
原式，
将“”还原，得原式；
故答案为：；
（2）解：令，
原式
，
将“”还原，得：
原式；
（3）证明：令，
原式
，
将 还原，
原式，
因为无论为何值，
所以．
即式子 的值一定是一个不小于1的数．
9．阅读下列材料，观察解题过程：已知，求的值．
解：，
，
，
，
，
，解得
．
根据你的观察，解答以下问题：
(1)已知，求的值．
(2)当x、y分别取何值时，多项式的值最小？请你求出最小值．
【答案】(1)
(2)当时，有最小值，最小值为8
【分析】本题主要考查了非负数的性质，因式分解的意义，代数式求值：
（1）仿照题意得到，进而求出，最后代值计算即可；
（2）利用配方法把原式变形为，则，当且仅当时等号成立，据此求出当时，有最小值，最小值为8．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
，
∵，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为8．