2024年中考数学易错模型01 全等模型（八大易错分析+变式训练+易错题通关）（原卷版）

这是一份2024年中考数学易错模型01 全等模型（八大易错分析+变式训练+易错题通关）（原卷版），共30页。试卷主要包含了角的平分线的判定，角的平分线的尺规作图，三角形的角平分线等内容，欢迎下载使用。

易错模型一：角平分线模型
角平分线的性质与判定
角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
3、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图步骤：
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。
角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系：
角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任
意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。
角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上
理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。
角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。
【易错点】
发现几何关键字：角平分线，学会用角平分线的性质添加辅助线——过角平分线上的点向两边作垂线；
例1．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A．B．C．D．4
例2．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．

变式1．如图，在中，平分，点D是的中点，且，连接，，则的度数为 ．用含的式子表示）

变式2．如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有 ．
变式3．已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动，
(1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：；
(2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由．
1．如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP= ．
3．如图，在五边形中，，平分，．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
4．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．

易错模型二：垂直模型
【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直．
【常见模型】
【易错点】
善于发现两个有关联的直角，利用直角三角形的两个锐角互余的特征来做；
例3．如图，直线上有三个正方形，若，的面积分别为5和11，则的面积为（ ）
A．13B．16C．36D．55
例4．如图，为等腰直角三角形，若，，则点的坐标为 ．
变式1．如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为 ．
变式2．如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ．
变式3．综合与实践：如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为，．
(1)猜想线段、、三者之间的数量关系，并给予证明．
(2)如图2，当过点的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，线段、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；
1．如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（ ）
A．6cmB．1.5cmC．3cmD．4.5cm
2．如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则k的值为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，，，B为y轴正半轴上一点，D在第四象限，且，平分，．
(1)直接写出B点坐标；
(2)求证：；
(3)求四边形的面积．
4．已知，射线于点A，，等腰直角的顶点D，E分别在射线和上，，，过点作于点，延长交射线于点．

(1)如图，点，在线段，上．
①若，，求的度数；
②证明：；
(2)若，，请直接写出线段BE的长．
易错模型三：半角模型
【模型分析】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型．
【常见模型】
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．
【易错点】
当出现45°角和60°角时，要联系到半角模型；
例5．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36B．21C．30D．22
例6．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 ．
变式1如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，若BE＝2，则EF的长为 ．
变式2．在中，，点在边上，．若，则的长为 ．
变式3．（1）阅读理解
如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABG．易证AEF≌ ，得出线段BF，DE，EF之间的关系为 ；
（2）类比探究
如图2，在等边ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；
（3）拓展应用
如图3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，请直接写出线段BD的长．

1．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（ ）

A．①②③④B．②③C．②③④D．③④
2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为 ．
3．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E．
(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E；
(2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）
4．如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．
(1)求证：；
(2)连接，则的值为__________；
(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．
易错模型四：一线三等角模型
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．
【常见模型】
例7．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（ ）
A．B．2C．4D．
例8．小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ．
变式1．如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为 ．

变式2．如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则 ．

变式3．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．

1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3B．2C．D．
2．如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为 ．
3．如图1，在中，，,直线经过边．将绕点C顺时针旋转一定的角度，过点A作于点D，过点B作于点E．

(1)当绕点C旋转到图2的位置时，①求证：；②求证：；
(2)当绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
4．在中，，，直线经过点，且于，于．

(1)当直线绕点旋转到图1位置时，求证：；
(2)当直线绕点旋转到图2位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明；
(3)当直线绕点旋转到图3位置时，、、之间的等量关系是___（直接写出答案，不需证明）．
易错模型五：手拉手模型
【模型分析】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．
【模型图示】

公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得．
【常见模型】

（等腰）
（等边）
（等腰直角）

例9．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（ ）

A．4B．2+6C．+3D．6
例10．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．
恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）
变式1．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边DE上，连接BD，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 （填序号）
变式2．已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AD、CD上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，连接EF，则EF的长为 ．
变式3．如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上．
(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；
(2)猜想 与 的位置关系，并说明理由．
1．如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
2．如图，，均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且，分别与，交于点M，N，连结．则下列结论：（1）；（2）为等边三角形；（3）平分；（4）；（5）平分．其中正确的有（ ）
3．如图，已知四边形是正方形，对角线相交于O，设E、F分别是上的点，若，，求四边形的面积．
4．如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．

(1)求证：四边形是等腰梯形；
(2)点在腰上，连接交于点，若，求证：．
易错模型六：旋转模型
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件．
【常见模型】

例11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是（ ）

A．45°B．60°C．62.5°D．67.5°
例12．如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为 ．
变式1．如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=4，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF，则线段OF长的最小值为
变式2．如图，在四边形中，于，则的长为
变式3．如图1，等边中，分别交、于点D、E．
(1)求证：是等边三角形；
(2)将绕点C顺时针旋转（），设直线与直线相交于点F．
①如图2，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
②若，，当B，D，E三点共线时，求的长．
1．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3cm，那么PP′的长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，和都是等腰直角三角形，，，则 度．
3．等腰中，，．

(1)如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接．
①求证：．
②当，时，求的长；
(2)如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰，当，时，则的长 __________．（直接给出答案）．
4．已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．

(1)如图1，可得___________；若，则___________．
(2)如图2，若，则___________．（用含a的式子表示）
(3)设，将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与a的数量关系，并予以说明．
易错模型七：倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，为的中点.
证明思路：若延长至点，使得，连结，则;
若延长至点，使得，连结，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.
证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.
例13．在中，，中线，则边的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例14、如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 ．
变式1．如图，在，点是上的一点，连接，平分，交于中点，连接，若，则 ．

变式2．如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ．
变式3．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
1．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2B．C．D．3
2．如图，在中，，，求边上中线的范围为 ．
3．如图，为中线，点在上，交于点，．求证：．
4．已知中，
(1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 ．
(2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．
(3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．
易错模型八：截长补短模型
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD

方法： = 1 \* GB3 ①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC； = 2 \* GB3 ②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例15．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（ ）
A．2B．4C．2D．4
例16．四边形中，平分，，，则的度数是 ．
变式1．已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为 ．
变式2．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是 ．
变式3、如图，在平面直角坐标系中，，，B为y轴正半轴上一点，D在第四象限，且，平分，．
(1)直接写出B点坐标；
(2)求证：；
(3)求四边形的面积．
1．如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（ ）个
① ②连接，则平分 ③ ④
A．4B．3C．2D．1
2．如图，为等边三角形，若，则 （用含的式子表示）．
3．如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．

4．在四边形中，点C是边的中点．
(1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由；
(2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．