实战演练09 立体几何建系求点问题（3大常考点归纳）-备战2025年高考数学（新高考卷）

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一、建系设点有关的基础储备
与垂直相关的定理与结论
（1）线面垂直
① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直
② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直
③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④ 直棱柱：侧棱与底面垂直；
⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体。
⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心。
⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心。
（2）线线垂直（相交垂直）
① 正方形，矩形，直角梯形
② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）
③ 菱形的对角线相互垂直
④ 勾股定理逆定理：若，则
二、建立直角坐标系的原则
1.轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点
2.轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：
（1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上
（2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件
（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3.常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。
4.同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5.解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。
三、坐标的书写
1.能够直接写出坐标的点
（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下：
轴： 轴： 轴：
（2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例：
则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了
2.空间中在底面投影为特殊位置的点
如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）
这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为
以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：
3.需要计算的点
①中点坐标公式：，则中点
②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ，
四、空间直角坐标系建立的模型
(1)墙角模型：已知条件中有过一点两两垂直的三条直线，就是墙角模型．
建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，当然条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直面内两条线垂直)，这个过程不能省略．然后建系．

(2)垂面模型：已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是墙角模型．
情形１ 垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况．
第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1
第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2
第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3

图1－1

图1－2

图1－3
情形2 垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1．

图2－1 图2－2 图2－3
情形3 垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1．

图3－1
①直接建系
一、解答题
1．（2024·广西柳州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明,再通过线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面与平面的法向量，根据向量法求二面角的公式即可求解.
【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，，，
所以，，，
，，．
因为，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）设平面的法向量为n=x,y,z，
则，取，则，．
所以，是平面的一个法向量，
又因为平面，
所以为平面的一个法向量，
则，
设平面与平面的夹角为，
则，即平面与平面的夹角的余弦值为．
2．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，．
(1)求证：；
(2)求直线PE与平面PBD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知先证平面，再利用线面垂直的性质定理即可得证；
（2）运用空间向量法，借助法向量和方向向量,向量夹角公式求解即可.
【详解】（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥BD．
又底面ABCD为正方形，∴．
又，且PA，平面PAC，∴平面PAC，
∵平面PAC，∴．
（2）以A点为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示，
则A0,0,0，，，，，
则，，，
设平面PBD的法向量为n=x,y,z，
则即,令，可得，
∴，
设直线PE与平面PBD所成角为，
则．
3．（2024·湖南·三模）如图，四棱锥的底面是梯形，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)存在，.
【分析】（1）只需结合已知证明平面，由面面垂直的判定定理即可进一步得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，引入参数，进一步表示两个平面的法向量，由向量夹角公式建立方程即可求解.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
因为，所以，
所以，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以，又，
所以两两互相垂直，
所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图，，
设，
则，
，设平面的法向量为n1=x1,y1,z1，
则，即，取，满足条件，
所以可取，
，，设平面的法向量为，
则，即，取，解得，
所以，
由题意，
化简并整理得，解得或（舍去），
所以，
综上所述，棱上是否存在一点E，且，使得二面角的余弦值为.
4．（24-25高三上·河南·开学考试）如图，直三棱柱的体积为6，的面积为4．
(1)求到平面的距离；
(2)设为的中点，，平面平面，求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等体积法，由可构造方程求得结果；
（2）利用线面垂直的判定与性质可证得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）由题意知；
设点到平面的距离为，
，解得：，
即点到平面的距离为.
（2）取的中点，连接，
，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
三棱锥为直三棱柱，平面，
又平面，；
，平面，平面，
平面，则，且.
以为坐标原点，以正方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

由（1）知，点到平面的距离为，则，
，，
，，
，，，，，
，，，
设平面的法向量m=x,y,z，
则，解得，令，得，；
设平面的法向量n=a,b,c，
则，解得，令，得，；
，
设平面与平面夹角为，则
则平面与平面夹角的正弦值为.
5．（2024·天津河西·二模）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依据题意建立以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，计算即可得证.
（2）由（1）得直线的的方向量，平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则由即可得解.
（3）求出平面的一个法向量，计算，则由计算结果即可得解.
【详解】（1）如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得A0,0,0，，，，，，
，，，
则，，
设平面的一个法向量为n1=x1,y1,z1，则，
故，即，则，
令，得，
所以，
所以，又平面，
所以平面.
（2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设平面的一个法向量，由（1）可得，，
则，故，即，
令，得，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
②通过证线面垂直建系
一、解答题
1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）如图，五面体ABCDEF中，已知面面，，，.
(1)求证：.
(2)若，，点P为线段中点，求直线与平面夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由已知证出面，则，进而得出平面，再根据以及线面垂直的性质定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出面的法向量，结合线面角的向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）取中点M，连接，因为，所以，
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面，平面，所以，
又因为，且，平面，
所以平面，平面，所以，
又，所以；
（2）因为在直角梯形中，，AB=4，，
易求得，又，，所以三角形为等边三角形，
如图，以M为原点建立直角坐标系，，，，，，
因为P是中点，所以点P坐标为，
所以，，，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，则可取，
设直线与平面夹角为，
所以.
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，已知斜三棱柱的侧面是菱形，，．
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理进行证明；
（2）利用垂直关系建立空间直角坐标系，用向量法进行求解．
【详解】（1）
取的中点，连接．
因为侧面是菱形，，所以是正三角形，
因为是中点，所以．
因为是中点，，所以，
又因为平面平面，
所以平面．
因为平面，所以．
因为斜三棱柱，所以，所以．
（2）因为平面平面，所以平面，因为平面，所以．
又因为平面平面，所以平面．
以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
所以，，
设平面的一个法向量为，
则即．
取，则，所以．
设平面的一个法向量为，
则即
取，则，所以．
又，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
3．（2024·青海·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，M为AC的中点，．
(1)证明：．
(2)若，BB1=4，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）取的中点，连接，，将线线垂直转换为线面垂直，即平面，通过线面垂直的判断定理证明即可；
（2）先证明平面ABC，再建立空间直角坐标系求出各点的坐标，求出二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式即可得出结果.
【详解】（1）证明：取AB的中点，连接，，因为M为AC的中点，所以，
又，所以，
因为B1C1//BC，所以，所以M，N，，四点共面，
因为，，，平面，平面，
所以平面，所以.
（2）因为平面，所以，
又，BB1=4，所以，
因为，，所以在中，，则，
由平面，可得.因为，所以平面ABC，
以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，以经过点且垂直于方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则由，可得，
令，得，
由题可知，平面的一个法向量为，
，
则平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
4．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在三棱柱中，为的中点，，，，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接、，利用等腰三角形性质及线面垂直判定定理得BP⊥平面，利用等边三角形的性质及线面垂直判定定理得平面，进而证得平面，即可利用线面垂直的定义可得证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式及同角三角函数关系求解即可.
【详解】（1）取的中点，连接、，
为的中点，，，
，，
又因为，平面，因此BP⊥平面，
又是三棱柱，是平行四边形，
，，
、均为等边三角形，，则，，
，
，平面，平面，
平面，，
，在中，，，，又，
，即，
又平面，平面，
平面，∴PE⊥BC.
（2）由（1）可知、、两两垂直，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，A3,0,0，，
由于是的中点，得，又由可得，
，，，
设平面的法向量为，则，
即，令，得，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
，
即平面与平面夹角的正弦值为.
5．（2024·山东青岛·二模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，且，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，，即可得到四边形为平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）取中点，连接，，可得平面，得平面，可得平面平面，取的中点，可得面，以为原点，建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量和的坐标，设与平面所成角为，由计算可得.
【详解】（1）
取中点，连接，．
为中点，且，
又，，
且，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
所以平面.
（2）
设
取中点，连接，，
为正三角形，，，
又，所以四边形为平行四边形，
，又，
，又平面，
平面，
∵BC//AD，平面，
又平面，，
在中，，
平面，所以平面平面，
取的中点，则，
面，，
取的中点，以为原点，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设面的一个法向量为，
则，令，则，
又，
设与平面所成角为，则 ，
故直线与平面所成角的正弦值为.
6．（2024·陕西安康·模拟预测）如图（1），在平面五边形中，，将沿折起得到四棱锥，如图（2），满足，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意及向量的关系可得的长度，可得，可得，再由勾股定理可得，进而可证得平面，进而可证得平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量的坐标，求出的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，进而可得所求的线面所成角的正弦值.
【详解】（1），，
且，可得，
，，
所以，①
所以，
在中，，
所以，
所以平面，
所以，②
又平面，③
由①②③可得平面，
平面，
所以平面平面；
（2）过作交于，
由①可得两两相互垂直，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，令，
即，
则，
所以.
设直线与平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查平面与平面垂直的证法及空间向量的方法求线面所成的角的正弦值的方法，属于中档题.
7．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)当时，为棱的中点.
【分析】（1）利用三角形中位线性质、线面平行的判定推理即得.
（2）取AB中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明求解即得．
【详解】（1）由E，F分别为和的中点，得，
而平面，平面，
所以平面.
（2）棱柱中，侧棱底面，
取AB中点O，中点M，连接，
则，平面，而平面，则有，
又，则，即直线两两垂直，
以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，
则，
假设在平面上存在点P，使，设，
，
，即，显然，
由，得，因此，即，此时，
所以当时，存在唯一的点，即棱的中点，使.
8．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且．
(1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)点为的中点，证明见解析
(2)
【分析】（1）当点为中点时，平面平面，依题意可得，从而得到，再由，即可证明平面，从而得证；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可.
【详解】（1）当点为中点时，平面平面，
证明如下：因为四棱锥是正四棱锥，所以，所以.
在正方形中，，所以，
在正方形中，，因为，所以，
因为面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为四棱锥是正四棱锥且所有棱长均为，设，
则，，两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，则，
设，则，因为，，
所以，则，解得，所以，
所以，
设平面的法向量为，则有，
取，则，故，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
③在平面外建系
一、解答题
1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，∥，，，．
(1)证明：；
(2)若为等边三角形，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据几何知识分析可知，结合面面垂直的性质可知平面PAD，即可得结果；
（2）建系标点，求平面PBD的法向量，利用空间向量求线面夹角.
【详解】（1）因为，，可知，，
则AD2+BD2=AB2，即．
因为平面平面，平面平面，且，
可知平面PAD，
且平面PAD，所以．
（2）以为坐标原点，分别，的方向为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为平面平面，可知z轴在平面内，
则，，，，
可得，，．
设平面PBD的法向量为n=x,y,z，则，
令，则，可得．
设直线PC与平面PBD所成的角为，
则，
所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．
2．（2024·河南·模拟预测）如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.
(1)证明：；
(2)若，点满足，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先应用判定定理证明线面垂直，再由线面垂直得出线线垂直；
（2）应用空间向量法求出线面角正弦.
【详解】（1）在平面中，过点作的垂线，垂足为.
平面平面，且平面平面，平面，
故平面.又平面，所以
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，故.
（2）由（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
故，，
所以，，.
设平面的一个法向量，
则令，则.
又因为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
3．（23-24高三下·广西·阶段练习）在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.

(1)证明：平面；
(2)若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求λ.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）题意先证明平面，得到，根据线面垂直判定定理得证；
（2）作，垂直为Q，由（1）得，证得平面，以B为原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，根据与平面所成角正弦值为，解得参数的值；
【详解】（1）证明：由题意知，，
又，所以平面，
又平面，所以，
又，，所以平面
（2）作，垂直为Q，由（1）知，平面，
又平面，所以，
又，，平面，
所以平面
故以B为原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设，则，，，，
又，
所以，故，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则
设与平面所成角为θ，
则，
解得或，
由题意知，故.

4．（2024·西藏·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，于点.

(1)求证：；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理和判定定理证明平面，再根据线面垂直则线线垂直即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角公式求解即可.
【详解】（1）因为平面，平面，所以．
因为，，所以．
结合，得，
因为平面，平面，所以
又，平面，且，所以平面．
又平面，所以，
又，，平面，且，所以平面.
又平面，所以,
（2）如图，以点为坐标原点，过点且平行于的直线为轴，，所在的直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设，，,，
则，得，
设平面的法向量为，
所以，即，
取，则，，所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
所以，即，
取，则，，所以是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

5．（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）在等腰梯形ABCD中，，，，，M为AB中点，将，沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥．

(1)求ME与平面CDE所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）做辅助线，分析可证平面CDE，可知即为所求线面角，结合余弦定理运算求解；
（2）建系标点，求平面MEQ、平面CDE的法向量，利用空间向量求二面角.
【详解】（1）在三棱锥中，取CD中点为Q，
过点M作直线EQ的垂线交直线EQ于点H，

因为ABCD为等腰梯形，且M为AB中点，则，，
可知，，且EQ，平面MEQ，，
则平面MEQ，且平面MEQ，可得，
可知，，，CD，平面CDE，
则平面CDE，可知即为所求线面角，
在等腰梯形ABCD中，已知，，，
可求出，，，
可得，
且，则，
所以直线ME与平面CDE所成角为.
（2）以H为原点，，，为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
可得，，
设平面MEQ的法向量为，则，
取，则，可得，
且平面CDE的法向量为，
可得，
由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
①直接建系
②通过证线面垂直建系
③在图形外建系