重庆市合川区太和中学2023年数学八年级第一学期期末质量跟踪监视模拟试题【含解析】
展开注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每题4分,共48分)
1.一列动车从A地开往B地,一列普通列车从B地开往A地,两车同时出发,设普通列车行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),如图中的折线表示y与x之间的函数关系.下列叙述错误的是( )
A.AB两地相距1000千米
B.两车出发后3小时相遇
C.动车的速度为
D.普通列车行驶t小时后,动车到达终点B地,此时普通列车还需行驶千米到达A地
2.如图,在中,,,以为圆心,任意长为半径画弧分别交、于点和,再分别以、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点,射线交于点,则下列说法中:①是的平分线;②;③点在的垂直平分线上;④.其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
3.如图,将一等边三角形的三条边各8等分,按顺时针方向(图中箭头方向)标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来,这样就建立了“三角形”坐标系.在建立的“三角形”坐标系内,每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始,按顺时针方向),如点的坐标可表示为(1,2,5),点的坐标可表示为(4,1,3),按此方法,则点的坐标可表示为( )
A.B.C.D.
4.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E为AD上一点,且EF⊥BC于点F.若∠C=35°,∠DEF=15°,则∠B的度数为( )
A.65° B.70° C.75° D.85°
5.下列运算正确的是( ).
A.a2•a3=a6B.5a﹣2a=3a2C.(a3)4=a12D.(x+y)2=x2+y2
6.如图:若△ABE≌△ACD,且AB=6,AE=2,则EC的长为( )
A.2B.3C.4D.6
7. “I am a gd student.”这句话中,字母“a”出现的频率是( )
A.2B.C.D.
8.如图,在中,,D是AB上的点,过点D作 交BC于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,,则下列结论正确的有( )
①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等边三角形;④若∠E=30°,则DE=EF+CF.
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
9.下面的图形中对称轴最多的是( )
A.B.
C.D.
10.下列式子中,计算结果等于a9的是( )
A.a3+ a6
B.a1.a
C.(a6) 3
D.a12÷a2
11.下列选项中,能使分式值为的的值是( )
A.B.C.或D.
12.下列图形具有稳定性的是( )
A.B.
C.D.
二、填空题(每题4分,共24分)
13.已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线,若∠A=35°,则∠BCD=_____________.
14.已知(a−1,5)和(2,b−1)关于x轴对称,则的值为 _________ .
15.的倒数是__________.
16.如图所示的棋盘放置在某个平面直角坐标系内,棋子A的坐标为(﹣2,﹣3),棋子B的坐标为(1,﹣2),那么棋子C的坐标是_____.
17. 水由氢原子和氧原子组成,其中氢原子的直径约为0.000 000 000 1 m,这个数据用科学记数法表示为____.
18.对于两个非零代数式,定义一种新的运算:x@y=.若x@(x﹣2)=1,则x=____.
三、解答题(共78分)
19.(8分)如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE的度数;
(3)求证:CD=2BF+DE.
20.(8分)如图,已知A(3,0),B(0,﹣1),连接AB,过B点作AB的垂线段BC,使BA=BC,连接AC.
(1)如图1,求C点坐标;
(2)如图2,若P点从A点出发沿x轴向左平移,连接BP,作等腰直角△BPQ,连接CQ,当点P在线段OA上,求证:PA=CQ;
(3)在(2)的条件下若C、P,Q三点共线,求此时∠APB的度数及P点坐标.
21.(8分)如图,已知线段,求作,使 (使用直尺和圆规,并保留作图痕迹).
22.(10分)如图1,直线AB∥CD,直线l与直线AB,CD相交于点E,F,点P是射线EA上的一个动点(不包括端点)
(1)若∠CFE=119°,PG交∠FEB的平分线EG于点G,∠APG=150°,则∠G的大小为 .
(2)如图2,连接PF.将△EPF折叠,顶点E落在点Q处.
①若∠PEF=48°,点Q刚好落在其中的一条平行线上,请直接写出∠EFP的大小为 .
②若∠PEF=75°,∠CFQ=∠PFC,求∠EFP的度数.
23.(10分)如图,这是由8 个同样大小的立方体组成的魔方,体积为.
(1)这个魔方的棱长为________.
(2)图中阴影部分是一个正方形,求出阴影部分的周长.
24.(10分)先化简,再求值:÷,其中x=.
25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-1,1),B(3,1),C(2,3).
(1)作出关于轴对称的图形,并写出点的坐标;
(2)求的面积.
26. (1)已知a2+b2=6,ab=1,求a﹣b的值;
(2)已知a=,求a2+b2的值.
参考答案
一、选择题(每题4分,共48分)
1、C
【解析】可以用物理的思维来解决这道题.
【详解】未出发时,x=0,y=1000,所以两地相距1000千米,所以A选项正确;y=0时两车相遇,x=3,所以B选项正确;设动车速度为V1,普车速度为V2,则3(V1+ V2)=1000,所以C选项错误;D选项正确.
【点睛】
理解转折点的含义是解决这一类题的关键.
2、D
【分析】①连接,,根据定理可得,故可得出结论;②根据三角形的外角的性质即可得出结论;③先根据三角形内角和定理求出的度数,再由是的平分线得出,根据可知,故可得出结论;④先根据直角三角形的性质得出,,再由三角形的面积公式即可得出结论.
【详解】解:①证明:连接,,
在与中,
,
,
则,
故是的平分线,故此结论正确;
②在中,,,
.
是的平分线,
,
∴,故此结论正确;
③,
,
,
点在的垂直平分线上,故此结论正确;
④在中,,
,
,,
,
,故此结论正确;
综上,正确的是①②③④.
故选:D.
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质,线段垂直平分线的性质,作图基本作图等,熟知角平分线的作法是解答此题的关键.
3、C
【分析】分别找到点C与过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号,然后从水平方向开始,顺时针方向即可写出C的坐标.
【详解】过点C且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号分别是2,4,2
∵水平方向开始,按顺时针方向
∴点C的坐标为
故选:C.
【点睛】
本题主要考查在新坐标系下确定点的坐标,读懂题意是解题的关键.
4、A
【解析】试题解析:∵EF⊥BC,∠DEF=15°,
∴∠ADB=90°-15°=75°.
∵∠C=35°,
∴∠CAD=75°-35°=40°.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠CAD=80°,
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-35°=65°.
故选A.
5、C
【解析】试题分析:选项A,根据同底数幂的乘法可得a2•a3=a5,故此选项错误;选项B,根据合并同类项法则可得5a﹣2a=3a,故此选项错误;选项C,根据幂的乘方可得(a3)4=a12,正确;选项D,根据完全平方公式可得(x+y)2=x2+y2+2xy,故此选项错误;故答案选C.
考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法;完全平方公式.
6、C
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可.
【详解】解:∵△ABE≌△ACF,
∴AC=AB=6,
∴EC=AC﹣AE=6-2=4,
故选:C.
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的性质,熟记性质内容是解此题的关键.
7、B
【解析】这句话中,15个字母a出现了2次,
所以字母“a”出现的频率是.
故选B.
8、B
【解析】由在△ABC中,∠ACB=90°,DE⊥AB,根据等角的余角相等,可得①∠DCB=∠B正确;
由①可证得AD=BD=CD,即可得②CD=AB正确;
易得③△ADC是等腰三角形,但不能证得△ADC是等边三角形;
由若∠E=30°,易求得∠FDC=∠FCD=30°,则可证得DF=CF,继而证得DE=EF+CF.
【详解】在△ABC中,∵∠ACB=90°,DE⊥AB,∴∠ADE=∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∠ACD+∠DCB=90°.
∵∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,∠DCB=∠B;故①正确;
∴CD=BD.
∵AD=BD,∴CD=AB;故②正确;
∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,但不能判定△ADC是等边三角形;故③错误;
∵∠E=30°,∴∠A=60°,∴△ACD是等边三角形,∴∠ADC=30°.
∵∠ADE=∠ACB=90°,∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°,∴CF=DF,∴DE=EF+DF=EF+CF.故④正确.
故选B.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定以及直角三角形的性质.注意证得D是AB的中点是解答此题的关键.
9、B
【分析】分别得出各选项对称轴的条数,进而得出答案.
【详解】A、有1条对称轴;
B、有4条对称轴;
C、有1条对称轴;
D、有2条对称轴;
综上可得:对称轴最多的是选项B.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了轴对称变换,正确得出每个图形的对称轴是解题关键.
10、B
【分析】根据同底数幂的运算法则对各项进行计算即可.
【详解】A. a3+ a6= a3+ a6,错误;
B. ,正确;
C.,错误;
D.,错误;
故答案为:B.
【点睛】
本题考查了同底数幂的运算,掌握同底数幂的运算法则是解题的关键.
11、D
【分析】根据分子等于0,且分母不等于0列式求解即可.
【详解】由题意得
,
解得
x=-1.
故选D.
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:①分子的值为0,②分母的值不为0,这两个条件缺一不可.
12、A
【分析】根据三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性进行判断.
【详解】解:三角形具有稳定性.
故选:A.
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性.
二、填空题(每题4分,共24分)
13、55°
【分析】这道题可以根据CD为斜边AB的中线得出CD=AD,由∠A=35°得出∠A=∠ACD=35°,则∠BCD=90°- 35°=55°.
【详解】如图,∵CD为斜边AB的中线
∴CD=AD
∵∠A=35°
∴∠A=∠ACD=35°
∵∠ACD+∠BCD=90°
则∠BCD=90°- 35°=55°
故填:55°.
【点睛】
此题主要考查三角形内角度求解,解题的关键是熟知直角三角形的性质.
14、-1
【分析】根据两点关于x轴对称的坐标的关系,得a﹣1=2,b﹣1=﹣5,求出a,b的值,进而即可求解.
【详解】∵ 和 关于x轴对称,
∴
解得: ,
∴.
故答案为:﹣1.
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中,两点关于x轴对称坐标的关系,掌握两点关于x轴对称,横坐标相等,纵坐标互为相反数,是解题的关键.
15、
【分析】根据倒数的定义即可得出答案.
【详解】的倒数是,故答案为.
【点睛】
本题考查的是倒数:乘积为1的两个数互为倒数.
16、 (2,1)
【分析】先由点A、B坐标建立平面直角坐标系,进而可得点C坐标.
【详解】解:由点A、B坐标可建立如图所示的平面直角坐标系,
则棋子C的坐标为(2,1).
故答案为:(2,1).
【点睛】
本题考查了坐标确定位置,根据点A、B的坐标确定平面直角坐标系是解题关键.
17、1×10-10.
【分析】根据科学记数法的定义进行求解即可.
【详解】根据题意得:0.0000000001m=1×10-10(m).
故答案为1×10-10.
【点睛】
本题考查科学记数法,其形式为:a×10n(1≤a<10,n为整数).
18、.
【分析】已知等式利用题中的新定义化简,计算即可求出x的值.
【详解】根据题中的新定义化简得:=1,
去分母得:x﹣2+x2=x2﹣2x,
解得:x=,
经检验x=是分式方程的解.
故答案为:.
【点睛】
此题考查解分式方程,解题关键在于利用转化的思想,解分式方程注意要检验.
三、解答题(共78分)
19、(1)证明见解析;(2)∠FAE=135°;(3)证明见解析.
【分析】(1)根据已知条件易证∠BAC=∠DAE,再由AB=AD,AE=AC,根据SAS即可证得△ABC≌△ADE;
(2)已知∠CAE=90°,AC=AE,根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°,由(1)知△BAC≌△DAE,根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°,再求得∠CAF=45°,由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数;
(3)延长BF到G,使得FG=FB,易证△AFB≌△AFG,根据全等三角形的性质可得AB=AG,∠ABF=∠G,再由△BAC≌△DAE,可得AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,所以AG=AD,∠ABF=∠CDA,即可得∠G=∠CDA,利用AAS证得△CGA≌△CDA,由全等三角形的性质可得CG=CD,所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF.
【详解】(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,
∴∠BAC=∠DAE,
在△BAC和△DAE中,
,
∴△BAC≌△DAE(SAS);
(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,
∴∠E=45°,
由(1)知△BAC≌△DAE,
∴∠BCA=∠E=45°,
∵AF⊥BC,
∴∠CFA=90°,
∴∠CAF=45°,
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°;
(3)延长BF到G,使得FG=FB,
∵AF⊥BG,
∴∠AFG=∠AFB=90°,
在△AFB和△AFG中,
,
∴△AFB≌△AFG(SAS),
∴AB=AG,∠ABF=∠G,
∵△BAC≌△DAE,
∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,
∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,
∴∠G=∠CDA,
在△CGA和△CDA中,
,
∴△CGA≌△CDA,
∴CG=CD,
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,
∴CD=2BF+DE.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质,解决第3问需作辅助线,延长BF到G,使得FG=FB,证得△CGA≌△CDA是解题的关键.
20、(1)C(1,-4).(2)证明见解析;(3)∠APB=135°,P(1,0).
【解析】(1)作CH⊥y轴于H,证明△ABO≌△BCH,根据全等三角形的性质得到BH=OA=3,CH=OB=1,求出OH,得到C点坐标;
(2)证明△PBA≌△QBC,根据全等三角形的性质得到PA=CQ;
(3)根据C、P,Q三点共线,得到∠BQC=135°,根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°,根据等腰三角形的性质求出OP,得到P点坐标.
【详解】(1)作CH⊥y轴于H,
则∠BCH+∠CBH=90°,
∵AB⊥BC,
∴∠ABO+∠CBH=90°,
∴∠ABO=∠BCH,
在△ABO和△BCH中,
,
∴△ABO≌△BCH,
∴BH=OA=3,CH=OB=1,
∴OH=OB+BH=4,
∴C点坐标为(1,﹣4);
(2)∵∠PBQ=∠ABC=90°,
∴∠PBQ﹣∠ABQ=∠ABC﹣∠ABQ,即∠PBA=∠QBC,
在△PBA和△QBC中,
,
∴△PBA≌△QBC,
∴PA=CQ;
(3)∵△BPQ是等腰直角三角形,
∴∠BQP=45°,
当C、P,Q三点共线时,∠BQC=135°,
由(2)可知,△PBA≌△QBC,
∴∠BPA=∠BQC=135°,
∴∠OPB=45°,
∴OP=OB=1,
∴P点坐标为(1,0).
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
21、见解析
【分析】作直线,垂足为C,在直线m上截取CB=b,在直线N上截取线段CD=a,在CD上截取CA=,连接AB,则△ABC即为所求作.
【详解】如图所示:
△ABC即为所求
【点睛】
本题考查作图—复杂作图,线段的垂直平分线的性质,解题的关键是熟练掌握基本知识.
22、(1)29.5°;(2)①42°或66°;②35°或63°.
【分析】(1)根据平行线的性质和三角形的内角和即可得到结论;
(2)①Ⅰ、当点Q落在AB上时,利用三角形内角和定理计算即可.Ⅱ、当点Q落在CD上时,∠PQF=∠PEF=48°,利用平行线的性质,三角形的内角和定理计算即可.
②分两种情形:Ⅰ、当点Q在平行线AB,CD之间时.Ⅱ、当点Q在CD下方时,分别构建方程即可解决问题.
【详解】(1)∵直线AB∥CD,
∴∠BEF=∠CFE=119°,∠PEF=180°﹣∠CFE=61°,
∵EG平分∠BEF,
∴∠FEG=∠BEF=59.5°,
∵∠APG=150°,
∴∠EPF=30°,
∴∠G=180°﹣30°﹣61°﹣59.5°=29.5°;
故答案为:29.5°;
(2)①Ⅰ、当点Q落在AB上时,
易证PF⊥AB,可得∠EPF=90°,
∴∠EFP=90°﹣∠PEF=90°﹣48°=42°.
Ⅱ、当点Q落在CD上时,∠PQF=∠PEF=48°,
∵AB∥CD,
∴∠EPQ+∠PQF=180°,
∴∠EPQ=132°,
∵∠EPF=∠QPF,
∴∠EPF=×132°=66°,
∴∠EFP=180°﹣48°﹣66°=66°.
综上所述,满足条件的∠EFP的值为42°或66°,
故答案为:42°或66°.
②Ⅰ、当点Q在平行线AB,CD之间时.
设∠PFQ=x,由折叠可知∠EFP=x,
∵2∠CFQ=∠CFP,
∴∠PFQ=∠CFQ=x,
∴75°+3x=180°,
∴x=35°,
∴∠EFP=35°.
Ⅱ、当点Q在CD下方时,
设∠PFQ=x,由折叠可知∠EFP=x,
∵2∠CFQ=∠CFP,
∴∠PFC=x,
∴75°+x+x=180°,
解得x=63°,
∴∠EFP=63°.
【点睛】
本题考查了三角形的角度问题,掌握平行线的性质和三角形的内角和定理是解题的关键.
23、(1)2cm;(2)cm
【分析】(1)立方体的体积等于棱长的3次方,开立方即可得出棱长;
(2)根据魔方的棱长为2 cm,所以小立方体的棱长为1 cm,阴影部分由4个直角三角形组成,算出一个直角三角形的斜边长再乘4,即为阴影部分的周长.
【详解】(1)=2(cm),
故这个魔方的棱长是2cm;
(2)∵魔方的棱长为,
∴小立方体的棱长为,
阴影部分的边长为,
阴影部分的周长为cm.
【点睛】
本题考查的是立方根在实际生活中的运用,解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长.
24、,.
【分析】先将分式的分子和分母分解因式,将分式约分化简得到最简结果,再将未知数的值代入计算即可.
【详解】,
=,
当x=时,原式=.
【点睛】
此题考查分式的化简求值,化简时需先分解因式约去公因式得到最简分式,再将未知数的值代入求值即可.
25、(1)作图见解析;.(2)
【分析】(1)分别作出点A,B,C关于x轴的对称点,再首尾顺次连接即可得;
(2)直接求出三角形的底边和高,根据三角形的面积公式,即可得到答案.
【详解】解:(1)如图:为所求;
点的坐标为:(2,);
(2)根据题意,,边上的高为2,
∴.
【点睛】
本题主要考查作图——轴对称变换,熟练掌握轴对称变换的定义和性质,并据此得出变换后的对应点是解题的关键.
26、(1)±1;(1)1.
【分析】(1)先根据完全平方公式进行变形,再代入求出即可;
(1)先分母有理化,再根据完全平方公式和平方差公式即可求解.
【详解】(1)由a1+b1=6,ab=1,得a1+b1-1ab=4,
(a-b)1=4,
a-b=±1.
(1),
,
【点睛】
本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用,能灵活运用公式进行变形是解此题的关键.
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