重庆市九龙坡区杨家坪中学2023年八年级数学第一学期期末联考试题【含解析】

这是一份重庆市九龙坡区杨家坪中学2023年八年级数学第一学期期末联考试题【含解析】，共20页。

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，是一高为2m，宽为1.5m的门框，李师傳有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长2.8m，宽2.8m；③号木板长4m，宽2.4m．可以从这扇门通过的木板是（ ）
A．①号B．②号C．③号D．均不能通过
2．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A．极差是47B．众数是42
C．中位数是58D．每月阅读数量超过40的有4个月
4．若，则下列各式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．根据下列条件，只能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB=3 BC=4B．AB=4 BC=3 ∠A=30°
C．∠A=60°∠B=45° AB=4D．∠C=60°AB=5
6．已知实数x，y满足(x-2)2+=0，则点P(x，y)所在的象限是( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
作法：
①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；
②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；
③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．
A．ASAB．SASC．SSSD．AAS
8．小刚以400米/分的速度匀速骑车5分钟，在原地休息了6分钟，然后以500米/分的速度骑回出发地，下列函数图象(图中v表示骑车速度，s表示小刚距出发地的距离，t表示出发时间)能表达这一过程的是( )
A．B．C．D．
9．若(x-3)(x+5)是x2+px+q的因式，则q为( )
A．-15B．-2C．8D．2
10．如图，在中，，，,则图中等腰三角形共有（ ）个
A．3B．4C．5D．6
11．，则下列不等式成立的是( )
A．B．C．D．
12．已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞NB．M＝NC．M≤ND．M＜N
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若分式的值为零，则x的值为_____．
14．对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b=，若2⊕（2x﹣1）=1，则x的值为 ．
15．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产___台机器．
16．以方程组的解为坐标的点在第__________象限．
17．对于实数，，定义运算“”如下：．若，则_____．
18．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，则______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）计算
（1）
（2）
（3）
20．（8分）已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；
（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；
（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值．
21．（8分）如图①：线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，我们把这个图形称为“对顶三角形”，由三角形内角和定理可知：∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD，而∠AOB=∠COD，我们得到：∠A+∠B=∠C+∠D．
（1）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= °；
（3）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= °；
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8.
（1）用直尺和圆规作∠A的平分线，交BC于点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）求S△ADC: S△ADB的值.
23．（10分）如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a），l1与y轴交于点C，l2与x轴交于点A．
（1）求a的值及直线l1的解析式．
（2）求四边形PAOC的面积．
（3）在x轴上方有一动直线平行于x轴，分别与l1，l2交于点M，N，且点M在点N的右侧，x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4），
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
25．（12分）如图，△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，AD是BC的中线，且AD=12cm．
（1）求AC的长；
（2）求△ABC的面积．
26．已知：如图，，．求证：．
（写出证明过程及依据）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可．
【详解】解：如图，由勾股定理可得：

所以此门通过的木板最长为，
所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米．所以选③号木板．
故选C.
【点睛】
本题考查的是勾股定理的实际应用，掌握勾股定理的应用，理解题意是解题的关键.
2、C
【解析】根据分式成立的条件求解．
【详解】解：由题意可知x-3≠0
解得
故选：C．
【点睛】
本题考查分式成立的条件，掌握分母不能为零是解题关键．
3、C
【解析】根据统计图可得出最大值和最小值，即可求得极差；出现次数最多的数据是众数；将这8个数按大小顺序排列，中间两个数的平均数为中位数；每月阅读数量超过40的有2、3、4、5、7、8，共六个月．
【详解】A、极差为：83-28=55，故本选项错误；
B、∵58出现的次数最多，是2次，
∴众数为：58，故本选项错误；
C、中位数为：（58+58）÷2=58，故本选项正确；
D、每月阅读数量超过40本的有2月、3月、4月、5月、7月、8月，共六个月，故本选项错误；
故选C．
4、D
【分析】根据不等式的性质进行解答．
【详解】A、在不等式的两边同时减去1，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意．
B、在不等式的两边同时乘以3，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意．
C、在不等式的两边同时乘以-1，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意．
D、当时，不等式不一定成立，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，做这类题时应注意：在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
5、C
【解析】由所给边、角条件只能画出唯一的△ABC，说明当按所给条件画两次时，得到的两个三角形是全等的，即所给条件要符合三角形全等的判定方法；而在四个选项中，当两个三角形分别满足A、B、D三个选项中所列边、角对应相等时，两三角形不一定全等；当两个三角形满足C选项中所列边、角对应相等时，三角形是一定全等的.
故选C.
6、D
【解析】根据非负数的性质得到x﹣2＝0，y+1＝0，则可确定点 P（x，y）的坐标为（2，﹣1），然后根据象限内点的坐标特点即可得到答案．
【详解】∵（x﹣2）20，∴x﹣2＝0，y+1＝0，∴x＝2，y＝﹣1，∴点 P（x，y）的坐标为（2，﹣1），在第四象限．
故选D．
【点睛】
本题考查了点的坐标及非负数的性质．熟记象限点的坐标特征是解答本题的关键．
7、C
【详解】试题分析：如图，连接EC、DC．
根据作图的过程知，
在△EOC与△DOC中，
，
△EOC≌△DOC（SSS）．
故选C．
考点：1.全等三角形的判定；2.作图—基本作图．
8、C
【解析】根据小刚以400米/分的速度匀速骑车5分,可知路程随时间匀速增加;再根据原地休息,可知其路程不变;然后加速返回, 其与出发点的距离随时间逐渐减少, 据此分析可得到答案.
【详解】解：由题意得,以400米/分的速度匀速骑车5分, 路程随时间匀速增加;
在原地休息了6分,路程不变;以500米/分的速度骑回出发地, 与出发点的距离逐渐减少.
故选C.
【点睛】
本题是一道有关函数的实际应用题,考查的是函数的表示方法-图象法.
9、A
【分析】直接利用多项式乘法或十字相乘法得出q的值．
【详解】解：∵（x−3）（x＋5）是x2＋px＋q的因式，
∴q＝−3×5＝−1．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确得出q与因式之间关系是解题关键．
10、D
【分析】根据等腰三角形的定义即可找到两个等腰三角形，然后利用等边对等角、三角形的内角和、三角形外角的性质求出图中各个角的度数，再根据等角对等边即可找出所有的等腰三角形．
【详解】解：∵，，
∴△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=
∴∠BAD=∠ADE－∠B=36°，∠CAE=∠AED－∠C=36°
∴∠BAD=∠B，∠CAE=∠C
∴DA=DB，EA=EC
∴△DAB和△EAC都是等腰三角形
∴∠BAE=∠BAD＋∠DAE=72°，∠CAD=∠CAE＋∠DAE=72°
∴∠BAE=∠AED，∠CAD=∠ADE
∴BA=BE，CA=CD
∴△BAE和△CAD都是等腰三角形
综上所述：共有6个等腰三角形
故选D．
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的性质及判定、三角形的内角和定理和三角形外角的性质，掌握等角对等边、等边对等角、三角形的内角和定理和三角形外角的性质是解决此题的关键．
11、D
【分析】根据不等式的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，故A错误；
∴不一定成立，故B错误；
∴，故C错误；
∴，故D正确；
故选择：D.
【点睛】
本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质.
12、C
【分析】利用完全平方公式把N﹣M变形，根据偶次方的非负性解答．
【详解】解：N﹣M＝（m2﹣3m）﹣（m﹣4）＝m2﹣3m﹣m+4＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，
∴N﹣M≥0，即M≤N，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是因式分解的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】由题意根据分式的值为0的条件是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．
【详解】解：，
则x﹣1＝0，x+1≠0，
解得x＝1．
故若分式的值为零，则x的值为1．
故答案为：1.
【点睛】
本题考查分式的值为0的条件，注意掌握分式为0，分母不能为0这一条件．
14、．
【分析】先根据规定运算把方程转化为一般形式，然后把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．
【详解】解：2⊕（2x﹣1）=1可化为﹣=1，
方程两边都乘以2（2x﹣1）得，2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1），
解得x=，
检验：当x=时，2（2x﹣1）=2（2×﹣1）=≠0，
所以，x=是原分式方程的解，
即x的值为．
故答案为．
【点睛】
本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
15、1
【详解】设现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣52）台，
根据现在生产622台机器的时间与原计划生产452台机器的时间相同，等量关系为：现在生产622台机器时间=原计划生产452台时间，从而列出方程：，
解得：x=1．
检验：当x=1时，x（x﹣52）≠2．
∴x=1是原分式方程的解．
∴现在平均每天生产1台机器．
16、三
【分析】解出x，y的值，再通过符号判断出在第几象限即可．
【详解】解：由方程组可得，
根据第三象限点的特点可知，点（-1，-1）在第三象限，
故答案为：三．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法及直角坐标系中各象限点的坐标特点，解题的关键是熟记各象限点的坐标特点．
17、
【分析】根据题意列出方程，然后用直接开平方法解一元二次方程．
【详解】解：根据题目给的算法列式：，
整理得：，
，
，
．
故答案是：．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
18、40°
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=40°，再根据垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
又∵的垂直平分线分别交，于点，，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，灵活运用上述性质进行推导是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先根据幂的乘方运算法则和同底数幂的乘除法法则计算原式中的乘方运算，再根据同底数幂的加法法则算加法即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
（3）利用完全平方公式进行计算即可.
【详解】解：（1）原式=
=
=
（2）原式=
=
=
=
（3）原式=
=
=100
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，整式的化简求值，完全平方公式和平方差公式，掌握实数的运算，整式的化简求值，完全平方公式和平方差公式是解题的关键.
20、（1）证明见解析；（2）结论：BD＝2CF．理由见解析；（3）.
【分析】（1）欲证明BF=AD，只要证明△BCF≌△ACD即可；
（2）结论：BD=2CF．如图2中，作EH⊥AC于H．只要证明△ACD≌△EHA，推出CD=AH，EH=AC=BC，由△EHF≌△BCF，推出CH=CF即可解决问题；
（3）利用（2）中结论即可解决问题.
【详解】（1）证明：如图1中，
∵BE⊥AD于E，
∴∠AEF＝∠BCF＝90°，
∵∠AFE＝∠CFB，
∴∠DAC＝∠CBF，
∵BC＝CA，
∴△BCF≌△ACD，
∴BF＝AD．
（2）结论：BD＝2CF．
理由：如图2中，作EH⊥AC于H．
∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，
∴∠DAC＝∠AEH，
∵AD＝AE，
∴△ACD≌△EHA，
∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，
∵CB＝CA，
∴BD＝CH，
∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，
∴△EHF≌△BCF，
∴FH＝CF，
∴BC＝CH＝2CF．
（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．
∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，
∴．
【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
21、（1）180°；（2）360°；（3）540°
【分析】（1）连接BC，如图1，可知：∠EBC+∠DCE=∠D+∠E，根据等量代换和三角形内角和即可求解；
（2）连接AD，如图2，可知：∠EDA+∠FAD=∠E+∠F，根据等量代换和四边形内角和即可求解；
（3）连接CF，如图3，可知：∠DCF+∠EFC=∠E+∠D，根据等量代换和五边形内角和即可求解．
【详解】解：（1）连接BC，如图1，可知：∠EBC+∠DCE=∠D+∠E
∴∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E
=∠A+∠ABE+∠ACD+∠EBC+∠DCE
=∠A+∠ABE+∠EBC+∠ACD+∠DCE
=∠A+∠ABC+∠ACE
=180°
（2）连接AD，如图2，可知：∠EDA+∠FAD=∠E+∠F
∴∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F
=∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠EDA+∠FAD
=∠BAD+∠B+∠C+∠CDA
四边形内角和：（4-2）×180°=360°，
∴∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F =360°
故答案为：360°
（3）连接CF，如图3，可知：∠DCF+∠EFC=∠E+∠D
∴∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G
=∠A+∠B+∠BCD+∠DCF+∠EFC +∠EFG+∠G
=∠A+∠B+∠BCF+∠CFG+∠G
五边形内角和：（5-2）×180°=540°，
∴∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G =540°，
故答案为：540°
【点睛】
本题考查多边形内角和，解题的关键是根据题中给出的思路，用等量代换将要求的角转化在同一个多边形内，根据多边形的内角和求解即可．
22、（1）见解析；（2）.
【分析】（1）以A为圆心,以任意长度为半径作弧,分别交AC、AB于P、Q，分别以P、Q为圆心，以大于PQ长度为半径作弧，交于点M，连接AM并延长，交BC于D，从而作出AD；
（2）过点D作DE⊥AB于E，根据勾股定理求出AB，然后根据角平分线的性质可得：DE=DC，最后根据三角形的面积公式求S△ADC: S△ADB的比值即可.
【详解】解:（1）以A为圆心,以任意长度为半径作弧,分别交AC、AB于P、Q，分别以P、Q为圆心，以大于PQ长度为半径作弧，交于点M，连接AM并延长，交BC于D，如图所示：AD即为所求；
（2）过点D作DE⊥AB于E
∵AC=6，BC=8
根据勾股定理可得：AB=
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC
∴DE=DC
∴S△ADC: S△ADB=（AC·DC）：（AB·DE）= AC：AB=6:10=
【点睛】
此题考查的是画一个角的角平分线、勾股定理和角平分线的性质，掌握用尺规作图作一个角的角平分线、用勾股定理解直角三角形和角平分线上的点到角两边的距离相等是解决此题的关键.
23、（1）a=2，y=﹣x+1；（2）四边形PAOC的面积为；（3）点Q的坐标为或或（﹣，0）．
【分析】（1）将点P的坐标代入直线l2解析式，即可得出a的值，然后将点B和点P的坐标代入直线l1的解析式即可得解；
（2）作PE⊥OA于点E，作PF⊥y轴，然后由△PAB和△OBC的面积即可得出四边形PAOC的面积；
（3）分类讨论：①当MN=NQ时，②当MN=MQ时，③当MQ=NQ时，分别根据等腰直角三角形的性质，结合坐标即可得解.
【详解】（1）∵y=2x+4过点P（﹣1，a），
∴a=2，
∵直线l1过点B（1，0）和点P（﹣1，2），
设线段BP所表示的函数表达式y=kx+b并解得：
函数的表达式y=﹣x+1；
（2）过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥y轴交y轴于点F，
由（1）知，AB=3，PE=2，OB=1，点C在直线l1上，
∴点C坐标为（0,1），
∴OC=1
则；
（3）存在，理由如下：
假设存在，如图，设M（1﹣a，a），点N，
①当MN=NQ时，
∴
∴，
②当MN=MQ时，
∴
∴，
③当MQ=NQ时，，
∴，
∴．
综上，点Q的坐标为：或或（﹣，0）.
【点睛】
此题主要考查一次函数的几何问题、解析式求解以及动直线的综合应用，熟练掌握，即可解题.
24、（1）详见解析，B1的坐标为（﹣4，2）；（2）（2，0）．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）作点A关于x轴的对称点，再连接A′B，与x轴的交点即为所求．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点B1的坐标为（﹣4，2）．
（2）如图所示，点P即为所求，其坐标为（2，0）．
【点睛】
本题考查了坐标轴画图的问题，掌握坐标轴的性质以及关于y轴对称的点的性质是解题的关键．
25、（1）AC= 13cm；（1）2cm1．
【分析】（1）根据已知及勾股定理的逆定理可得△ABD，△ADC是直角三角形，从而不难求得AC的长．
（1）先根据三线合一可知：AD是高，由三角形面积公式即可得到结论．
【详解】（1）∵D是BC的中点，BC=10cm，∴DC=BD=5cm．
∵BD1+AD1=144+15=169，AB1=169，∴BD1+AD1=AB1，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，∴△ADC也是直角三角形，且AC是斜边，∴AC1=AD1+DC1=AB1，∴AC=13（cm）．
（1）∵AB=AC=13，BD=CD，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×10×11=2．
答：△ABC的面积是2cm1．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是得出中线AD是BC上的高线．
26、证明见解析．
【分析】由EG∥FH得∠OEG=∠OFH，从而得∠AEF=∠DFE，进而得AB∥CD，即可得到结论．
【详解】∵EG∥FH（已知），
∴∠OEG=∠OFH（两直线平行，内错角相等），
∵∠1=∠2（已知），
∴∠OEG+∠1=∠OFH+∠2（等式的基本性质），
即∠AEF=∠DFE，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠BEF +∠DFE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定定理，掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键．