专项素养综合全练（五）新定义型试题练习（含解析）青岛版数学九年级下册

这是一份专项素养综合全练（五）新定义型试题练习（含解析）青岛版数学九年级下册，共17页。试卷主要包含了已知b≠0,定义新运算，定义新运算，阅读下列材料，【分类讨论思想】规定，定义等内容，欢迎下载使用。

新定义型试题
类型一 定义新运算型
1.(2023山东青州二模)已知b≠0,定义新运算:a⊕b=ab(b>0),-ab(b<0),例如:3⊕5=35,3⊕(-5)=35,则y=3⊕x(x≠0)的图象大致是 ( )
A. B. C. D.
2.【新独家原创】(多选题)对于任意实数a,b定义一种运算:
a※b=12a+b(a≥b),ab(aA.(0,0) B.(0,4) C.(2,3) D.(2,4)
3.定义新运算:对于任意实数a,b,都有a⊗b=ab-(a+b),例如:2⊗3=2×3-(2+3)=1.若y关于x的函数y=(kx+1)⊗(x-1)的图象与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为 .
4.(2022内蒙古赤峰中考)阅读下列材料.
定义运算:mina,b,当a≥b时,mina,b=b;当a完成下列任务.
(1)①min(-3)0,2= ;
②min-14,-4= ;
(2)如图,已知反比例函数y1=kx(k≠0)和一次函数y2=-2x+b的图象交于A、B两点.当-2类型二 定义新概念型
5.【山东菏泽常考·新定义】(2023山东菏泽中考)若一个点的纵坐标是横坐标的3倍,则称这个点为“三倍点”,如:A(1,3),B(-2,-6),C(0,0)等都是“三倍点”.在-3A.-14≤c<1 B.-4≤c<-3
C.-14≤c<6 D.-4≤c<5
6.【分类讨论思想】(2023四川巴中中考)规定:如果两个函数的图象关于y轴对称,那么称这两个函数互为“Y函数”.例如:函数y=x+3与y=-x+3互为“Y函数”.若函数y=k4x2+(k-1)x+k-3的图象与x轴只有一个交点,则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 .
7.(2021山东菏泽中考)定义:[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的特征数,下面给出特征数为[m,1-m,2-m]的二次函数的一些结论:①当m=1时,函数图象的对称轴是y轴;②当m=2时,函数图象过原点;③当m>0时,函数有最小值;④如果m<0,那么当x>12时,y随x的增大而减小.其中所有正确结论的序号是 .
8.(2023浙江绍兴中考)在平面直角坐标系xOy中,一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界),这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如:如图,函数y=(x-2)2(0≤x≤3)的图象(抛物线中的实线部分),它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y=14x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC,则b= .
9.(2022四川遂宁中考)在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数,则称该点为“黎点”.例如:(-1,1),(2 022,-2 022)都是“黎点”.
(1)求双曲线y=-9x上的“黎点”;
(2)若抛物线y=ax2-7x+c(a≠0,a,c为常数)上有且只有一个“黎点”,当a>1时,求c的取值范围.
10.【新考向·代数推理】(2023云南中考)数和形是数学研究客观物体的两个方面,数(代数)侧重研究物体数量方面,具有精确性.形(几何)侧重研究物体形的方面,具有直观性.数和形相互联系,可用数来反映空间形式,也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题,充分利用代数、几何各自的优势,数形互化,共同解决问题.
同学们,请你结合所学的数学知识解决下列问题.
在平面直角坐标系中,若点的横坐标、纵坐标都为整数,则称这样的点为整点.设函数y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4(实数a为常数)的图象为图象T.
(1)求证:无论a取什么实数,图象T与x轴总有公共点;
(2)是否存在整数a,使图象T与x轴的公共点中有整点?若存在,求所有整数a的值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
1.B 由题意得,y=3⊕x=3x(x>0),-3x(x<0),
当x>0时,反比例函数y=3x的图象在第一象限,当x<0时,反比例函数y=-3x的图象在第二象限,因此B选项符合,故选B.
2.AC 当x≥4-x时,x≥2,则y=12x+4-x=-12x+4,取x=2,得y=-12×2+4=3,故函数图象过点(2,3);当x<4-x时,x<2,则y=x(4-x)=-x2+4x,当x=0时,y=0,故函数图象过点(0,0),故选AC.
3.答案 -1
解析 根据题意得y=(kx+1)⊗(x-1)=(kx+1)·(x-1)-(kx+1+x-1)=kx2-2kx-1,
①当k=0时,函数为y=-1,其图象与x轴没有公共点;
②当k≠0时,函数y=kx2-2kx-1为二次函数,要使其图象与x轴仅有一个公共点,则Δ=4k2+4k=0,
解得k=-1或k=0(舍去),
∴实数k的值为-1.
4.解析 (1)①∵(-3)0=1<2,∴min(-3)0,2=1.
②∵-14>-4,∴min-14,-4=-4.
(2)由函数图象可知当-2∴minkx,-2x+b=-2x+b,
又∵minkx,-2x+b=(x+1)(x-3)-x2,
∴-2x+b=(x+1)(x-3)-x2,∴b=-3,
∴一次函数的解析式为y2=-2x-3,
当x=-2时,y2=1,∴A(-2,1),
将A(-2,1)代入y1=kx,得k=-2×1=-2,
∴反比例函数的解析式为y1=-2x.
5.D 由题意得,“三倍点”所在的直线为y=3x,
在-3即在-3令3x=-x2-x+c,整理得,x2+4x-c=0,
则Δ=16+4c≥0,解得c≥-4,
要使抛物线y=-x2-x+c与直线y=3x的交点至少有一个在-3即-(-3)2-(-3)+c<3×(-3)或-12-1+c<3×1,
解得c<-3或c<5.
∵只要存在一个“三倍点”即可,∴c<5.
综上,c的取值范围为-4≤c<5.故选D.
6.答案 (3,0)或(4,0)
解析 当k=0时,函数解析式为y=-x-3,
它的“Y函数”解析式为y=x-3,它们的图象与x轴都只有一个交点,
∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为(3,0);
当k≠0时,此函数为二次函数,
若二次函数y=k4x2+(k-1)x+k-3的图象与x轴只有一个交点,
则Δ=(k-1)2-4×k4×(k-3)=0,
解得k=-1,∴二次函数的解析式为y=-14x2-2x-4=-14(x+4)2,
∴它的“Y函数”解析式为y=-14(x-4)2,
令y=0,则x1=x2=4,
∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为(4,0),
综上,它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为(3,0)或(4,0).
7.答案 ①②③
解析 由特征数的定义可知,特征数为[m,1-m,2-m]的二次函数的表达式为y=mx2+(1-m)x+2-m.
∵此抛物线的对称轴为直线x=-1-m2m=m-12m,
∴当m=1时,对称轴为直线x=0,即y轴,故①正确;
当m=2时,此二次函数的表达式为y=2x2-x,
令x=0,则y=0,
∴函数图象过原点,故②正确;
当m>0时,二次函数的图象开口向上,函数有最小值,故③正确;
∵m<0,∴抛物线开口向下,
对称轴为直线x=m-12m=12-12m>12,
∴当x>12-12m时,y随x的增大而减小,故④错误.
∴正确结论的序号是①②③.
8.答案 712或-2512
解析 y=(x-2)2(0≤x≤3)中,当x=0时,y=4,
∴C(0,4),
易知A(3,0),∵四边形ABCO是矩形,∴B(3,4).
∵抛物线y=14x2过点(0,0)和点3,94,
∴二次函数y=14x2+bx+c(0≤x≤3)的图象的对称轴只能在OC左侧或AB右侧,
①当对称轴在OC左侧,抛物线经过O、B时,将点O(0,0),B(3,4)代入y=14x2+bx+c(0≤x≤3)得
c=0,94+3b+c=4,解得b=712,c=0.
②当对称轴在AB右侧,抛物线经过A、C时,将点A(3,0),C(0,4)代入y=14x2+bx+c(0≤x≤3)得
94+3b+c=0,c=4,解得b=-2512,c=4.综上所述,b=712或-2512.
9.解析 (1)设双曲线y=-9x上的“黎点”为(m,-m),则-m=-9m,解得m=±3,
∴双曲线y=-9x上的“黎点”为(3,-3),(-3,3).
(2)∵抛物线y=ax2-7x+c上有且只有一个“黎点”,
∴方程ax2-7x+c=-x(a≠0),即ax2-6x+c=0有两个相等的实数根,
∴Δ=36-4ac=0,∴ac=9,∴a=9c.
∵a>1,∴010.解析 (1)证明:当4a+2=0,即a=-12时,函数表达式为y=12x+6,它是一次函数,此时图象T与x轴一定有一个公共点.
当4a+2≠0,即a≠-12时,
y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4为二次函数,
∵Δ=(9-6a)2-4(4a+2)(-4a+4)
=100a2-140a+49=(10a-7)2≥0,
∴函数的图象与x轴一定有公共点.
综上所述,无论a取什么实数,图象T与x轴总有公共点.
(2)存在整数a,使图象T与x轴的公共点中有整点.
理由:∵a为整数,∴a≠-12,
∴这个函数为二次函数.
在y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4中,令y=0得,(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4=0,
解得x1=-12,x2=4a-42a+1,
∵-12不是整数,∴4a-42a+1为整数.
∵4a-42a+1=4a+2-62a+1=2-62a+1,
∴2a+1可以取的值为±1,±2,±3,±6,
∵a是整数,∴2a+1可以取的值为±1,±3.
当2a+1=1时,a=0,当2a+1=-1时,a=-1,
当2a+1=3时,a=1,当2a+1=-3时,a=-2,
∴所有整数a的值为0,-1,1,-2.