苏科版数学九上 第2章综合素质评价试卷

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第2章综合素质评价　一、选择题(每题3分，共24分)1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是(　　)A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．无法确定2．【母题：教材P54图2－26】如图，点A，B，C在⊙O上 ，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为(　　)A．27° B．108° C．116° D．128°3．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于(　　)A．8 B．2 C．10 D．54．【2023·镇江实验中学模拟】如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连接BO，CO，则∠BOC的度数是(　　)A．60° B．70° C．80° D．90°5．苏州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥(如图)．已知桥拱半径OC为5 m，水面宽AB为4eq \r(6) m，则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为(　　)A．4eq \r(6) m B．7 m C．(5＋eq \r(6))m D．6 m6．已知圆内接正三角形的面积为eq \r(3)，则该圆的内接正六边形的边心距是(　　)A．2 B．1 C.eq \r(3) D.eq \r(2)7．【数学文化】欧几里得被称为“几何之父”，其著作《几何原本》的第二卷中记载了方程x2＋4nx－9m2＝0根的图形解法：如图，在⊙O中，CD为直径，⊙O的切线与CD的延长线交于点B，切点为A，连接AO，AC，使AB＝3m，CD＝4n，则该方程的一个正根是(　　)A．BD的长度 B．BO的长度C．BC的长度 D．AC的长度8．【2022·武汉】如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9 cm，AB＝20 cm，BC＝24 cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是(　　)A.eq \f(110,13) cm　　　　　B．8 cm　　　　　C．6eq \r(2) cm　　　　　D．10 cm二、填空题(每题3分，共30分)9．【2022·连云港】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点．连接BC，与⊙O交于点D，连接OD.若∠AOD＝82°，则∠C＝________°.10．【母题：教材P49习题T7】如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于点E，F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为________．11．【母题：教材P85练习T1】挂钟的分针长10 cm，经过15分钟，它的针尖经过的路径长为__________cm.12．【2022·永州】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝________度．13．【2023·泰州高港区校级模拟】一个圆锥的底面半径为3，其侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的侧面积为________．14．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，那么∠A＝________．15．【母题：教材P78图2－55】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为eq \o(DE,\s\up8(︵))上的一点(点P不与点D重合)，则∠CPD的度数为________．16．【2022·金华】如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C.已知AC＝6 cm，CB＝8 cm，则⊙O的半径为________ cm.17．【母题：教材P68练习T3】为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60 cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度约为________cm.18．【2022·梧州】如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于eq \f(1,2)OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F.若OA＝1，则eq \o(BE,\s\up8(︵))，AE，AB所围成的阴影部分的面积为____________．三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连接BC，若∠P＝30°，求∠B的度数．20．【2023·扬州校考模拟】下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图①，P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．作法：如图②所示．①连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A；②以点A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于B，C两点；③作直线PB，PC.则直线PB，PC就是所求作的切线．　根据小飞设计的尺规作图过程：(1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明(说明：括号里填写推理的依据)．证明：连接OB，OC.∵PO为⊙A的直径，∴∠PBO＝∠PCO＝________(____________________)．∴PB⊥OB，PC⊥OC.又∵OB，OC为⊙O的半径，∴PB，PC为⊙O的切线(______________________________)．21．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC；(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长． 22．【母题：教材P93复习题T17】如图，P为正比例函数y＝eq \f(3,2)x图像上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)．(1)求⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标；(2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围．23．【2022·广元】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连接DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．24．【2022·天津】已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB.(1)如图①，若C为eq \o(AB,\s\up8(︵))的中点，求∠CAB的大小和AC的长；(2)如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为点E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．答案一、1.A　【解析】由题易知OP＝6＞5，∴点P在⊙O外．故选A.2．B　【解析】由圆周角定理可知∠BOC＝2∠BAC＝108°.故选B.3．D　【解析】连接OA，易知OM⊥AB，在Rt△OAM中，利用勾股定理即可求解．4．C　【解析】∵点O为△ABC的外心，∠A＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°，故选C.5．D　【解析】如图，连接OA，根据题意得CD⊥AB，OA＝OC＝5 m，AB＝4eq \r(6) m，∴AD＝BD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×4eq \r(6)＝2eq \r(6)(m)，∴OD＝eq \r(OA2－AD2)＝eq \r(52－(2\r(6))2)＝1 (m)，∴CD＝OC＋OD＝5＋1＝6 (m)．6．B　【解析】因为圆内接正三角形的面积为eq \r(3)，所以圆的半径为eq \f(2\r(3),3)，所以该圆的内接正六边形的边心距为1.7．A　【解析】∵CD＝4n，∴OD＝OA＝2n.∵⊙O的切线与CD的延长线交于点B，切点为A，∴AB⊥OA，∴AO2＋AB2＝OB2.∵x2＋4nx－9m2＝0，∴x2＋4nx＝9m2，即x2＋4nx＝AB2，∴x2＋4nx＝OB2－AO2，∴x(x＋4n)＝(OB＋AO)(OB－AO)，∴x(x＋4n)＝(BD＋DO＋AO)(BD＋DO－AO)，∴x(x＋4n)＝(BD＋4n)·BD，∴x＝BD(负根舍去)．8．B　【解析】如图，当AB，BC，CD分别切⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H.易知OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD.∵AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠ABC＝90°.∵∠DHB＝90°，∴四边形ABHD是矩形．∴AB＝DH＝20 cm，AD＝BH＝9 cm.∵BC＝24 cm，∴CH＝BC－BH＝24－9＝15(cm)，∴CD＝eq \r(DH2＋CH2)＝eq \r(202＋152)＝25(cm)．设OE＝OF＝OG＝r cm，则有eq \f(1,2)×(9＋24)×20＝eq \f(1,2)×20×r＋eq \f(1,2)×24×r＋eq \f(1,2)×25×r＋eq \f(1,2)×9×(20－r)，解得r＝8.即此圆的半径是8 cm.二、9.49　【解析】根据AC是⊙O的切线，可得∠BAC＝90°，再根据∠AOD＝82°，可得∠ABD的度数，即可得到∠C的度数．10．10　【解析】 连接EF，∵圆经过坐标原点O，且∠EOF＝90°，∴EF为圆的直径．在Rt△EOF中，EF＝eq \r(OE2＋OF2)＝10.11．5π　【解析】首先要理解针尖经过的路径的形状，即为一段弧，然后根据弧长公式计算即可．12．120　【解析】根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ADC＝60°，由平角的定义可得∠BOC＝120°.13．36π　【解析】设圆锥的母线长为R，则2×3π＝eq \f(90°,360°)×2Rπ，解得R＝12，所以S侧＝eq \f(90°,360°)×π×R2＝36π.14．99°　【解析】先根据切线长定理可得EB＝EC，则∠ECB＝∠EBC＝67°，再根据平角的定义可得∠BCD＝81°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠A的度数．15．30°　【解析】连接OC，OD，求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可求解．16.eq \f(25,3)　【解析】连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，利用矩形的判定与性质可得BD＝AC＝6 cm，AD＝BC＝8 cm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列方程求解即可．17．240eq \r(2)　【解析】设小圆的切线MN与小圆相切于点D，连接OD，OM，则OD⊥MN，∴MD＝DN.在Rt△DOM中，OM＝180 cm，OD＝60 cm，∴MD＝eq \r(OM2－OD2)＝eq \r(1802－602)＝120eq \r(2)(cm)，∴MN＝2MD＝240eq \r(2) cm.18.eq \f(1,12)π＋eq \f(1,4)eq \r(3)－eq \f(1,2)　【解析】连接OE，OB.由题意易知△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形OAB－(S扇形OAE－S△AOE)－S△AOB＝S扇形OAB－S扇形OAE＋S△AOE－S△AOB，即可求出答案．三、19.【解】∵PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°.∴∠B＝eq \f(1,2)∠AOP＝30°.20．【解】(1)补全的图形如图所示．(2)90°；直径所对的圆周角是直角；过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线21．(1)【证明】如图，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.即AD⊥BC.又∵DC＝BD，∴AB＝AC.(2)【解】由(1)知AB＝AC.∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠ABD＝60°.又∵∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°.又∵AC＝AB＝2×4＝8，∴BD＝CD＝4.∴AD＝4eq \r(3).又∵DE⊥AC，∴eq \f(1,2)DC·AD＝eq \f(1,2)AC·DE.∴DE＝eq \f(DC·AD,AC)＝eq \f(4×4\r(3),8)＝2eq \r(3).22．【解】(1)过点P作直线x＝2的垂线，垂足为点A.当点P在直线x＝2右侧时，AP＝x－2＝3，解得x＝5，则y＝eq \f(3,2)x＝eq \f(3,2)×5＝eq \f(15,2)，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(15,2)))；当点P在直线x＝2左侧时，PA＝2－x＝3，解得x＝－1，则y＝eq \f(3,2)x＝eq \f(3,2)×(－1)＝－eq \f(3,2)，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))).综上可知，当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(15,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))).(2)当－1