人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-1第1课时函数的概念学案

这是一份人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-1第1课时函数的概念学案，共22页。
3.1　函数的概念与性质3.1.1　函数及其表示方法第1课时　函数的概念通过即时聊天工具，我们可以结交很多全国各地的新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，可以传送文件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等；通过即时聊天工具，我们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现在即时聊天工具成了我们生活不可缺少的一部分．大部分学生都有即时聊天工具的账号，这样账号与学生之间就有对应关系，即账号(可能不止一个)对应唯一一位同学．在数学领域也有类似的对应问题，即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个)，那么这种对应关系在数学中叫什么呢？知识点1　函数的概念1．在函数的概念中，如果函数y＝f (x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？[提示]　确定．2．函数f (x)与f (a)(a是常数)有何区别与联系？[提示]　(1)f (a)表示当x＝a时函数f (x)的值，是一个常量．(2)f (x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量．(3)f (a)是f (x)的所有取值中的一个．对对应关系f 的理解(1)y＝f (x)不是表示“y等于f 与x的乘积”，而是表示“y是x的函数”，其中x是自变量．(2)f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象、表格．(3)在研究两个或多个函数时，除用符号f (x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．知识点2　同一个函数一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．(1)两个函数是不是同一个函数，与函数用什么字母表示无关，例如，函数y＝f (x)＝x2，x∈A与函数u＝f (t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数．(2)f (x)＝x2和f (x－1)＝x2由于对应关系f 所施加的对象不同(前者为x，后者为x－1)，因此两者不是同一个函数．(3)即使两个函数的定义域和值域都分别相同，它们也不一定是同一个函数．如函数f (x)＝x2，x∈[0，2]和函数g(x)＝2x，x∈[0，2]．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个集合都可以建立函数关系． (　　)(2)集合A中的两个实数x可以对应集合B中的一个实数y． (　　)(3)函数的值域即为集合B． (　　)(4)y＝2-xx-2是函数． (　　)(5)函数f (x)＝x2，x∈[0，2]与h(x)＝x2，x∈(0，2)表示同一个函数． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×[提示]　(1)集合A，B应为非空数集．(2)符合函数的定义．(3)值域是集合B的子集．(4)x∈∅，不是函数．(5)两个函数的定义域不同．2．函数f (x)＝1-x+1x的定义域为________．(－∞，0)∪(0，1]　[要使函数有意义，则1-x≥0，x≠0，解得x≤1且x≠0，即函数的定义域为(－∞，0)∪(0，1]．]3．若f (x)＝11-x2，则f (3)＝________．－18　[f (3)＝11-9＝－18．] 类型1　函数的判断【例1】　(1)(多选)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)A　　　　　　　BC　　　　　　　D(2)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为f (x)＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有(　　)A．7个 B．8个　　　C．9个　　　 D．无数个(3)在下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是(　　)①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，f 为“除以3”；②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，f 为“求3x的平方根”；③A＝R，B＝R，f 为“求平方”；④A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，f 为“乘以0”．A．①④ B．②③④C．②③ D．③④(1)BC　(2)C　(3)D　[(1)对于A，由图象可知，函数的定义域为[0，1]，而集合M＝{x|0≤x≤2}，不符合题意；对于B，由图象可知，函数的定义域为[0，2]，值域为[0，2]，满足函数的定义，故正确；对于C，由图象可知，函数的定义域为[0，2]，值域为[0，2]，满足函数的定义，故正确；对于D，由图象可知，图形中一个x(除0外)有两个y值与之相对应，不满足函数的定义，故不正确．(2)因为函数的值域为{1，4}，所以其定义域由1，－1，2，－2组成，因此有{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1，2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9种情况．(3)①在对应关系f 下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；②在对应关系f 下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；③④符合函数的定义．]　函数的判断(1)根据图形判断对应关系是否为函数的步骤①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．(2)判断一个对应关系是否为函数的方法[跟进训练]1．下列对应关系中是A到B的函数的是(　　)A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图C．A＝R，B＝R，f ：x→y＝1x-2D．A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝2x-1B　[A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±1-x2，显然对x∈A，y值可能不存在也可能不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．]2．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　　)A　　　　B　　　　C　　　　DC　[由函数的定义知选C．] 类型2　同一个函数的判断【例2】　(源自北师大版教材)下列各组中的两个函数是否为同一个函数？(1)f (x)＝x2，g(x)＝(x)2；(2)f (x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(3)f (x)＝x2-1x+1，g(x)＝x－1；(4)f (x)＝x＋1x，g(t)＝t＋1t．[解]　(1)因为f (x)的定义域是R，g(x)的定义域是[0，＋∞)，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数．(2)因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数．(3)因为f (x)的定义域是{x|x≠－1}，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数．(4)f (x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数．　判断两个函数是否为同一个函数的步骤[跟进训练]3．下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？(1)f (x)＝|x|，φ(t)＝t2；(2)y＝1+x·1-x，y＝1-x2；(3)y＝3-x2，y＝x－3．[解]　(1)f (x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝t2＝|t|，即f (x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f (x)与φ(t)是同一个函数．(2)y＝1+x·1-x的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝1-x2的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝1+x·1-x＝1-x2，∴两函数的对应关系也相同．故y＝1+x·1-x与y＝1-x2是同一个函数．(3)∵y＝3-x2＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝3-x2与y＝x－3不是同一个函数． 类型3　求函数的定义域【例3】　求下列函数的定义域：(1)f (x)＝x-1·4-x＋2；(2)y＝x+10x-x；(3)已知f (x＋1)的定义域为(2，4)．①求f (x)的定义域；②求f (2x)的定义域．[解]　(1)要使此函数有意义，应满足x-1≥0，4-x≥0， 解得1≤x≤4，所以此函数的定义域是[1，4]．(2)因为00无意义，所以x＋1≠0，即x≠－1．①作为分母不能为0，二次根式的被开方数不能为负，所以|x|－x>0，即x＜0．②由①②可得函数y＝x+10x-x的定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)．(3)①∵f (x＋1)的定义域为(2，4)，∴2