人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-1第2课时函数的表示方法学案

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第2课时　函数的表示方法(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．(2)如下图是某中学升学率的变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：问题　根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么方法表示函数的．知识点1　函数的表示方法对3种表示法的说明1．任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？[提示]　不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝0，x∈Q，1，x∈∁RQ．列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．知识点2　用集合语言对函数的图象进行描述(1)定义：将函数y＝f (x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图象，即F＝{(x，y)|y＝f (x)，x∈A}．(2)F是函数y＝f (x)的图象，必须满足下列两条：①图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f (x)；②满足函数关系y＝f (x)的点(x，y)都在函数的图象F上．知识点3　分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．2．分段函数是一个函数还是几个函数？[提示]　分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域、值域和图象(1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集．(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集．(3)图象：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数y＝x，x≤1，-x，x>1的定义域为(－∞，1]． (　　)(2)函数y＝|x|不是分段函数． (　　)(3)常数函数的图象是垂直于x轴的直线． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×[提示]　(1)分段函数y＝x，x≤1，-x，x>1的定义域为(－∞，1]∪(1，＋∞)＝R．(2)函数y＝|x|＝x，x≥0，-x，x<0是分段函数．(3)常数函数的图象是垂直于y轴的直线．2．已知函数f (x)由下表给出，则f (f (3))＝________．1　[由题设给出的表知f (3)＝4，则f (f (3))＝f (4)＝1．]3．(2024·上海卷)已知函数f (x)＝x，x>01，x≤0，则f (3)＝________．3　[因为3>0，所以f (3)＝3.]4．已知函数y＝f (x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则g(f (2))的值为______，f (g(2))的值为________．1　3　[由f (x)的表格可得f (2)＝2，则由函数图象可知g(f (2))＝g(2)＝1，由函数图象可知g(2)＝1，由表格可知f (1)＝3，故f (g(2))＝3．] 类型1　函数的3种表示方法【例1】　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[解]　①列表法如下：②图象法如图所示：③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．　1．函数的3种表示法的选择解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．2．用3种方法表示函数时要注意的问题(1)解析法必须注明函数的定义域．(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系．(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．[跟进训练]1．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A-B-C-M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f (x)的图象的形状大致是(　　)A　　　 　　　　　　BC　　　 　　　　　　DA　[当点P在AB上时：y＝12×x×1＝12x，0≤x≤1．当点P在BC上时：y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝AB2－12AD·DM－12AB·BP－12CP·CM＝12－12×1×12-12×1×(x－1)－12×(2－x)×12＝－14x＋34，10)，由于点(0，0)在图象上，所以a＋b＝0，a＝－b，故符合条件的是D．]5．(多选)已知函数f (x)＝x2+2x+1，x≤0，-x2，x>0，满足f (f (a))＝－1的a的值有(　　)A．0 B．1C．－1 D．－2AD　[设t＝f (a)，则f (t)＝－1．若t>0，则－t2＝－1，解得t＝1或t＝－1(舍去)，所以f (a)＝1，当a>0时，－a2＝1，方程无解；当a≤0时，a2＋2a＋1＝1，解得a＝0或a＝－2，满足条件．若t≤0，则t2＋2t＋1＝－1，即t2＋2t＋2＝0，Δ＝22－4×2＝－4<0，方程无解．故选AD．]二、填空题6．设函数f (x)＝12x-1，x≥0，1x，x＜0，若f (m)＞m，则实数m的取值范围是________．(－∞，－1)　[由题意，得m≥0，12m-1＞m或m＜0，1m＞m，解得m＜－1．]7．若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)　[由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0．]8．下面叙述了两件事：(1)小张驾车离开旅馆，在加油站加油时发现公文包遗留在旅馆房间里，于是返回旅馆取了公文包再驾车离开．(2)小张驾车离开旅馆，一路匀速行驶，只在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间．小张离开旅馆的距离与时间的函数关系可用图象法表示，请在图中选择与事件相吻合的图象．则(1)与图________吻合，(2)与图________吻合．[答案]　③　②三、解答题9．已知函数f (x)＝x+4，x≤0，x2-2x，04．(1)求f (f (f (5)))的值；(2)画出函数f (x)的图象，观察图象写出此函数的值域；(3)函数值y取何值时，只有唯一的x值与之对应？[解]　(1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3．因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1．因为0<1<4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1，即f (f (f (5)))＝－1．(2)图象如图所示．观察图象可知此函数的值域为(－∞，8]．(3)作直线y＝m，观察图象可知，当m∈[－2，－1)∪(4，8]时，直线y＝m与函数图象有唯一公共点，所以函数值y取[－2，－1)∪(4，8]内的值时只有唯一的x值与之对应．10．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为-254，-4，则m的取值范围是(　　)A．(0，4]　　　 B．32，4C．32，3 D．32，+∞C　[因为y＝x2－3x－4＝x-322－254，所以对称轴为直线x＝32，当x＝32时，y＝－254．因为x＝0时，y＝－4，由二次函数图象可知32 ≤m，m-32≤32-0，解得32≤m≤3，所以m的取值范围是32，3．]11．(多选)以下判断中正确的是(　　)A．f (x)＝xx与g(x)＝1，x≥0，-1，x<0 表示同一函数B．函数y＝f (x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个C．函数f (x)＝x2＋2＋1x2+2的最小值为2D．若f (x)＝|x－1|－|x|，则f f12＝1BD　[A选项，f (x)＝xx的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)＝1，x≥0，-1，x<0 定义域为R，故两者不是同一函数，A错误；B选项，根据函数定义，可知y＝f (x)的图象与直线x＝1可以无交点，也可以有1个交点，故函数y＝f (x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，B正确；C选项，由均值不等式得f (x)＝x2＋2＋1x2+2≥2x2+2·1x2+2＝2，当且仅当x2＋2＝1x2+2时，等号成立，但x2＋2＝1x2+2无解，故等号取不到，所以f (x)＝x2＋2＋1x2+2的最小值不为2，C错误；D选项，f (x)＝|x－1|－|x|，则f 12＝12-1-12＝0，故f f12＝f (0)＝|0－1|－|0|＝1，D正确．故选BD．]12．若函数f (x)满足f (x＋3)＝x+4x+3，则f (x)在[1，＋∞)上的值域为________；若f (f (x))＝32，则实数x的值为________．(1，2]　1　[因为f (x＋3)＝x+3+1x+3＝1＋1x+3，所以f (x)＝1＋1x．当x≥1时，12．(1)请在下列直角坐标系中画出函数f (x)的图象．(2)根据(1)的图象，试分别写出函数f (x)与函数y＝t的图象有2，3，4个交点时，相应的实数t的取值范围．(3)记函数g(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使g(x0)＝x0成立，则称点(x0，x0)为函数g(x)图象上的不动点．试问：函数f (x)图象上是否存在不动点？若存在，求出不动点的坐标；若不存在，请说明理由．[解]　(1)函数f (x)的图象如图：(2)根据图象可知当－22时，f (x)与y＝t有2个交点；当t＝1或t＝2时，f (x)与y＝t有3个交点；当12，则3x－8＝x，解得x＝4，即不动点为(4，4)．综上，函数f (x)图象上存在不动点(1，1)，(4，4)．学习任务1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(数学抽象)2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(数学抽象)3．理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(直观想象、数学运算)4．能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题．(数学建模)污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01解析法利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域列表法采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性图象法图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点x1234f (x)3241x123f (x)321x(台)12345y(元)3 0006 0009 00012 00015 000x(台)678910y(元)18 00021 00024 00027 00030 000x2345…y1231225…