人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-3第2课时函数奇偶性的应用学案

这是一份人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-3第2课时函数奇偶性的应用学案，共20页。

第2课时　函数奇偶性的应用(1)图①和图②分别是偶函数和奇函数的一部分图象，你能结合奇、偶函数图象的特征画出相应图象的另一部分吗？图①　　　　　　图②(2)就图①而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？就图②而言，函数在区间-52，0与0，52上的单调性是否相同？知识点1　函数的单调性与奇偶性(1)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f (x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同．(2)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f (x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反．知识点2　函数f (x)，g(x)在公共定义域上有下列结论注意：f (g(x))中，t＝g(x)与y＝f (t)的定义域可以不同．1．定义在R上的偶函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，则f (－4)，f (－π)，f (3)的大小关系为________．(用“<”表示)f (3)＜f (－π)＜f (－4)　[∵f (x)是定义在R上的偶函数，∴f (－π)＝f (π)，f (－4)＝f (4)，又f (x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π＜4，∴f (3)＜f (π)＜f (4)，即f (3)＜f (－π)＜f (－4)．]2．已知偶函数f (x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f (x)·g(x)<0的解集是________．(－4，－2)∪(0，2)　[设h(x)＝f (x)g(x)，则h(－x)＝f (－x)g(－x)＝－f (x)g(x)＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，由图象可知：当－40，g(x)<0，即h(x)<0，当00，即h(x)<0，所以h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2)．] 类型1　利用函数奇偶性求解析式【例1】　(1)函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x＋1，求f (x)的解析式．(2)设f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝1x-1，求函数f (x)，g(x)的解析式．[解]　(1)设x<0，则－x>0，∴f (－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f (x)是定义域为R的奇函数，∴f (－x)＝－f (x)＝x＋1，∴当x<0时，f (x)＝－x－1．又x＝0时，f (0)＝0，∴f (x)＝-x-1，x<0，0，x=0，-x+1，x>0．(2)∵f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)．由f (x)＋g(x)＝1x-1，①得f (－x)＋g(－x)＝1-x-1，∴f (x)－g(x)＝1-x-1，②(①＋②)÷2，得f (x)＝1x2-1；(①－②)÷2，得g(x)＝xx2-1．　利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式．(3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)．提醒：若函数f (x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，未必有f (0)＝0．[跟进训练]1．已知函数f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f (x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝________．－x－x4　[当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，∴f (－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4，又∵f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f (x)＝f (－x)＝－x－x4．] 类型2　利用单调性与奇偶性比较大小【例2】　已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，且在区间[0，2]上单调递增，则(　　)A．f (－1)f (0)，即f (1)>0，所以f (3)＝f (1)>0，f (－1)＝－f (1)<0，于是f (－1)0，则当n∈N+时，有(　　)A．f (－n)0，∴若x2－x1>0，则f (x2)－f (x1)>0，即若x2>x1，则f (x2)>f (x1)，若x2－x1<0，则f (x2)－f (x1)<0，即若x2n>n－1≥0，∴f (n＋1)m，即-1≤m≤3，-2≤m≤2，m<12．解得－1≤m<12．故实数m的取值范围是-1，12．　解有关奇函数f (x)的不等式f (a)＋f (b)<0，先将f (a)＋f (b)<0变形为f (a)<－f (b)＝f (－b)，再利用f (x)的单调性去掉“f ”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．(易漏点)由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f (x)＝f (|x|)＝f (－|x|)将f (g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f ，使不等式得解．[跟进训练]3．函数f (x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f (3)1　　　　　　　　　 B．a<－2C．a>1或a<－2 D．－11或a<－2．故选C．] 类型4　抽象函数的奇偶性与对称性【例4】　对于定义在R上的函数f (x)，有下述结论：①若f (x)是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称；②若f (x＋1)＝f (x－1)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称；③若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f (x)为偶函数；④函数f (1＋x)与函数f (1－x)的图象关于直线x＝1对称；⑤若f (x)＋f (x＋2)＝0，且f (4－x)＝f (x)，则f (x)的图象关于坐标原点对称．其中正确结论的序号为________．①③　[∵f (x)为奇函数，∴f (x)的图象关于原点对称，而f (x－1)的图象是将f (x)的图象向右平移1个单位长度得到的，∴f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称，故①正确．令t＝x－1，则由f (x＋1)＝f (x－1)可知，f (t)＝f (t＋2)，即f (x)＝f (x＋2)，其图象不一定关于直线x＝1对称．例如，函数f (x)＝x2-x2(其中[x]表示不超过x的最大整数)，其图象如图所示，满足f (x＋1)＝f (x－1)，但其图象不关于直线x＝1对称，故②不正确．若g(x)＝f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f (x)＝f (－x)，∴③正确．易知函数y＝f (x＋1)的图象与函数y＝f (1－x)的图象关于y轴对称，∴④不正确．⑤∵f (x)＝－f (x＋2)，∴－f (x＋2)＝f (x＋4)，∴f (x)＝f (x＋4)．又f (4－x)＝f (x)，∴f (4＋x)＝f (－x)，∴f (x)＝f (4＋x)＝f (－x)，从而f (x)为偶函数，可知f (x)的图象关于y轴对称，故⑤不正确．]　1．函数f (x)的图象关于直线对称若函数f (x)对定义域内任一x，都有(1)f (a－x)＝f (a＋x)⇔y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称．(2)f (x)＝f (a－x)⇔y＝f (x)的图象关于直线x＝a2对称．(3)f (a＋x)＝f (b－x)⇔y＝f (x)的图象关于直线x＝a+b2对称．2．函数f (x)的图象关于点对称若函数f (x)对定义域内任一x，都有(1)f (a－x)＝－f (a＋x)⇔y＝f (x)的图象关于点(a，0)对称．(2)f (x)＝－f (a－x)⇔y＝f (x)的图象关于点a2，0对称．(3)f (a＋x)＝－f (b－x)⇔y＝f (x)的图象关于点a+b2，0对称．(4)f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔f (x)的图象关于点(a，b)对称．[跟进训练]4．已知定义在R上的函数f (x)满足f (2－x)为奇函数，函数f (x＋3)关于直线x＝1对称，则下列式子一定成立的是(　　)A．f (x－2)＝f (x)　　　 B．f (x－2)＝f (x＋6)C．f (x－2)·f (x＋2)＝1 D．f (－x)＋f (x＋1)＝0B　[令F(x)＝f (2－x)，∵f (2－x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，即f (2＋x)＝－f (2－x)，∴即f (x)的图象关于点(2，0)对称，令G(x)＝f (x＋3)，G(x)图象关于直线x＝1对称，即G(1＋x)＝G(1－x)，即f [(1＋x)＋3]＝f [(1－x)＋3]，f (4＋x)＝f (4－x)，即f (x)的图象关于直线x＝4对称，f (x)＝f [4＋(x－4)] ＝f [4－(x－4)]＝f (8－x)，用x＋6换表达式中的x，可得f (2－x)＝f (x＋6)，又－f (2＋x)＝f (2－x)，即－f (2＋x)＝f (x＋6)，∴－f (x)＝f (x＋4)，用x＋4换表达式中的x，则－f (x＋4)＝f (x＋8)＝－[－f (x)]＝f (x)，即f (x)＝f (x＋8)，∴f (x－2)＝f (x＋6)，故选B．]1．若奇函数f (x)在[1，3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上(　　)A．是减函数，有最小值0B．是增函数，有最小值0C．是减函数，有最大值0D．是增函数，有最大值0D　[因为奇函数f (x)在[1，3]上为增函数，且有最小值0，所以f (x)在[－3，－1]上是增函数，且有最大值0．]2．f (x)是定义域为R的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f (1－x)>f (1)的x的取值范围是(　　)A．(0，2)　　　　　　　 B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，2)A　[因为f (x)是定义域为R的偶函数，所以f (－x)＝f (x)，又f (x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f (x)在(－∞，0)上单调递增，若f (1－x)>f (1)，则|1－x|<1，即－1<1－x<1，故00时，f (x)＝－x(1＋x)，当x<0时，f (x)＝________．x(x－1)　[当x<0时，－x>0，则f (－x)＝x(1－x)．又f (x)是R上的奇函数，所以当x<0时，f (x)＝－f (－x)＝－x(1－x)＝x(x－1)．]4．函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________．[1，3]　[∵函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．怎样利用函数奇偶性求函数解析式？[提示]　已知函数f (x)的奇偶性及函数f (x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：①求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上；②把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；③利用f (x)的奇偶性将f (－x)用－f (x)或f (x)表示，从而求出f (x)．2．具有奇偶性的函数的单调性有怎样的特点？[提示]　(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．(3)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x1)>f (x2)或f (x1)－2D　[由题图可知f (－2)<2，因为函数是奇函数，所以f (－2)＝－f (2)，即－f (2)<2，所以f (2)>－2．故选D．]2．已知函数y＝f (x)为奇函数，且当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f (x)的解析式是(　　)A．f (x)＝－x2＋2x－3　 B．f (x)＝－x2－2x－3C．f (x)＝x2－2x＋3 D．f (x)＝－x2－2x＋3B　[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，所以f (－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f (x)是奇函数，所以f (－x)＝x2＋2x＋3＝－f (x)，所以f (x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f (x)＝－x2－2x－3．故选B．]3．若函数f (x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f (x)的单调递增区间为(　　)A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)A　[因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f (x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．故选A．]4．(多选)设函数f (x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论不成立的是(　　)A．|f (x)|－g(x)是奇函数B．|f (x)|＋g(x)是偶函数C．f (x)－|g(x)|是奇函数D．f (x)＋|g(x)|是偶函数ABC　[根据题意有f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)，所以f (－x)＋|g(－x)|＝f (x)＋|－g(x)|＝f (x)＋|g(x)|，所以f (x)＋|g(x)|是偶函数．同理，易知选项A，B中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C中的函数是偶函数．故选ABC．]5．已知偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x－1)3}　[∵f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f (x)在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f (3)＝f (－3)＝0．当x>0时，令f (x)<0，解得x>3；当x<0时，令f (x)>0，解得－30；当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f (x)<0，所以由(x－1)f (x＋1)≥0，可得x-1<0，-3≤x+1≤0或x-1>0，0≤x+1≤3或x－1＝0，解得 －4≤x≤－1或者1≤x≤2，即不等式的解集为[－4，－1]∪[1，2]．故选C．]11．(多选)已知函数f (x)＝x+1a＋|x－2a|，其中a>0，则(　　)A．f (x)≥22B．f (x)图象的对称轴是直线x＝a＋12aC．f (x)图象在直线y＝x的上方D．当f (3)<5时，1+520，所以2a＋1a>2a，所以f (x)图象在直线y＝x的上方，C正确．当3<2a时，即a>32时，f (3)＝1a＋2a<5，解得5-1741或a<－12，故10fx，x<0是奇函数，则f (x)＝________．2x＋3　[当x<0时，－x>0，故g(x)＝－g(－x)＝－(－2x－3)＝2x＋3，所以f (x)＝2x＋3．]13．若函数f (x)满足在定义域内存在非零实数x，使得f (－x)＝f (x)，则称函数f (x)为“有偶函数”．若函数f (x)＝x-1，x≥0，ax2-12x，x<0是在R上的“有偶函数”，则实数a的取值范围是________．-∞，116　[因为f (x)为R上的“有偶函数”，故存在非零实数x，使得f (－x)＝f (x)．若x<0，则－x>0，故方程－x－1＝ax2－12x有解，即a＝－12x-1x2在(－∞，0)上有解．而y＝－12x-1x2＝－1x+142＋116，又1x<0，故y＝－12x -1x2的值域为-∞，116，即a≤116．若x>0，则－x<0，故方程x－1＝ax2＋12x有解，即a＝12x-1x2在(0，＋∞)上有解．而y＝12x-1x2＝－1x-142＋116，又1x>0，故y＝12x -1x2的值域为-∞，116，即a≤116．综上，实数a的取值范围是-∞，116．]14．设函数y＝f (x)(x∈R且x≠0)，对任意实数x1，x2满足f (x1)＋f (x2)＝f (x1x2)．(1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求证：y＝f (x)为偶函数；(3)若y＝f (x)在(0，＋∞)上为减函数，试求满足不等式f (2x－1)>f (1)的x的取值范围．[解]　(1)当x1＝x2＝1时，f (1)＋f (1)＝f (1)，得f (1)＝0，当x1＝x2＝－1时，f (－1)＋f (－1)＝f (－1×(－1))＝f (1)＝0，所以2f (－1)＝0，所以f (－1)＝0．(2)证明：当x2＝－1时，f (x1)＋f (－1)＝f (－x1)，又f (－1)＝0，所以f (x1)＝f (－x1)，又x∈R且x≠0，f (x)的定义域关于原点对称，所以f (x)是偶函数．(3)因为f (x)在(0，＋∞)上为减函数，且f (x)是偶函数，所以f (x)在(－∞，0)上为增函数，又f (2x－1)>f (1)，即0<|2x－1|<1，解得x∈0，12∪12，1．15．给出关于函数f (x)的一些限制条件：①在(0，＋∞)上是减函数；②在(－∞，0)上是增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f (0)＝0．在这些条件中，选择必需的条件，补充在下面的问题中：定义在R上的函数f (x)，若满足________(填写你选定条件的序号)，且f (－1)＝0，求不等式f (x－1)>0的解集．(1)若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；(2)若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号(不必说明理由)；(3)求解问题(2)中选定条件下不等式的解集．[解]　(1)若不等式f (x－1)>0的解集为空集，即f (x－1)≤0恒成立．因为f (－1)＝0，所以函数f (x)不可能单调递增或单调递减，所以①，②都不能选．选③④时，f (x)的表达式为f (x)＝0，不等式f (x－1)>0的解集为空集．所以选③④．(2)若不等式f (x－1)>0的解集是非空集合，可选择条件：①③；①④⑤；②③；②④⑤．(3)若选择①③．由f (x)是奇函数，所以f (0)＝0，又f (－1)＝0，则f (1)＝0．又f (x)在(0，＋∞)上是减函数，则f (x)在(－∞，0)上是减函数，因为f (x－1)>0，则x－1<－1或00的解集为(－∞，0)∪(1，2)．若选择①④⑤．由f (x)是偶函数，及f (－1)＝0，得f (1)＝0．又f (x)在(0，＋∞)上是减函数，则f (x)在(－∞，0)上是增函数．由f (x－1)>0，得－10的解集为(0，1)∪(1，2)．若选择②③．因为f (x)是奇函数，所以f (0)＝0，又f (－1)＝0，则f (1)＝0．又f (x)在(－∞，0)上是增函数，则f (x)在(0，＋∞)上是增函数．由f (x－1)>0，得－11，解得02，所以不等式f (x－1)>0的解集为(0，1)∪(2，＋∞)．若选择②④⑤．因为f (x)是偶函数，f (－1)＝0，则f (1)＝0．又f (x)在(－∞，0)上是增函数，则f (x)在(0，＋∞)上是减函数．由f (x－1)>0，得－10的解集为(0，1)∪(1，2)．学习任务1．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．(逻辑推理)2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．(数学运算、逻辑推理)f (x)g(x)f (x)＋g(x)f (x)－g(x)f (x)g(x)f (g(x))偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇偶性奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数