人教B版高中数学必修第一册第3章探究课2f (x)＋g(x)，f (x)g(x)和f (g(x))的单调性学案

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　f (x)＋g(x)，f (x)g(x)和f (g(x))的单调性1．一般地，设函数f (x)，g(x)的定义域均为A．(1)若函数f (x)，g(x)都是增(减)函数，则函数f (x)＋g(x)在定义域A上为增(减)函数．(2)函数f (x)，g(x)都是增(减)函数，则函数f (x)·g(x)在定义域A上的单调性不确定．2．一般地，设函数f (x)的定义域为F，g(x)的定义域为G，且g(x)的值域为F的子集．(1)若f (x)，g(x)都是增(减)函数，则f (g(x))为单调增函数．(2)若f (x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f (g(x))为单调减函数．上面的性质可简单概括为“同增异减”．【典例】　探究复合函数的单调性对于复合函数f (g(x))，设t＝g(x)在(a，b)上是单调函数，且y＝f (t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也是单调函数，那么f (g(x))在(a，b)上的单调性如表所示：试证明：(1)若t＝g(x)在(a，b)上是增函数，且y＝f (t)是增函数，则f (g(x))在(a，b)上是增函数．(2)若t＝g(x)在(a，b)上是增函数，且y＝f (t)是减函数，则f (g(x))在(a，b)上是减函数．[证明]　(1)任取x1，x2∈(a，b)，x1f (g(x2))，则根据减函数的定义知f (g(x))在(a，b)上是减函数．类似地，我们不难发现：当t＝g(x)在(a，b)上是减函数，且y＝f (t)是增函数时，f (g(x))在(a，b)上是减函数；当t＝g(x)在(a，b)上是减函数，且y＝f (t)是减函数时，f (g(x))在(a，b)上是增函数．1．求函数f (x)＝8-2x-x2的单调区间．[解]　由题意可知8－2x－x2≥0，解得－4≤x≤2，∴函数f (x)的定义域为[－4，2]．设y＝u，u＝8－2x－x2．∵二次函数u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．∴函数f (x)的单调递增区间是[－4，－1]，单调递减区间是(－1，2]．2．已知函数f (x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，求f (1－x2)的单调递减区间．[解]　∵f (x)的定义域为[0，＋∞)，∴1－x2≥0，即x2≤1，解得－1≤x≤1．令u＝1－x2(u≥0)，则f (1－x2)＝f (u)．当x∈[0，1]时，u＝1－x2单调递减，则f (1－x2)单调递增；当x∈[－1，0]时，u＝1－x2单调递增，则f (1－x2)单调递减．故f (1－x2)的单调递减区间为[－1，0]．t＝g(x)y＝f (t)y＝f (g(x))增增增增减减减增减减减增