安徽省合肥市六校2024届高三上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省合肥市六校2024届高三上学期期中联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,,,则( )
A.B.C.D.
2．“”是“”的( )条件
A.必要不充分B.充分不必要
C.充要D.既不充分也不必要
3．设则( )
A.10B.11C.12D.13
4．已知,,,则( )
A.B.C.D.
5．已知函数的部分图象如图所示,则的解析式可能为( )
A.B.
C.D.
6．将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中,tmin后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再等mmin甲桶中的水只有升,则m的值为( )
A.5B.6C.8D.10
7．定义域为R的可导函数的导函数为,满足,且,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
8．点P,Q分别是函数图象上的动点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的是( )
A.若,则
B.若则
C.“”是“”的必要条件
D.若,,则
10．函数在下列哪个区间内有零点( )
A.B.C.D.
11．已知,则下列结论正确的是( )
A.ab的最小值为16B.的最小值为9
C.的最大值为2D.的最小值为
12．已知函数,的定义域为R,为的导函数且,,若为偶函数,则下列结论一定成立的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．已知幂函数在上单调递减,则______.
14．计算__________.
15．设函数,若,则__________.
16．已知函数,,若函数有6个零点,则实数a的取值范围为__________.
四、解答题
17．设函数的定义域为集合A,函数,的值域为集合B.
（1）当时,求;
（2）若“”是“”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
18．已知二次函数满足,且.
（1）求的解析式;
（2）求的值域.
19．设函数且为奇函数,且.
（1）求a,k的值;
（2）,使得不等式成立,求m的取值范围.
20．如图所示,一座小岛距离海岸线上的点P的距离是2km,从点P沿海岸正东12km处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h,步行的速度是5km/h,t（单位:h）表示他从小岛到城镇所用的时间,x（单位:km）表示小船停靠点距点的距离.
（1）将t表示为x的函数,并注明定义域;
（2）此人将船停在海岸线上何处时,所用时间最少?
21．已知
（1）当时,求函数在处的切线方程;
（2）设是函数的极值点,证明:.
22．设函数.
（1）讨论的单调性;
（2）若对恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意,
又,所以,
又,所以.
故选:C.
2．答案：B
解析：由不等式,等价于,解得或,
当时,不等式一定成立,反之不一定.
故选:B.
3．答案：C
解析：因为.
故选:C.
4．答案：A
解析：,,,排除B,C
又
故选:A
5．答案：D
解析：由图象可知:为奇函数,且定义域为,
对于A,,故为偶函数,不符合要求,舍去,
对于C,,故为偶函数,不符合要求,舍去,
对于B,,故不是奇函数,不符合要求,舍去,
故选:D
6．答案：D
解析：由题意可得:,
,,;
,,,,解得.
故选:D.
7．答案：A
解析：令,则,
所以在R上单调递增.
,即,
所以.
故选:A
8．答案：D
解析：当函数在点Q处的切线与平行时,最小.
,令得或（舍）,所以切点为,
所以的最小值为切点到直线的距离,
所以的最小值为.
故选:D.
9．答案：BCD
解析：选项A:当,时,不等式不成立,A错;
选项B:,两边分别同乘a,b,
则有,故有,选项B正确;
选项C:当时,“”不成立,
然后,可以解得“”,故“”是“”的必要条件,选项C正确;
选项D:,,则,,
则有,选项D正确;
故选;BCD.
10．答案：AD
解析：令,,
则,
所以当时,,故函数在上单调递减;
当时,,故函数在上单调递增;
又
,
所以,所以内存在零点,故A正确;
,
所以,所以内不存在零点,故B错误;
,
所以,所以内不存在零点,故C错误;
,
所以,所以内存在零点,故D正确.
故选:AD
11．答案：ABD
解析：因为,,所以,解得,即,
当且仅当即时,ab的最小值取到16,故A正确;
因为,所以,所以,
当且仅当即时取到最小值为9,故B正确;
由得,
所以,
因为,所以,故C错误;
,
令,所以上式可化为,
所以当时,上式取到最小值,
所以的最小值为,故D正确.
故选:ABD
12．答案：BD
解析：对于D,为偶函数,则,
两边求导可得,则为奇函数,
则,令,则,,D对;
对于C,令,可得,则,C错;
对于B,,可得,
可得,
两式相加可得,
令,即可得,B对;
又,
则,
,可得,
所以是以4为周期的函数,
所以根据以上性质不能推出,A不一定成立.
故选:BD
13．答案：2
解析：因为为幂函数,
所以或,
又在上单调递减,
由幂函数性质,可得:,解得:,
所以.
故答案为:.
14．答案：50
解析：.
故答案为:50
15．答案：1
解析：由题意可知,且,则,
整理可得,解得.
故答案为:1.
16．答案：
解析：画出的图象如下:
因为最多两个零点,
即当,或时,有两个不等零点,,
要想有六个零点,结合函数图象,要和分别有3个零点,
则,且,
即的两个不等零点,,
则要满足,解得,
故实数a的取值范围为
故答案为:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）对于函数,有,得,
解得,得,
当时,因为函数在上递减,则,即,
所以,所以.
（2）因为“”是“”的必要不充分条件,则,
函数在上递减,所以,且,
所以,,解得.
因此,实数m的取值范围是.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设
则
所以,
故;
（2）
,
令,解得:或,
令,解得:,
列表如下:
所以的值域为
19．答案：（1）,
（2）
解析：（1）是R上的奇函数,
,即,
,经检验符合题意.
又,即,
解得（舍去）,.
故,.
（2）,使得,即,
在R上单调递增,
,使得,
即,使得,
所以,
又因,当且仅当时取“=”,
所以.
20．答案：（1）
（2）此人将船停在点P沿海岸正东处,所用时间最少.
解析：（1）由题意可得:
,
（2）,由解得
上递增,列表如下:
所以此人将船停在点P沿海岸正东处,所用时间最少.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）当时,,
,切点为,
所以在处的切线方程为,即
（2）证明:的定义域为,
,令,
则,记此方程的实数根为,,且
记,由,,
则知.
当时,;当时,,
所以在上递减,在上递增,
则是函数唯一的极值点,
,其中,
所以,记
,所以在单调递减,,
故
22．答案：（1）答案见解析
（2）.
解析：（1）,.
①当时,在R上单调递增;
②当时,,时,;
时,,所以在上单调递减,
在上单调递增.
综上所述,当时,在R上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
（2）方法一:在R上恒成立,
记,,
①当时,即时,在R上单调递增,
,
所以不符合题意;
②当时,即,恒成立,所以符合题意;
③当时,即时,由①知,
故只要,,
所以,.
综上所述,
方法二:
在R上恒成立,
①当时,;
②当时,,记,,
时,,时,,
所以在上递减,在上递增,
所以,,
③当时,,由②知,在上递减,,
且时,,所以,,
综上所述,
x
1
2
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
2
x
0
+
t
单调递减
最小值
单调递增