数学高教版（2021·十四五）第7章 数列精品随堂练习题

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二、常考题型
三、知识梳理
知识点一：数列的概念
1.数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n
2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
3.对数列概念的理解
（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
（3）数列是一种特殊的函数
数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.
2.数列的分类
注：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项．(4)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．
(5)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
3.数列的表示方法
1．列表法
列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表：
2．图象法
在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)．
3．通项公式法
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式．
注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
4．递推公式法
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
注：常见数列的通项
(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n.
(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n.
(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1.
(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n.
(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n.
(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝eq \f(1＋（－1）n－1,2).
(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝eq \f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).
(8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1.
4.数列的前n项和Sn与an的关系
1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即
Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．数列的前项和和通项的关系：则
特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
分类标准
类型
含义
按项数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的
变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*)
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋10时图象开口向上，d0时，Sn有最小值；当d0，d>0时Sn有最小值S1，当a1