艺术生高考数学专题讲义：考点11 函数与方程

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点11 函数与方程，共8页。试卷主要包含了函数的零点，函数零点存在性定理，二分法，二分法求函数f零点近似值的步骤，故选D.，函数的零点为________等内容，欢迎下载使用。

1．函数的零点
(1)函数零点的定义
函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点三者间关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点存在性定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
4．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
5．二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间(a，b)，验证f(a)·f(b)<0；
第二步，求区间(a，b)的中点x1；
第三步，计算f(x1)；
①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(x1)f(a)<0，则令b＝x1 (此时零点x0∈(a，x1))；
③若f(x1)f(a)>0，则令a＝x1 (此时零点x0∈(x1，b))；
第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步．
典例剖析
题型一 函数零点的判断和求解
例1 函数f(x)＝－＋4x－4在区间［1，3］上有 零点.
答案 一个
解析 因为f(x)＝－＋4x－4=，所以函数f(x)＝－＋4x－4在区间［1，3］上有一个零点2.
变式训练 函数有零点的区间是 ．
答案 (2，3)
解析
.
解题要点 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．
题型二 零点个数问题
例2 已知函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(1,x)，试求函数的零点个数．
解析 令f(x)＝0，即ln(x＋1)＝eq \f(1,x)，在同一坐标系中画出y＝ln(x＋1)和y＝eq \f(1,x)的图象，可知两个图象有两个交点，
∴ f(x)有两个零点．
变式训练 函数的零点个数是 ．
答案 1个
解析 函数的零点，即方程的解，
研究函数与图象的交点，作出两个函数的图象如图，
可知有一个交点，故有一个零点.
解题要点 判断函数零点个数的三种方法:
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)•f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
题型三 参数范围问题
例3 (1)函数f (x)＝∣4x－x2∣－a的零点的个数为3，则a＝ ．
(2) 函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)－m有两个零点，则m的取值范围是________．
答案 (1) 4 (2) (0，1)
解析 (1)令函数f(x)=|x2－4x|－a=0，可得|x2－4x|=a．由于函数f(x)=|x2－4x|－a的零点个数为3，故函数y=|x2－4x|的图象和函数y=a的图象有3个交点，
如图所示：故a=4．故答案为 4．
(2) 在同一直角坐标系内，画出y1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0变式训练 设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于________．
答案 1
解析 在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．
可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．
解题要点 数形结合是解决此类问题的基本思想，其要点是通过构造函数，把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，从而借助图象来求出参数的范围．
题型四 用二分法求方程的近似解
例4 设，用二分法求方程在区间上近似解的过程中，计算得到，则方程的根落在区间__________．
答案
解析 因为根据零点存在定理知，方程的根落在区间内.
变式训练 用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________．
答案 (0，0.5)，f(0.25)
解析 因为用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈(0，0.5)，第二次应计算中点值f(0.25)的函数值，然后依次进行判定．
当堂练习
1．(2015湖北文)函数f(x)＝2sin xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))－x2的零点个数为________．
答案 2
解析 f(x)＝2sin xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))－x2＝2sin xcs x－x2＝sin 2x－x2.令f(x)＝0，则sin 2x＝x2，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin 2x与函数y＝x2的图象的交点个数．作出函数图象知，
两函数交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2.
2．(2015湖南文)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
答案 (0,2)
解析 将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解．
由f(x)＝|2x－2|－b＝0
得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
则当03. 函数f(x)＝eq \r(x)－csx在[0，＋∞)内________．(填序号)
①没有零点 ②有且仅有一个零点
③有且仅有两个零点 ④有无穷多个零点
答案 ②
解析 在同一直角坐标系中分别作出函数y＝eq \r(x)和y＝csx的图象，如图，由于x>1时，y＝eq \r(x)>1，y＝csx≤1，所以两图象只有一个交点，即方程eq \r(x)－csx＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝eq \r(x)－csx在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选②项．
4．已知关于x的方程xln x＝ax＋1(a∈R)，下列说法正确的是________．(填序号)
①有两不等根 ②只有一正根 ③无实数根 ④不能确定
答案 ②
解析 由xln x＝ax＋1(a∈R)知x>0，∴ln x＝a＋eq \f(1,x)，作出函数y1＝ln x与y2＝a＋eq \f(1,x)的图象，
易知选②.
5．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是________．(填序号)
① (0,1) ② (1,2) ③ (2,3) ④ (3,4)
答案 ①
解析 f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，f(2)＝11>0，f(3)＝32>0，f(4)＝71>0，则f(0)·f(1)＝－2<0且函数f(x)＝x3＋2x－1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点．
课后作业
填空题
1．若函数f(x)＝bx＋2有一个零点为eq \f(1,3)，则g(x)＝x2＋5x＋b的零点是________．
答案 1或－6
解析 ∵eq \f(1,3)是函数f(x)的零点，
∴f(eq \f(1,3))＝0，即eq \f(1,3)b＋2＝0，解得b＝－6.
∴g(x)＝x2＋5x－6.
令g(x)＝0，即x2＋5x－6＝0，也就是(x－1)(x＋6)＝0，
解得x＝1或x＝－6.
∴函数g(x)有两个零点1、－6.
2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是________．
答案 (－1,0)
解析 ∵f′(x)＝2xln 2＋3>0，
∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．
而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，
f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0，
∴f(－1)·f(0)<0.
故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．
3．方程lg3x＋x－3＝0的解所在的区间是________．
答案 (2,3)
解析 设f(x)＝lg3x＋x－3，
则f(2)＝lg32－1<0，f(3)＝lg33＋3－3＝1>0，
∴f(x)＝0在(2,3)有零点，又f(x)为增函数，∴f(x)＝0的零点在(2,3)内．
4．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．
答案 2
解析 (数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为________．
答案 {－2－eq \r(7)，1,3}
解析 当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x) ＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；
当x<0时，由f(x)是奇函数，得－f(x) ＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3，得x＝－2－eq \r(7)(正根舍去)．故选D.
6．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上________．(填序号)
①有两个零点 ②有三个零点 ③仅有一个零点 ④无零点
答案 ③
解析 由于f(x)＝x3－x2－x＋1＝(x2－1)(x－1)．
令f(x)＝0，得x＝－1,1.因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点．
7．函数的零点为________．
答案
解析 因为求解函数的零点，就是求解方程f(x)=0的解，而函数的零点．
8．函数f(x)＝－＋6x－9在区间［1，3］上有______个零点
答案 一个
解析 因为，所以函数在区间［1，3］上有一个零点3．
9．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
答案 2
解析 由于f(1)＝－4<0，f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝2＋ln 3>0，
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以零点在区间(2,3)内，故n＝2.
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x>0，,－x2－2x，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 画出f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x>0，,－x2－2x，x≤0))的图象，如图．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：011．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝eq \f(3,2)，则下一个含根的区间是________．
答案 [eq \f(3,2)，2]
解析 由于f(1)＝－1<0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝lneq \f(3,2)－eq \f(1,2)<0，f(2)＝ln2>0，所以下一个含根区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).
二、解答题
12．已知函数有4个零点，求实数的取值范围.
解析 由函数有4个零点有4个根，即有4个根．令如下图．

由图知在到3之间，所以实数的取值范围是 ．
13．函数f (x)＝|4x－x2|－a的零点的个数为3，求a的值。
解析 令函数f(x)=|x2－4x|－a=0，可得|x2－4x|=a．由于函数f(x)=|x2－4x|－a的零点个数为3，故函数y=|x2－4x|的图象和函数y=a的图象有3个交点，
如图所示：
故a=4．Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
两个交点
一个交点
无交点
零点个数
2
1
0