艺术生高考数学专题讲义：考点20 正弦定理、余弦定理及解三角形

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点20 正弦定理、余弦定理及解三角形，共8页。试卷主要包含了正弦定理、余弦定理，三角形解的判断等内容，欢迎下载使用。

1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.三角形面积公式：
S△ABC＝eq \f(1,2) ah(h表示边a上的高) ；
S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B；
S△ABC＝eq \f(abc,4R)；
S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.
3．三角形解的判断
在△ABC中，已知a、b和A时，三角形解的情况如下：
典例剖析
题型一 利用正弦定理解三角形
例1 在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，则sin B＝________.
答案 eq \f(5,9)
解析 在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(1,3),3)＝eq \f(5,9).
变式训练 在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3eq \r(2)，则AC＝________．
答案 2eq \r(3)
解析 在△ABC中，eq \f(AC,sinB)＝eq \f(BC,sinA)，∴ AC＝eq \f(BC·sinB,sinA)＝eq \f(3\r(2)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝2eq \r(3).
解题要点 如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理．
题型二 利用余弦定理解题
例2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积是________.
答案 eq \f(3\r(3),2)
解析 ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝eq \f(π,3)，∴c2＝a2＋b2－2abcs eq \f(π,3)＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
变式训练 在△ABC中，若AB＝eq \r(5)，AC＝5，且cs C＝eq \f(9,10)，则BC＝ .
答案 4或5
解析 设BC＝x，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs C得5＝25＋x2－2·5·x·eq \f(9,10)，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5.
解题要点 如果已知两边一角或是已知三边解三角形时，通常用余弦定理．
题型三 综合利用正余弦定理解题
例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知(b－2a)cs C＋ccs B＝0.
(1)求C；
(2)若c＝eq \r(7)，b＝3a，求△ABC的面积．
解析 (1)由已知及正弦定理得：(sin B－2sin A)cs C＋sin Ccs B＝0，sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Acs C，
sin(B＋C)＝2sin Acs C，∴sin A＝2sin Acs C.
又sin A≠0，得cs C＝eq \f(1,2).
又C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,3).
(2)由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcs C，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2－ab＝7，,b＝3a，))
解得a＝1，b＝3.
故△ABC的面积S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×1×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),4).
变式训练 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acs B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
解析 (1)由bsin A＝eq \r(3)acs B及正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \r(3)cs B.
所以tan B＝eq \r(3)，所以B＝eq \f(π,3).
(2)由sin C＝2sin A及eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝eq \r(3)，c＝2eq \r(3).
解题要点 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
当堂练习
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积是________.
答案 eq \f(3\r(3),2)
解析 由c2＝(a－b)2＋6，可得a2＋b2－c2＝2ab－6.①
由余弦定理及C＝eq \f(π,3)，可得a2＋b2－c2＝ab.②
所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absineq \f(π,3)＝eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
2．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b＝2，B＝30°，C＝15°，则a等于________.
答案 2eq \r(2)
解析 A＝180°－30°－15°＝135°，
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(a,\f(\r(2),2))＝eq \f(2,\f(1,2))，即a＝2eq \r(2).
3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,4)，则△ABC的面积为________.
答案 eq \r(3)＋1
解析 A＝π－(B＋C)＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝eq \f(7π,12)，
由正弦定理得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，
则a＝eq \f(bsinA,sinB)＝eq \f(2sin\f(7π,12),sin\f(π,6))＝eq \r(6)＋eq \r(2)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×2×(eq \r(6)＋eq \r(2))×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(3)＋1.
4．(2015重庆理)在△ABC中，B＝120°，AB＝eq \r(2)，A的角平分线AD＝eq \r(3)，则AC＝________.
答案 eq \r(6)
解析 由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ADB)＝eq \f(AD,sin B)，即eq \f(\r(2),sin∠ADB)＝eq \f(\r(3),sin 120°)，解得sin∠ADB＝eq \f(\r(2),2)，∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcs 30°＝eq \r(6).
5．(2015江苏)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.
(1)求BC的长；
(2)求sin 2C的值．
解析 (1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs A＝4＋9－2×2×3×eq \f(1,2)＝7，
所以BC＝eq \r(7).
(2)由正弦定理知，eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)，
所以sin C＝eq \f(AB,BC)·sin A＝eq \f(2sin 60°,\r(7))＝eq \f(\r(21),7).
因为AB＜BC，所以C为锐角，
则cs C＝eq \r(1－sin2C)＝eq \r(1－\f(3,7))＝eq \f(2\r(7),7).
因此sin 2C＝2sin C·cs C＝2×eq \f(\r(21),7)×eq \f(2\r(7),7)＝eq \f(4\r(3),7).
课后作业
填空题
1． (2015广东文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)且b答案 2
解析 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得4＝b2＋12－2×b×2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b2．已知△ABC，a＝eq \r(5)，b＝eq \r(15)，A＝30°，则c＝________.
答案 2eq \r(5)或eq \r(5)
解析 ∵eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，∴sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(\r(15),\r(5))·sin30°＝eq \f(\r(3),2).
∵b>a，∴B＝60°或120°.
若B＝60°，C＝90°，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(5).
若B＝120°，C＝30°，∴a＝c＝eq \r(5).
3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cs2A＋cs 2A＝0，a＝7，c＝6，则b等于________.
答案 5
解析 由题意知，23cs2A＋2cs2A－1＝0，即cs2A＝eq \f(1,25)，
又因为△ABC为锐角三角形，所以cs A＝eq \f(1,5).
在△ABC中，由余弦定理知72＝b2＋62－2b×6×eq \f(1,5)，即b2－eq \f(12,5)b－13＝0，
即b＝5或b＝－eq \f(13,5)(舍去).
4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcsC＋ccsB＝asinA，则△ABC的形状为________.
答案 直角三角形
解析 ∵bcsC＋ccsB＝asinA，由正弦定理得sinBcsC＋sinCcsB＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.
又∵sinA＞0，∴sinA＝1，∴A＝eq \f(π,2)，
故△ABC为直角三角形．
5．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为________.
答案 eq \r(19)
解析 ∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs∠BAC＝4＋9－2×2×3×cs120°＝19.∴BC＝eq \r(19).
6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝eq \r(3)，则c＝________.
答案 2
解析 由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)得：eq \f(1,sinA)＝eq \f(\r(3),sinB)，
又∵B＝2A，∴eq \f(1,sinA)＝eq \f(\r(3),sin2A)＝eq \f(\r(3),2sinAcsA)，
∴csA＝eq \f(\r(3),2)，∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴c＝ eq \r(12＋\r(3)2)＝2.
7．在△ABC中，∠ABC＝eq \f(π,4)，AB＝eq \r(2)，BC＝3，则sin∠BAC＝________.
答案 eq \f(3\r(10),10)
解析 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs∠ABC＝2＋9－2×eq \r(2)×3×eq \f(\r(2),2)＝5，即得AC＝eq \r(5).由正弦定理eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(BC,sin∠BAC)，即eq \f(\r(5),\f(\r(2),2))＝eq \f(3,sin∠BAC)，
所以sin∠BAC＝eq \f(3\r(10),10).
8．(2014年江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积是________.
答案 eq \f(3\r(3),2)
解析 因为c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcseq \f(π,3)，即－2ab＋6＝－ab，ab＝6，因此△ABC的面积为eq \f(1,2)absinC＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
9．(2015福建文)在△ABC中，AC＝eq \r(3)，A＝45°，C＝75°，则BC＝________.
答案 eq \r(2)
解析 ∵A＝45°，C＝75°，∴B＝60°.
由正弦定理eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A).
∴BC＝eq \f(AC,sin B)·sin A＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2).
10． (2015重庆文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cs C＝－eq \f(1,4)，3sin A＝2sin B，则c＝________.
答案 4
解析 由3sin A＝2sin B，得3a＝2b，∴b＝eq \f(3,2)a＝eq \f(3,2)×2＝3，在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcs C＝22＋32－2×2×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝16，解得c＝4.
11． (2015北京文)在△ABC中，a＝3，b＝eq \r(6)，A＝eq \f(2π,3)，则B＝________.
答案 eq \f(π,4)
解析 由正弦定理得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(6)sin\f(2π,3),3)＝eq \f(\r(2),2)，因为A为钝角，所以B＝eq \f(π,4).
二、解答题
12． (2015天津文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3eq \r(15)，b－c＝2，cs A＝－eq \f(1,4).
(1)求a和sin C的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))的值．
解析 (1)在△ABC中，由cs A＝－eq \f(1,4)，
可得sin A＝eq \f(\r(15),4).
由S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝3eq \r(15)，
得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bccs A，可得a＝8.
由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，得sin C＝eq \f(\r(15),8).
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))＝cs 2A·cs eq \f(π,6)－sin 2A·sineq \f(π,6)
＝eq \f(\r(3),2)(2cs2A－1)－eq \f(1,2)×2sin A·cs A＝eq \f(\r(15)－7\r(3),16).
13．(2015新课标Ⅰ文)(本小题满分12分)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cs B；
(2)设B＝90°，且a＝eq \r(2)，求△ABC的面积．
解析 (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,4).
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝eq \r(2).
所以△ABC的面积为eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)＝1.定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
解的
个数
一解
两解
一解
一解