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艺术生高考数学专题讲义：考点27 平面向量的数量积
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这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点27 平面向量的数量积，共7页。试卷主要包含了两个向量的夹角，平面向量的数量积，平面向量数量积的几何意义，平面向量数量积的重要性质，平面向量数量积满足的运算律，平面向量数量积的坐标运算，已知向量a＝)，b＝等内容，欢迎下载使用。
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，记作< a，b>．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量的数量积
已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cs θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
3．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cs θ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cs θ的乘积．
注意：b在a方向上的投影为|b|cs θ＝eq \f(a·b,|a|)，而a在b方向上的投影为|a|cs θ＝eq \f(a·b,|b|)，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.
4．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cs θ；
(2) a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a和b同向时，a·b＝|a||b|；当a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a ＝|a|2，|a|＝eq \r(a·a)；
(4)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
(5)|a·b|≤|a||b|.
5．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6．平面向量数量积的坐标运算
设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1) a·b＝x1x2＋y1y2
(2) |a|2＝x12＋y12或|a|＝eq \r(x12＋y12).
(3) a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4) cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2, eq \r(x12＋y12) · eq \r(x22＋y22) )
典例剖析
题型一 平面向量数量积的计算
例1 已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，则向量a和向量b的数量积a·b＝____.
答案 3
解析 a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝2×eq \r(3)×cs30°＝2×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3.
变式训练 在△ABC中，三边长均为1，设eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，求a·b＋b·c＋c·a的值．
解析 ∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴＝120°，＝120°，＝120°，
∴a·b＝|a||b|cs120°＝－eq \f(1,2)，
b·c＝|b||c|cs120°＝－eq \f(1,2)，
c·a＝|c||a|cs120°＝－eq \f(1,2)，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(3,2).
解题要点 在用定义求解两向量数量积时，要特别注意两向量的夹角，求夹角时，应将两向量平移至同一起点，再观察其夹角的大小.
题型二 利用数量积求射影
例2 若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为________.
答案 2eq \r(3)
解析 a在b方向上的投影为|a|cs＝4×cs30°＝2eq \r(3).
变式训练 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为________.
答案 eq \f(3\r(2),2)
解析 由已知得eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(5，5)，因此eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(15,5\r(2))＝eq \f(3\r(2),2).
题型三 利用数量积求模长
例3 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．
答案 eq \r(3)
解析 |a－b|＝eq \r(（a－b）2)＝eq \r(a2＋b2－2a·b)＝eq \r(12＋22－2×1×2cs60°)＝eq \r(3).
变式训练 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cs α＝eq \f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．
答案 3
解析 |a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×eq \f(1,3)＋4＝9.∴|a|＝3.
解题要点 一般来说，求模长，通常要平方，即利用公式：|a|2＝a2＝a·a，常见利用数量积求解模长的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝a·a；
(2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
题型四 利用数量积求夹角
例4 若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝eq \f(3,2)，则向量a，b的夹角为________.
答案 60°
解析 ∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝eq \f(3,2)，
∴a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝eq \f(1,2)，cs〈a，b〉＝eq \f(1,2)，〈a，b〉＝60°.
变式训练 若e1，e2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2的夹角为________.
答案 120°
解析 a·b＝－6eeq \\al(2,1)＋2eeq \\al(2,2)＋e1·e2＝－6＋2＋eq \f(1,2)＝－eq \f(7,2)，
又|a|＝eq \r(2e1＋e22)＝ eq \r(5＋4×\f(1,2))＝eq \r(7)，
|b|＝ eq \r(－3e1＋2e22)＝ eq \r(13－12×\f(1,2))＝eq \r(7)，
∴a与b的夹角θ满足：csθ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq \f(1,2)，
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
解题要点 求两个非零向量的夹角时要注意：
(1)向量的数量积不满足结合律；
(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角．
题型五 利用数量积求解垂直问题
例5 (1)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.
(2) 已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝________.
答案 (1) －3 (2) 3
解析 (1)∵m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)⊥(m－n)，∴－2λ－3－3＝0，得λ＝－3.
(2) 因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，
变式训练 已知a＝(csα，sinα)，b＝(csβ，sinβ)，0<β<α<π.若|a－b|＝eq \r(2)，求证：a⊥b；
解析 证明：由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又∵a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
∴2－2a·b＝2，即a·b＝0.故a⊥b.
解题要点 两向量垂直的应用：
两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.对于给出向量的坐标的垂直问题，既可以利用坐标运算，即利用公式a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0求解，也可以利用数量积的定义求解，即利用公式a·b＝|a||b|cs θ求解.
当堂练习
1．(2015新课标II文)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于________.
答案 1
解析 因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，得(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
2．(2015重庆文)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为________.
答案 eq \f(2π,3)
解析 因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cs〈a，b〉＝0，又|b|＝4|a|，则上式可化为2|a|2＋|a|×4|a|·cs〈a，b〉＝0即2＋4cs〈a，b〉＝0，所以cs〈a，b〉＝－eq \f(1,2)，即a，b夹角为eq \f(2π,3).
3. 若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝________.
答案 eq \r(2)
解析 依题意得，－(x＋1)－2×1＝0，得x＝－3，故a＋b＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a＋b|＝eq \r(－12＋12)＝eq \r(2).
4．在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，－1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，－eq \r(3))，则csB＝________.
答案 －eq \f(\r(3),2)
解析 ∵在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，－1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，－eq \r(3))，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2，eq \(BA,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1)，∴csB＝eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|·|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－2\r(3),2×2)＝－eq \f(\r(3),2).
5．(2015湖北文)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝________.
答案 9
解析 因为eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))2＋eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋0＝32＝9.
课后作业
填空题
1．在边长为2的正△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))等于________.
答案 －2
解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|·cs(π－∠ABC)＝2×2×cs120°＝－2.
2．已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝________.
答案 eq \r(13)
解析 |a－b|2＝(a－b)2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝13，故|a－b|＝eq \r(13).
3．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝1，则BC＝________.
答案 eq \r(3)
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝1，且AB＝2，∴1＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|cs(π－B)，∴|eq \(BC,\s\up6(→))|cs B＝－eq \f(1,2).
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcsB，即9＝4＋BC2－2×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))).
∴BC＝eq \r(3).
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)) 等于________.
答案 16
解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))·(－eq \(CA,\s\up6(→)))＝－eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))2＝16.
5．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________.
答案 eq \f(π,3)
解析 设a与b的夹角为θ，
由|a|＝1，|b|＝2，得(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝1＋1×2×cs θ－2×4＝－6，
解得cs θ＝eq \f(1,2).再由0≤θ≤π可得θ＝eq \f(π,3).
6．已知向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，|a|＝eq \r(2)，则a在b方向上的投影为________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 ∵a在b方向上的投影为|a|·cs〈a，b〉＝eq \r(2)cseq \f(π,3)＝eq \f(\r(2),2).
7．(2015北京文)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的________条件
答案 充分而不必要条件
解析 由数量积定义a·b＝|a|·|b|·cs θ＝|a|·|b|，(θ为a，b夹角)，∴cs θ＝1，θ∈[0°，180°]，∴θ＝0°，∴a∥b；
反之，当a∥b时，a，b的夹角θ＝0°或180°，a·b＝±|a|·|b|.
8．已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，则实数m＝________.
答案 eq \r(3)
解析 根据平面向量的夹角公式可得eq \f(1×3＋\r(3)m,2×\r(9＋m2))＝eq \f(\r(3),2)，即3＋eq \r(3)m＝eq \r(3)×eq \r(9＋m2)，两边平方并化简得6eq \r(3)m＝18，解得m＝eq \r(3)．
9．(2015浙江文)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝eq \f(1,2).若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 因为|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝eq \f(1,2).所以e1与e2的夹角为60°.又因为b·e1＝b·e2＝1，
所以b·e1－b·e2＝0，即b·(e1－e2)＝0，所以b⊥(e1－e2)．所以b与e1的夹角为30°，
所以b·e1＝|b|·|e1|cs 30°＝1.
∴|b|＝eq \f(2\r(3),3).
10．已知a＝(1，eq \r(3))，b＝(－1,0)，则|a＋2b|＝________.
答案 2
解析 ∵a＋2b＝(－1，eq \r(3))，∴|a＋2b|＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2.
11．若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角是_______．
答案 eq \f(2π,3)
解析 设向量a，b的夹角为θ.由(a＋b)⊥a得(a＋b)·a＝0，即|a|2＋a·b＝0，∵|a|＝2，
∴a·b＝－4，∴|a|·|b|·csθ＝－4，
又|b|＝4，∴csθ＝－eq \f(1,2)，即θ＝eq \f(2π,3).
∴向量a，b的夹角为eq \f(2π,3).
二、解答题
12．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；
(2)求向量a在b方向上的投影．
解析 (1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．
∴b·c＝2×6－2×6＝0，
∴(b·c)a＝0a＝0.
(2)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|csθ.
∴|a|csθ＝eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(1×2＋2×－2,\r(22＋－22))＝－eq \f(2,2\r(2))＝－eq \f(\r(2),2).
13．(2015广东理)
在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．
解析 (1)因为m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝0，
所以sin x＝cs x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝eq \f(1,2)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2)，
因为0
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，记作< a，b>．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量的数量积
已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cs θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
3．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cs θ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cs θ的乘积．
注意：b在a方向上的投影为|b|cs θ＝eq \f(a·b,|a|)，而a在b方向上的投影为|a|cs θ＝eq \f(a·b,|b|)，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.
4．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cs θ；
(2) a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a和b同向时，a·b＝|a||b|；当a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a ＝|a|2，|a|＝eq \r(a·a)；
(4)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
(5)|a·b|≤|a||b|.
5．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6．平面向量数量积的坐标运算
设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1) a·b＝x1x2＋y1y2
(2) |a|2＝x12＋y12或|a|＝eq \r(x12＋y12).
(3) a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4) cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2, eq \r(x12＋y12) · eq \r(x22＋y22) )
典例剖析
题型一 平面向量数量积的计算
例1 已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，则向量a和向量b的数量积a·b＝____.
答案 3
解析 a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝2×eq \r(3)×cs30°＝2×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3.
变式训练 在△ABC中，三边长均为1，设eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，求a·b＋b·c＋c·a的值．
解析 ∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴
∴a·b＝|a||b|cs120°＝－eq \f(1,2)，
b·c＝|b||c|cs120°＝－eq \f(1,2)，
c·a＝|c||a|cs120°＝－eq \f(1,2)，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(3,2).
解题要点 在用定义求解两向量数量积时，要特别注意两向量的夹角，求夹角时，应将两向量平移至同一起点，再观察其夹角的大小.
题型二 利用数量积求射影
例2 若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为________.
答案 2eq \r(3)
解析 a在b方向上的投影为|a|cs
变式训练 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为________.
答案 eq \f(3\r(2),2)
解析 由已知得eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(5，5)，因此eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(15,5\r(2))＝eq \f(3\r(2),2).
题型三 利用数量积求模长
例3 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．
答案 eq \r(3)
解析 |a－b|＝eq \r(（a－b）2)＝eq \r(a2＋b2－2a·b)＝eq \r(12＋22－2×1×2cs60°)＝eq \r(3).
变式训练 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cs α＝eq \f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．
答案 3
解析 |a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×eq \f(1,3)＋4＝9.∴|a|＝3.
解题要点 一般来说，求模长，通常要平方，即利用公式：|a|2＝a2＝a·a，常见利用数量积求解模长的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝a·a；
(2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
题型四 利用数量积求夹角
例4 若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝eq \f(3,2)，则向量a，b的夹角为________.
答案 60°
解析 ∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝eq \f(3,2)，
∴a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝eq \f(1,2)，cs〈a，b〉＝eq \f(1,2)，〈a，b〉＝60°.
变式训练 若e1，e2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2的夹角为________.
答案 120°
解析 a·b＝－6eeq \\al(2,1)＋2eeq \\al(2,2)＋e1·e2＝－6＋2＋eq \f(1,2)＝－eq \f(7,2)，
又|a|＝eq \r(2e1＋e22)＝ eq \r(5＋4×\f(1,2))＝eq \r(7)，
|b|＝ eq \r(－3e1＋2e22)＝ eq \r(13－12×\f(1,2))＝eq \r(7)，
∴a与b的夹角θ满足：csθ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq \f(1,2)，
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
解题要点 求两个非零向量的夹角时要注意：
(1)向量的数量积不满足结合律；
(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角．
题型五 利用数量积求解垂直问题
例5 (1)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.
(2) 已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝________.
答案 (1) －3 (2) 3
解析 (1)∵m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)⊥(m－n)，∴－2λ－3－3＝0，得λ＝－3.
(2) 因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，
变式训练 已知a＝(csα，sinα)，b＝(csβ，sinβ)，0<β<α<π.若|a－b|＝eq \r(2)，求证：a⊥b；
解析 证明：由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又∵a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
∴2－2a·b＝2，即a·b＝0.故a⊥b.
解题要点 两向量垂直的应用：
两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.对于给出向量的坐标的垂直问题，既可以利用坐标运算，即利用公式a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0求解，也可以利用数量积的定义求解，即利用公式a·b＝|a||b|cs θ求解.
当堂练习
1．(2015新课标II文)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于________.
答案 1
解析 因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，得(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
2．(2015重庆文)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为________.
答案 eq \f(2π,3)
解析 因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cs〈a，b〉＝0，又|b|＝4|a|，则上式可化为2|a|2＋|a|×4|a|·cs〈a，b〉＝0即2＋4cs〈a，b〉＝0，所以cs〈a，b〉＝－eq \f(1,2)，即a，b夹角为eq \f(2π,3).
3. 若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝________.
答案 eq \r(2)
解析 依题意得，－(x＋1)－2×1＝0，得x＝－3，故a＋b＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a＋b|＝eq \r(－12＋12)＝eq \r(2).
4．在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，－1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，－eq \r(3))，则csB＝________.
答案 －eq \f(\r(3),2)
解析 ∵在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，－1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，－eq \r(3))，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2，eq \(BA,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1)，∴csB＝eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|·|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－2\r(3),2×2)＝－eq \f(\r(3),2).
5．(2015湖北文)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝________.
答案 9
解析 因为eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))2＋eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋0＝32＝9.
课后作业
填空题
1．在边长为2的正△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))等于________.
答案 －2
解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|·cs(π－∠ABC)＝2×2×cs120°＝－2.
2．已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝________.
答案 eq \r(13)
解析 |a－b|2＝(a－b)2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝13，故|a－b|＝eq \r(13).
3．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝1，则BC＝________.
答案 eq \r(3)
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝1，且AB＝2，∴1＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|cs(π－B)，∴|eq \(BC,\s\up6(→))|cs B＝－eq \f(1,2).
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcsB，即9＝4＋BC2－2×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))).
∴BC＝eq \r(3).
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)) 等于________.
答案 16
解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))·(－eq \(CA,\s\up6(→)))＝－eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))2＝16.
5．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________.
答案 eq \f(π,3)
解析 设a与b的夹角为θ，
由|a|＝1，|b|＝2，得(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝1＋1×2×cs θ－2×4＝－6，
解得cs θ＝eq \f(1,2).再由0≤θ≤π可得θ＝eq \f(π,3).
6．已知向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，|a|＝eq \r(2)，则a在b方向上的投影为________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 ∵a在b方向上的投影为|a|·cs〈a，b〉＝eq \r(2)cseq \f(π,3)＝eq \f(\r(2),2).
7．(2015北京文)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的________条件
答案 充分而不必要条件
解析 由数量积定义a·b＝|a|·|b|·cs θ＝|a|·|b|，(θ为a，b夹角)，∴cs θ＝1，θ∈[0°，180°]，∴θ＝0°，∴a∥b；
反之，当a∥b时，a，b的夹角θ＝0°或180°，a·b＝±|a|·|b|.
8．已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，则实数m＝________.
答案 eq \r(3)
解析 根据平面向量的夹角公式可得eq \f(1×3＋\r(3)m,2×\r(9＋m2))＝eq \f(\r(3),2)，即3＋eq \r(3)m＝eq \r(3)×eq \r(9＋m2)，两边平方并化简得6eq \r(3)m＝18，解得m＝eq \r(3)．
9．(2015浙江文)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝eq \f(1,2).若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 因为|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝eq \f(1,2).所以e1与e2的夹角为60°.又因为b·e1＝b·e2＝1，
所以b·e1－b·e2＝0，即b·(e1－e2)＝0，所以b⊥(e1－e2)．所以b与e1的夹角为30°，
所以b·e1＝|b|·|e1|cs 30°＝1.
∴|b|＝eq \f(2\r(3),3).
10．已知a＝(1，eq \r(3))，b＝(－1,0)，则|a＋2b|＝________.
答案 2
解析 ∵a＋2b＝(－1，eq \r(3))，∴|a＋2b|＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2.
11．若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角是_______．
答案 eq \f(2π,3)
解析 设向量a，b的夹角为θ.由(a＋b)⊥a得(a＋b)·a＝0，即|a|2＋a·b＝0，∵|a|＝2，
∴a·b＝－4，∴|a|·|b|·csθ＝－4，
又|b|＝4，∴csθ＝－eq \f(1,2)，即θ＝eq \f(2π,3).
∴向量a，b的夹角为eq \f(2π,3).
二、解答题
12．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；
(2)求向量a在b方向上的投影．
解析 (1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．
∴b·c＝2×6－2×6＝0，
∴(b·c)a＝0a＝0.
(2)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|csθ.
∴|a|csθ＝eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(1×2＋2×－2,\r(22＋－22))＝－eq \f(2,2\r(2))＝－eq \f(\r(2),2).
13．(2015广东理)
在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．
解析 (1)因为m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝0，
所以sin x＝cs x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝eq \f(1,2)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2)，
因为0
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