艺术生高考数学专题讲义：考点36 空间几何体的表面积和体积

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1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

2.空间几何体的表面积与体积公式
说明：
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
3.几个有关球的结论
(1)设正方体的棱长为a，球的半径为R，则
①正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)设长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
典例剖析
题型一 简单几何体的表面积
例1 已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的表面积为________．
答案 26π
解析 由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为2eq \r(3)的圆台，则几何体的表面积S＝π×1＋π×9＋π×(1＋3)×eq \r(2\r(3)2＋22)＝26π.
变式训练 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是______．
答案 16＋16eq \r(2)
解析 由三视图知，四棱锥是底面边长为4，高为2的正四棱锥，∴四棱锥的表面积是16＋4×eq \f(1,2)×4×2eq \r(2)＝16＋16eq \r(2).
解题要点 对于这类给出三视图求表面积、体积的题，应先根据三视图换原实物图，然后再求解．
题型二 简单几何体的体积
例2 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．
解析 (1)如图．
(2)所求多面体的体积
V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－eq \f(1,3)×(eq \f(1,2)×2×2)×2＝eq \f(284,3)(cm3)．
变式训练 某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是______．
答案 1
解析 由三棱锥的侧视图和俯视图可知该三棱锥的底面是边长为2的正三角形，故其底面积为eq \r(3)；其侧视图也是边长为2的正三角形，故侧视图中三角形的高即为三棱锥的高，可求出为eq \r(3)，所以三棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \r(3)＝1.
题型三 球体有关表面积和体积
例3 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm2.
答案 (1)4π＋12
解析 (1)由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为1×2－eq \f(1,2)×π×12＝2－eq \f(π,2)，四棱柱中不重合的表面积为2－eq \f(π,2)＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－eq \f(π,2)，半圆柱中不重合的表面积为eq \f(1,2)×2π×2＋eq \f(1,2)π＝eq \f(5,2)π，半球的表面积为eq \f(1,2)×4π＝2π，所以该几何体的表面积为4π＋12.
变式训练 (2015新课标Ⅰ理)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝______．
答案 2
解析 由正视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解．如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝eq \f(1,2)×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2.
例4 已知底面边长为1，侧棱长为eq \r(2)的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为______．
答案 eq \f(4π,3)
解析 正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，
所以球的半径r＝ eq \r(\f(\r(2),2)2＋\f(\r(2),2)2)＝1，
球的体积V＝eq \f(4π,3)r3＝eq \f(4π,3).
解题要点
1．球的表面积公式：S＝4πR2；球的体积公式V＝eq \f(4,3)πR3
2.注意掌握一些典型的球的切、接问题，以及相关的结论．如长方体外接球的半径为R＝eq \f(1,2)\r(a2＋b2＋c2).对于一些问题，将球放到某个长方体(或正方体)中，然后利用相关结论问题便迎刃而解．
当堂练习
1．(2015安徽文)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是______．
答案 2＋eq \r(3)
解析 由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示．
∴其表面积S表＝2×eq \f(1,2)×2×1＋2×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝2＋eq \r(3).
2．(2015北京理)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是______．

答案 2＋2eq \r(5)
解析 该三棱锥的直观图如图所示：

过D作DE⊥BC，交BC于E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×eq \r(5)×1＋eq \f(1,2)×eq \r(5)×1＋eq \f(1,2)×2×eq \r(5)＝2＋2eq \r(5).
3. (2015新课标Ⅱ文)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为______．
答案 144π
解析 如图，要使三棱锥OABC即COAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥COAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VOABC最大＝VCOAB最大＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)S△OAB×R＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×R2×R＝eq \f(1,6)R3＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π.
4．(2015四川文)在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是________．
答案 eq \f(1,24)
解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，
∵VPA1MN＝VA1PMN，
又∵AA1∥平面PMN，∴VA1PMN＝VAPMN，
∴VAPMN＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,24)，
故VPA1MN＝eq \f(1,24).
5．(2015浙江文)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是______．
答案 eq \f(32,3)
解析 由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm的正方体与底面为边长为2 cm正方形、高为2 cm的四棱锥组成，V＝V正方体＋V四棱锥＝8 cm3＋eq \f(8,3) cm3＝eq \f(32,3) cm3.
课后作业
选择题
1．(2015陕西文)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．
答案 3π＋4
解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：
S＝2×eq \f(1,2)π×12＋eq \f(1,2)×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.
2．(2015福建文)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于______________．
答案 11＋2eq \r(2)
解析 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．
直角梯形斜腰长为eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，所以底面周长为4＋eq \r(2)，侧面积为2×(4＋eq \r(2))＝8＋2eq \r(2)，两底面的面积和为2×eq \f(1,2)×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋2eq \r(2)＋3＝11＋2eq \r(2).
3．(2015山东文)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______．
答案 eq \f(4\r(2)π,3)
解析 如图，设等腰直角三角形为△ABC，∠C＝90°，AC＝CB＝2，则AB＝2eq \r(2).
设D为AB中点，则BD＝AD＝CD＝eq \r(2).
∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V＝2×eq \f(1,3)×π×(eq \r(2))2×eq \r(2)＝eq \f(4\r(2)π,3).
4．若某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为___________．
答案 eq \f(3,2)π＋eq \r(3)
解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，即由一个圆锥沿中轴线切去一半而得．
∴S＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＋eq \f(1,2)×π＋eq \f(1,2)×2π×1＝eq \f(3,2)π＋eq \r(3).
5．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为___________．
答案 75＋4eq \r(10)
解析 由三视图可知该几何体是一个四棱柱．两个底面面积之和为2×eq \f(4＋5,2)×3＝27，四个侧面的面积之和是(3＋4＋5＋eq \r(10))×4＝48＋4eq \r(10)，故表面积是75＋4eq \r(10).
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．
答案 3π
解析 方法一：由三视图画出几何体，如图所示，该几何体的体积V＝2π＋π＝3π.
方法二：V＝eq \f(1,2)·π·12·(2＋4)＝3π.
7．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为______．
答案 eq \f(3,2)π
解析 由题意可得，该几何体是一个底面半径为eq \f(1,2)，高为1的圆柱，
∴其全面积S＝2π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋2π×eq \f(1,2)×1＝eq \f(3,2)π.
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．
答案 12
解析 由三视图可知，该几何体是一个如图所示的四棱锥P－ABCD，其中，底面ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，PA⊥面ABCD，PA＝3，
∴VP－ABCD＝eq \f(1,3)SABCD·PA＝eq \f(1,3)×3×4×3＝12.
9．(2015天津文)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
答案 eq \f(8,3)π
解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两圆锥和一圆柱组成，底面半径为1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的高为2 m，因此该几何体的体积V＝2×eq \f(1,3)×π×12×1＋π×12×2＝eq \f(8,3)π m3.
10．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为______．
答案 3π
解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，∴S表＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3π.
11．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
答案 eq \f(20π,3)
解析 根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4，高为2的圆锥，下部是一个底面直径为2，高为4的圆柱．
故该几何体的体积V＝eq \f(1,3)π×22×2＋π×12×4＝eq \f(20π,3) (m2).
二、解答题
12． (2015湖南文)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．
解析 (1)证明 ∵△ABC为正三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC，
∴又B1B⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，
∴B1B⊥AE，∴由B1B∩BC＝B知，AE⊥平面B1BCC1，又由AE⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)解 设AB中点为M，连接CM，则CM⊥AB，
由平面A1ABB1⊥平面ABC且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB知，CM⊥面A1ABB1，
∴∠CA1M即为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．
∴∠CA1M＝45°，易知CM＝eq \f(\r(3),2)×2＝eq \r(3)，
在等腰Rt△CMA中，AM＝CM＝eq \r(3)，
在Rt△A1AM中，A1A＝eq \r(A1M2－AM2)＝eq \r(2).∴FC＝eq \f(1,2)A1A＝eq \f(\r(2),2)，
又S△AEC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),4)×4＝eq \f(\r(3),2)，∴V三棱锥FAEC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6),12).
13．(2015新课标Ⅰ文)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为eq \f(\r(6),3)，求该三棱锥的侧面积．
解析 (1)证明 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.
(2)解 设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq \f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq \f(x,2).
因为AE⊥EC，所以在Rt △AEC中，可得EG＝eq \f(\r(3),2)x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝eq \f(\r(2),2)x.
由已知得，三棱锥EACD的体积VEACD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)AC·GD·BE＝eq \f(\r(6),24)x3＝eq \f(\r(6),3).
故x＝2.
从而可得AE＝EC＝ED＝eq \r(6).
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为eq \r(5).
故三棱锥EACD的侧面积为3＋2eq \r(5).侧面展开图
侧面积
圆柱
S侧＝2πrl
圆锥
S侧＝πrl
圆台
S侧＝π(r1＋r2)l
直棱柱
S侧＝ch
正棱锥
S侧＝eq \f(1,2)ch′
正棱台
S侧＝eq \f(1,2)(c＋c′)h′
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3