四川省眉山市仁寿县2024年九年级下学期中考适应性考试数学试卷(含解析)

这是一份四川省眉山市仁寿县2024年九年级下学期中考适应性考试数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了凡作图题或辅助线均用签字笔画图等内容，欢迎下载使用。
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，必须使用0.5毫米签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上；所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
3．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值．
4．凡作图题或辅助线均用签字笔画图．
第Ⅰ卷（选择题共48分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑．
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
解析：解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 世界上最小的开花结果植物是浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，将数字用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：根据科学记数法定义可得：
，
故选：．
3. 下列运算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
解析：解：A. ，故运算不正确，不符合题意；
B. 与不是同类项，不能合并，故运算不正确，不符合题意；
C. ，故运算正确，符合题意；
D. ，故运算不正确，不符合题意．
故选：C．
4. 下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：A．俯视图与主视图都是正方形，故该选项不合题意；
B．俯视图与主视图都是矩形，故该选项不合题意；
C．俯视图是圆，左视图是三角形；故该选项符合题意；
D．俯视图与主视图都是圆，故该选项不合题意；
故选C．
5. 下面四个命题，其中真命题是（ ）
A. 矩形的对角线互相垂直
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 正八边形的每个内角都是
D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】D
解析：解：选项，矩形的对角线互相平分且相等，不互相垂直，该命题是假命题，不符合题意，选项错误；
选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，该命题是假命题，不符合题意，选项错误；
选项，八边形的内角和是，正八边形的每个内角是，该命题是假命题，不符合题意，选项错误；
选项，一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，该命题是真命题，符合题意，选项正确．
故选：．
6. 如图，在中，，，平分，交于，，交于，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：中，，
且，，
，
平分，
，
，
．
故选：．
7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
解析：解：由题意可知：
解得：
∴且
故选：D.
8. 某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛. 其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（ ）.
A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差
【答案】B
解析：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选B．
9. 如图，点在上，点在的内部，若四边形是平行四边形，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点在上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：．
10. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
解析：解：枚黄金重x两，每枚白银重y两
由题意得：
故选D．
11. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
解析：解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，在轴左侧，
∴，
∵抛物线与轴交于轴负半轴，
∴，
∴，故①错误，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故②正确，
∵抛物线与轴的一个解得坐标为，
∴与轴的一个解得坐标为，
∴，故③正确，
∵，，，点均在抛物线上，
∴，故④错误，
∵抛物线与轴的一个解得坐标为，
∴，
∴，
∵，，
∴，故⑤正确，
综上所述：正确的结论有②③⑤，共个，
故选：B．
12. 如图，在正方形中，E、F分别是上的点，且，分别交于M、N，连接，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
解析：如图，∵四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，故②正确，
③如图，
∴将绕点A顺时针旋转得到，
则，．
∵．
∵，
∴H、B、E三点共线，
在和中，
，
∴，
∴，故③正确，
设正方形的边长为，则，，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
13. 因式分解：______．
【答案】b(a+2)（a-2）
解析：，
，
．
14. 函数的自变量的取值范围是_____．
【答案】且
解析：解：由题意，得且，
解得且，
∴自变量的取值范围是且，
故答案为：且．
15. 在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为________．
【答案】互相垂直平分
解析：解：设线段与线段交于H，
∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F，
∴，
∵的角平分线交于点D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴线段与线段的关系为互相垂直平分．
16. 如图，在扇形中，半径与的夹角为，点与点的距离为，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为______.
【答案】
解析：解：连接，过作于，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴
故答案是：
17. 已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则代数式3ab﹣a﹣b的值为_____．
【答案】10．
解析：根据题意知a+b＝3，ab＝﹣1，
则3ab﹣a﹣b
＝3ab﹣（a+b）
＝3×（﹣1）﹣3
＝-6，
故答案为：-6．
18. 如图，反比例函数的图象上到原点O的距离最小的点为A，连，将线段平移到线段，点O的对应点且点D也在反比例函数的图象上时，则k的值为_________．
【答案】
解析：解：设点的坐标为：，
∴，
∵点在第二象限，
∴，
∴当时，最小，
即当时，最小，
∵将线段平移到线段， 点的对应点且点也在反比例函数 的图象上，
∴点的坐标为：，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴点的坐标为：，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
19. 计算：．
【答案】4．
解析：原式==4．
20. 先化简，再求值：其中的值从不等式组的整数解中选取．
【答案】，-2
解析：解：原式=
=
=
=
解不等式组得，
∵，
∴x=2，代入中得
原式=
21. 某校380名学生参加了这学期的“读书伴我行”活动，要求每人在这学期读书4~7本，活动结束后随机抽查了20名学生每人的读书量，并分为四种等级，：4本；：5本；：6本；：7本．将各等级的人数绘制成尚不完整的扇形图和条形图．

回答下列问题：
（1）补全条形图；这20名学生每人这学期读书量的众数是__________本，中位数是__________本；
（2）在求这20名学生这学期每人读书量的平均数时，小亮是这样计算的：
（本）．
小亮的计算是否正确？如果正确，估计这380名学生在这学期共读书多少本；如果不正确，请你帮他计算出正确的平均数，并估计这380名学生在这学期共读书多少本；
（3）若A等级的四名学生中有男生、女生各两名，现从中随机选出两名学生写读书感想，请用画树状图的方法求出刚好选中一名男生、一名女生的概率．
【答案】（1）补图见解析，6，5.5；（2）不正确，平均数是5.4本，共读书2052本；（3）
解析：（1）C等级的人数为（人），补全统计图如图所示：
由众数的定义得：这20名学生每人这学期读书量的众数是6本
由中位数的定义得：将这20名学生每人这学期读书量按从小到大排序后，排在第10和11位两个数据的平均值即为中位数，即（本）
故答案为：6，；

（2）小亮的计算不正确
正确的计算是：（本）
（本）
答：小亮的计算不正确，正确的平均数为本，估计这380名学生在这学期共读书2052本；
（3）设等级中的男生分别为，，女生分别为，
依题意，画树状图如下所示：

由此可知，从中随机选出两名学生的所有可能的结果有12种，它们每一种出现的可能性相等，其中刚好选中一名男生、一名女生的结果有8种
则所求的概率为．
22. 如图，线段经过圆心O，交于点为的弦，连结
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1解析】
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2解析】
如图，连结，
∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
在中，，
∴．
23. 如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿北偏西60°的方向行驶了30海里到达点P处，此时从B码头测得小船在北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．
【答案】小船到B码头的距离是15海里，A、B两个码头间的距离是（15+15）海里．
解析：如图，过P作PM⊥AB于M，则∠PMB＝∠PMA＝90°，
∵∠PBM＝90°﹣45°＝45°，∠PAM＝90°﹣60°＝30°，AP＝30海里，
∴PM＝AP＝15海里，AM＝cs30°AP＝15海里，
∵∠BPM＝∠PBM＝45°，
∴BM＝PM＝15海里，
∴AB＝AM+BM＝（15+15）海里，
∴BP＝海里，
即小船到B码头的距离是15海里，A、B两个码头间的距离是（15+15）海里．
24. 在眉山市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，且要求购进的电子白板不少于10台，请设计一种最省钱的方案，并说明理由．
【答案】（1）购进一台电脑需0.5万元，购买一台电子白板需1.5万元
（2）购进20台电脑，10台电子白板时总费用最低为25万元
【小问1解析】
设购进一台电脑需x万元，购买一台电子白板需y万元
根据题意得
解之，
答：购进一台电脑需0.5万元，购买一台电子白板需1.5万元
【小问2解析】
设购进电脑m台，则购进电子白板台
则
解之，
∵ m为整数
∴，16， 17，18，19，20
∴ 有六种购进方案．
设购买总费用为w万元，则：
即
∵
∴ w随m的增大而减小
∴ 当时，
∴ 购进20台电脑，10台电子白板时总费用最低为25万元．
25. 问题：如图①，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ；
探索：如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长．

【答案】问题：；探索：，理由见解析；应用：．
解析：解：问题：依题得：，
，
则，
即，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：．
探究：，理由如下：
如图，连接，

依题得：在中，，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，
在中，，
．
应用：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连结，，

，，
，
，
，，
，
即，
在和中，
，
，
，
又，
，
在中，，
在中，，
，
，，
，
．
26. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点为该抛物线上第一象限内一动点，且点在对称轴的右侧，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）若点为对称轴上异于，的动点，过点作直线的垂线交直线于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为
（2），
（3）点P的坐标为或或或
【小问1解析】
把，代入抛物线解析式得： ，
解得：，
∴抛物线解析式；
【小问2解析】
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标为，对称轴为，，
过点作轴的平行线交于点，
设点，直线的解析式为，

则，
解得：，
∴直线的解析式为，
可设，
∴，
∴
，
，
，
当时，取得最大值，．
此时，
∴；
【小问3解析】
抛物线的对称轴为，则点，
设点，
将点的坐标代入一次函数表达式：并解得：
函数的表达式为：，
∵，故直线表达式中的值为，
将点的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线的表达式为：，
解得：，
故点，
∴，，，
当时，，解得：或（舍去），
∴；
当时，，解得：，
∴或；
当时，，解得：或（舍去），
∴；
综合以上可得点的坐标为或或或．