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苏教版六年级上册表面涂色的正方体优秀导学案
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这是一份苏教版六年级上册表面涂色的正方体优秀导学案，共8页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，知识链接，合作探究，达标检测等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1.学习目标描述：学生通过探索表面涂色的正方体的操作活动，观察并发现一面、二面、三面涂色以及无色小正方体的位置特点，以及它们的个数与正方体的点、面、棱数的数量关系。
2.学习内容分析：学生在前面的学习中充分接触了长方体和正方体的相关知识，本节课在此基础上安排了一节实践活动课“表面涂色的正方体”，主要研究将涂有颜色的正方体按照每条棱平均分成几份切成大小一样的小正方体后，这样的小正方体有多少个，其中一面、两面、三面、无颜色的小正方体有多少个的问题。并研究它们在大正方体的什么位置，个数与正方体顶点面、棱的个数有什么关系，发现并理解其中的规律，增加学生解决问题的能力，培养学生的空间观念。
3.学科核心素养分析：学生在活动中进一步积累探索简单数学规律的经验，感悟数学思想方法，发展数学思维能力和空间观念，建立数学模型。在探索数学规律的过程中，进一步体会图形学习与实际生活的联系，获得成功发现数学规律的愉悦体验，激发学习数学的兴趣。
【学习重点】探索并发现表面涂色的大正方体切成若干个相同的小正方体后，小正方体不同涂色面的个数的规律。
【学习难点】理解大正方体的棱平均分的份数、切成小正方体的总个数和不同涂色面的小正方体个数之间的关系。
【知识链接】
1.填一填
（1）在长方体或正方体中，表面平平的部分称为（ ）；两个面相交便形成了一条（ ）；三条棱相交于一点，这点叫做（ ）。
（2）长方体和正方体都有（ ）个面，（ ）条棱，（ ）个顶点。
2.计算下面长方体和正方体的表面积和体积。
【合作探究】
一、探究每条棱都平均分成2份的正方体表面涂色情况
1.一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成2份。如果照下图的样子把它切开，能切成多少个同样大的小正方体？
（ ）×（ ）×（ ）=（ ）（个）
答：能切成（ ）个同样大的小正方体。
2.每个小正方体有几个面涂色？
我认为：每个小正方体都有（ ）个面涂色。
3.把大正方体切开看看。
把大正方体的每条棱平均分成（ ）份，分成了（ ）个小正方体，（ ）个小正方体都是（ ）面涂色。
二、探究每条棱都平均分成3份的正方体表面涂色情况
1.把正方体的每条棱都平均分成3份，再把正方体切开，能切成多少个小正方体？
（ ）×（ ）×（ ）=（ ）（个）
答：能切成（ ）个小正方体。
2.切成的小正方体是不是全都是3面涂呢？
我发现：切成的小正方体中，有（ ）面涂色、还有（ ）面涂色和（ ）面涂色。
3.切成的小正方体中，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方体各有多少个，分别在什么位置？
（1）看图猜一猜、说一说。
（2）分组做实验验证。
操作提示：
①用小正方体拼一拼，然后用贴纸标注涂色面。
②切一切，与同伴交流，再在下表中填出来。
我发现：
三面涂色的小正方体有（ ）个，在（ ）处。
2面涂色的小正方体在（ ），有（ ）个。
1面涂色的小正方体在（ ），有（ ）个。
三、探究每条棱都平均分成4份、5份的正方体表面涂色情况
如果正方体的每条棱都平均分成4份、5份，再切成同样大小的小正方体，结果怎样？
1.先在图中找一找
我发现：
（1）每条棱平均分成4份：
3面涂色的小正方体在（ ），有（ ）个；
2面涂色的小正方体在（ ），每条棱上有（ ）个，12条棱共（ ）×（ ）=（ ）（个）。
1面涂色的小正方体在（ ），每个面有（ ）个，6个面共（ ）×（ ）=（ ）（个）。
（2）每条棱平均分成5份：
3面涂色的小正方体在（ ），有（ ）个；
2面涂色的小正方体在（ ），每条棱上有（ ）个，12条棱共（ ）×（ ）=（ ）（个）。
1面涂色的小正方体在（ ），每个面有（ ）个，6个面共（ ）×（ ）=（ ）（个）。
2.把结果填入下表。
四、观察比较、归纳规律
1.观察上面填出的表格，你会发现什么样的规律？与同伴交流。
我发现：
（1）3面涂色的小正方体都在大正方体（ ）的位置，都是（ ）个。
（2）2面涂色的小正方体的个数都是（ ）的倍数。
（3）1面涂色的小正方体的个数都是（ ）的倍数。
2.如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数，用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，你能用式子分别表示n和a、b的关系吗？想一想怎样确定一条棱上有几个小正方体2面或1面涂色的。
（1）2面涂色的小正方体的个数是每条棱平均分成的份数减（ ）后，再乘以（ ），2面涂色的小正方体的个数=______________________，所以a= ________________。
1面涂色的小正方体的个数是每条棱平均分成的份数减2的（ ），再乘以（ ），1面涂色的小正方体的个数=______________________，所以b=______________________。
五、回顾过程，反思得失
1.回顾探索和发现规律的过程，说说你的体会。
（1）找各种小正方体时，要注意它们在大正方体上的（ ）。
（2）各种小正方体的个数与正方体（ ）、（ ）和（ ）的个（条）数有关。
（3）要把（ ）、（ ）、（ ）等方法结合起来，并根据图形的特征进行思考。
2.我们经历了怎样的过程发现这些规律？
经历了（ ）——（ ）——（ ）——（ ）——得出结论。
【达标检测】
1.填一填。
（1）如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数，用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，你能用式子分别表示n和a、b的关系吗？
a=_______________ b=_______________
（2）3面涂色的小正方体都在大正方体（ ）的位置，都是（ ）个。
（3）2面涂色的小正方体的个数都是（ ）的倍数。
（4）1面涂色的小正方体的个数都是（ ）的倍数。
2.下面正方体由棱长1厘米的小木块拼成．如果在正方体的表面涂上红色，请你思考并填表：
3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样大的小长方体，没有涂颜色的面积是60平方厘米．求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？
4.将一个正方体的表面涂上颜色。如图把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的。如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色。
（1）如果把正方体的棱4等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱n等分呢？
（2）请直接写出将棱7等分时，只有一个面涂色的小正方体的个数。
5.一个正方体表面涂满了红漆，把它切成了216块大小相等的小正方体。在这些小正方体中，没有涂上红漆的小正方体有多少块？
6.把一个长9厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体表面全部涂上绿色，然后把它切成棱长为1厘米的小正方体。在这些小正方体中，只有一面涂色的有多少块？只有两面涂色的有多少块？
7.如图所示为一个由小正方体堆成的“塔”。如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？
参考答案
1.填一填。
（1）12(n －2) 6(n －2)2
（2）顶点 8
（3）12
（4）6
2.下面正方体由棱长1厘米的小木块拼成．如果在正方体的表面涂上红色，请你思考并填表。
1cm 8 24 24 8 64
3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样大的小长方体，没有涂颜色的面积是60平方厘米．求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？
（60÷4）×6
=15×6
=90（平方厘米）
答：涂上红色的面积一共是90平方厘米。
4.将一个正方体的表面涂上颜色。如图把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的．如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色。
（1）三面涂色8 8
二面涂色24 12（n﹣2）
一面涂色24 6（n﹣2）2
（2）当n=7时，6（n﹣2）2=6×（7﹣2）2=150，所以一面涂色的小正方体有150个。
5.一个正方体表面涂满了红漆，把它切成了216块大小相等的小正方体．在这些小正方体中，没有涂上红漆的小正方体有多少块？
6×6×6=216（块）
6-2=4（块）
4×4×4=64（块）
6.把一个长9厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体表面全部涂上绿色，然后把它切成棱长为1厘米的小正方体。在这些小正方体中，只有一面涂色的有多少块？只有两面涂色的有多少块？
9-2=7 8-2=6 6-2=4
所以只有一面涂色的有：（7×6+7×4+6×4）×2=188（个）
只有两面涂色的有：（7+6+4）×4=68（个）
答：只有一面涂色的有188块，只有两面涂色的有68块。
7.如图所示为一个由小正方体堆成的“塔”。如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？
从上往下看：第一层中有1个正方体，露在外部5个面；
第二层中有3×3=9个小正方体，除了中间一个小正方体一个面也不露之外，其它8个小正方体中，四个顶点处的4个小正方体露出3个面，另外4个只露出2个面；
第三层中有5×5=25个小正方体，中间9个小正方体只露出1个面；四个顶点处的小正方体露出4个面，剩下的25-9-4=12个小正方体都是露出3个面，
所以有3个面露在外部，即3面涂色的小正方体一共有：4+12=16（块）。
答：3面被涂成绿色的小正方体有16块。
棱长（cm）
三面涂色/块
两面涂色/块
一两面涂色/块
没有涂上色/块
共有块数/块
棱等分数
3面涂色的正方体
2面涂色的正方体
1面涂色的正方体
【学习目标】
1.学习目标描述：学生通过探索表面涂色的正方体的操作活动，观察并发现一面、二面、三面涂色以及无色小正方体的位置特点，以及它们的个数与正方体的点、面、棱数的数量关系。
2.学习内容分析：学生在前面的学习中充分接触了长方体和正方体的相关知识，本节课在此基础上安排了一节实践活动课“表面涂色的正方体”，主要研究将涂有颜色的正方体按照每条棱平均分成几份切成大小一样的小正方体后，这样的小正方体有多少个，其中一面、两面、三面、无颜色的小正方体有多少个的问题。并研究它们在大正方体的什么位置，个数与正方体顶点面、棱的个数有什么关系，发现并理解其中的规律，增加学生解决问题的能力，培养学生的空间观念。
3.学科核心素养分析：学生在活动中进一步积累探索简单数学规律的经验，感悟数学思想方法，发展数学思维能力和空间观念，建立数学模型。在探索数学规律的过程中，进一步体会图形学习与实际生活的联系，获得成功发现数学规律的愉悦体验，激发学习数学的兴趣。
【学习重点】探索并发现表面涂色的大正方体切成若干个相同的小正方体后，小正方体不同涂色面的个数的规律。
【学习难点】理解大正方体的棱平均分的份数、切成小正方体的总个数和不同涂色面的小正方体个数之间的关系。
【知识链接】
1.填一填
（1）在长方体或正方体中，表面平平的部分称为（ ）；两个面相交便形成了一条（ ）；三条棱相交于一点，这点叫做（ ）。
（2）长方体和正方体都有（ ）个面，（ ）条棱，（ ）个顶点。
2.计算下面长方体和正方体的表面积和体积。
【合作探究】
一、探究每条棱都平均分成2份的正方体表面涂色情况
1.一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成2份。如果照下图的样子把它切开，能切成多少个同样大的小正方体？
（ ）×（ ）×（ ）=（ ）（个）
答：能切成（ ）个同样大的小正方体。
2.每个小正方体有几个面涂色？
我认为：每个小正方体都有（ ）个面涂色。
3.把大正方体切开看看。
把大正方体的每条棱平均分成（ ）份，分成了（ ）个小正方体，（ ）个小正方体都是（ ）面涂色。
二、探究每条棱都平均分成3份的正方体表面涂色情况
1.把正方体的每条棱都平均分成3份，再把正方体切开，能切成多少个小正方体？
（ ）×（ ）×（ ）=（ ）（个）
答：能切成（ ）个小正方体。
2.切成的小正方体是不是全都是3面涂呢？
我发现：切成的小正方体中，有（ ）面涂色、还有（ ）面涂色和（ ）面涂色。
3.切成的小正方体中，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方体各有多少个，分别在什么位置？
（1）看图猜一猜、说一说。
（2）分组做实验验证。
操作提示：
①用小正方体拼一拼，然后用贴纸标注涂色面。
②切一切，与同伴交流，再在下表中填出来。
我发现：
三面涂色的小正方体有（ ）个，在（ ）处。
2面涂色的小正方体在（ ），有（ ）个。
1面涂色的小正方体在（ ），有（ ）个。
三、探究每条棱都平均分成4份、5份的正方体表面涂色情况
如果正方体的每条棱都平均分成4份、5份，再切成同样大小的小正方体，结果怎样？
1.先在图中找一找
我发现：
（1）每条棱平均分成4份：
3面涂色的小正方体在（ ），有（ ）个；
2面涂色的小正方体在（ ），每条棱上有（ ）个，12条棱共（ ）×（ ）=（ ）（个）。
1面涂色的小正方体在（ ），每个面有（ ）个，6个面共（ ）×（ ）=（ ）（个）。
（2）每条棱平均分成5份：
3面涂色的小正方体在（ ），有（ ）个；
2面涂色的小正方体在（ ），每条棱上有（ ）个，12条棱共（ ）×（ ）=（ ）（个）。
1面涂色的小正方体在（ ），每个面有（ ）个，6个面共（ ）×（ ）=（ ）（个）。
2.把结果填入下表。
四、观察比较、归纳规律
1.观察上面填出的表格，你会发现什么样的规律？与同伴交流。
我发现：
（1）3面涂色的小正方体都在大正方体（ ）的位置，都是（ ）个。
（2）2面涂色的小正方体的个数都是（ ）的倍数。
（3）1面涂色的小正方体的个数都是（ ）的倍数。
2.如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数，用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，你能用式子分别表示n和a、b的关系吗？想一想怎样确定一条棱上有几个小正方体2面或1面涂色的。
（1）2面涂色的小正方体的个数是每条棱平均分成的份数减（ ）后，再乘以（ ），2面涂色的小正方体的个数=______________________，所以a= ________________。
1面涂色的小正方体的个数是每条棱平均分成的份数减2的（ ），再乘以（ ），1面涂色的小正方体的个数=______________________，所以b=______________________。
五、回顾过程，反思得失
1.回顾探索和发现规律的过程，说说你的体会。
（1）找各种小正方体时，要注意它们在大正方体上的（ ）。
（2）各种小正方体的个数与正方体（ ）、（ ）和（ ）的个（条）数有关。
（3）要把（ ）、（ ）、（ ）等方法结合起来，并根据图形的特征进行思考。
2.我们经历了怎样的过程发现这些规律？
经历了（ ）——（ ）——（ ）——（ ）——得出结论。
【达标检测】
1.填一填。
（1）如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数，用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，你能用式子分别表示n和a、b的关系吗？
a=_______________ b=_______________
（2）3面涂色的小正方体都在大正方体（ ）的位置，都是（ ）个。
（3）2面涂色的小正方体的个数都是（ ）的倍数。
（4）1面涂色的小正方体的个数都是（ ）的倍数。
2.下面正方体由棱长1厘米的小木块拼成．如果在正方体的表面涂上红色，请你思考并填表：
3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样大的小长方体，没有涂颜色的面积是60平方厘米．求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？
4.将一个正方体的表面涂上颜色。如图把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的。如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色。
（1）如果把正方体的棱4等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱n等分呢？
（2）请直接写出将棱7等分时，只有一个面涂色的小正方体的个数。
5.一个正方体表面涂满了红漆，把它切成了216块大小相等的小正方体。在这些小正方体中，没有涂上红漆的小正方体有多少块？
6.把一个长9厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体表面全部涂上绿色，然后把它切成棱长为1厘米的小正方体。在这些小正方体中，只有一面涂色的有多少块？只有两面涂色的有多少块？
7.如图所示为一个由小正方体堆成的“塔”。如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？
参考答案
1.填一填。
（1）12(n －2) 6(n －2)2
（2）顶点 8
（3）12
（4）6
2.下面正方体由棱长1厘米的小木块拼成．如果在正方体的表面涂上红色，请你思考并填表。
1cm 8 24 24 8 64
3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样大的小长方体，没有涂颜色的面积是60平方厘米．求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？
（60÷4）×6
=15×6
=90（平方厘米）
答：涂上红色的面积一共是90平方厘米。
4.将一个正方体的表面涂上颜色。如图把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的．如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色。
（1）三面涂色8 8
二面涂色24 12（n﹣2）
一面涂色24 6（n﹣2）2
（2）当n=7时，6（n﹣2）2=6×（7﹣2）2=150，所以一面涂色的小正方体有150个。
5.一个正方体表面涂满了红漆，把它切成了216块大小相等的小正方体．在这些小正方体中，没有涂上红漆的小正方体有多少块？
6×6×6=216（块）
6-2=4（块）
4×4×4=64（块）
6.把一个长9厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体表面全部涂上绿色，然后把它切成棱长为1厘米的小正方体。在这些小正方体中，只有一面涂色的有多少块？只有两面涂色的有多少块？
9-2=7 8-2=6 6-2=4
所以只有一面涂色的有：（7×6+7×4+6×4）×2=188（个）
只有两面涂色的有：（7+6+4）×4=68（个）
答：只有一面涂色的有188块，只有两面涂色的有68块。
7.如图所示为一个由小正方体堆成的“塔”。如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？
从上往下看：第一层中有1个正方体，露在外部5个面；
第二层中有3×3=9个小正方体，除了中间一个小正方体一个面也不露之外，其它8个小正方体中，四个顶点处的4个小正方体露出3个面，另外4个只露出2个面；
第三层中有5×5=25个小正方体，中间9个小正方体只露出1个面；四个顶点处的小正方体露出4个面，剩下的25-9-4=12个小正方体都是露出3个面，
所以有3个面露在外部，即3面涂色的小正方体一共有：4+12=16（块）。
答：3面被涂成绿色的小正方体有16块。
棱长（cm）
三面涂色/块
两面涂色/块
一两面涂色/块
没有涂上色/块
共有块数/块
棱等分数
3面涂色的正方体
2面涂色的正方体
1面涂色的正方体
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