初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题优质导学案

这是一份初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题优质导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，重点难点，学习过程，学后反思等内容，欢迎下载使用。

能利用轴对称解决简单的最短路径问题,
体会图形的变化在解决最值问题中的作用.
【重点难点】
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
【学习过程】
自主学习：
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？
二、合作探究：
eq \a\vs4\al(探究点一) 探索最短路径问题
活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC与CB的和最小？

追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？你能用所学的知识证明你的作法正确吗？
eq \a\vs4\al(探究点二) 选址造桥问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)
尝试应用
如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。

四、补偿提高
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．

【学后反思】


参考答案：
探究一、
追问1、
答：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
追问2
答：(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)．

追问3
作法：
(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l 交于点C.
则点C 即为所求．
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知， BC ＝B′C，BC′＝B′C′.
∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′，
AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′.
在△AB′C′中， AB′＜AC′＋B′C′，
∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.
即 AC ＋BC 最短.
探究二、
分析：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．
解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短．
理由如下：如图，点M′为直线a上任意一点(不与点M重合)，
∵线段A′N′是线段AM平移得到的
∴AA′＝MN′，A′N′＝AM
∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′
∵MN平行AA′且MN＝AA′
∴MN可以看作是AA′经过平移得到的
∴A′N＝AM
∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B∴AM＋NB∵MN＝MN′
∴AM＋MN＋NB尝试应用：
1、D；
2、1000；
A
答案如图所示：
P点就是所求做的点
补偿提高
5、思路分析：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到
一点R，使PR与QR 的和最
小”．