2023年高考全国乙卷数学(理)真题（解析版）

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一、选择题
1. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，则.
故选：B.
2. 设集合，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）
A. 24B. 26C. 28D. 30
【答案】D
【解析】如图所示，在长方体中，，，
点为所在棱上靠近点的三等分点，为所在棱的中点，
则三视图所对应的几何体为长方体去掉长方体之后所得的几何体，
该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，
其表面积为：.
故选：D.
4. 已知是偶函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
5. 设O为平面坐标系坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，
则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，
结合对称性可得所求概率.
故选：C.
6. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
7. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种
【答案】C
【解析】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
8. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，，而，取中点，连接，有，如图，
，，由的面积为，得，
解得，于是，
所以圆锥的体积.
故选：B
9. 已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，
又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，
显然平面，于是平面，又平面，
因此平面平面，显然平面平面，
直线平面，则直线在平面内的射影为直线，
从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得，即，
显然是锐角，，
所以直线与平面所成的角的正切为.
故选：C
10. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A. －1B. C. 0D.
【答案】B
【解析】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
11. 设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，则的中点，
可得，
因在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
12. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得
当点位于直线异侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
当点位于直线同侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
二、填空题
13. 已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.
【答案】
【解析】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
14. 若x，y满足约束条件，则的最大值为______.
【答案】8
【解析】作出可行域如下图所示：
，移项得，
联立有，解得，
设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大，
代入得，
故答案为：8.
15. 已知为等比数列，，，则______.
【答案】
【解析】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
16. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：
记，记的样本平均数为，样本方差为．
（1）求，；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
【答案】（1），；
（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【解析】（1），
，
，
的值分别为: ，
故
（2）由（1）知:，，故有,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
18. 在中，已知，，.
（1）求；
（2）若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
19. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面BEF；
（3）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，则，得，
因此，则，有，
又，平面，
则有平面，又平面，所以平面平面.
（3）过点作交于点，设，
由，得，且，
又由（2）知，，则为二面角的平面角，
因为分别为的中点，因此为的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
于是，即有，则，
从而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值为.
20. 已知椭圆的离心率是，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】（1）；（2）证明见详解.
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.
21. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
（3）若在存在极值，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）存在满足题意，理由见解析；（3）.
【解析】（1）当时，，则，
据此可得，
函数在处切线方程为，
即.
（2）由函数的解析式可得，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，即(取等条件为)，
所以，
，且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则单调递减，注意到，
故当时，，从而有，
所以
，
令得，所以，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
四、选做题
【选修4-4】（10分）
22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）.
（1）写出的直角坐标方程；
（2）若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）因为，即，可得，
整理得，表示以为圆心，半径为1的圆，
又因为，
且，则，则，
故.
（2）因为（为参数，），
整理得，表示圆心为，半径为2，且位于第二象限的圆弧，
如图所示，若直线过，则，解得；
若直线，即与相切，则，解得，
若直线与均没有公共点，则或，
即实数的取值范围.
【选修4-5】（10分）
23. 已知.
（1）求不等式的解集；
（2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积.
【答案】（1）；（2）6.
【解析】（1）依题意，，
不等式化为：或或，
解，得无解；解，得，解，得，
因此，所以原不等式的解集为：
（2）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，
由，解得，由, 解得，又，
所以的面积.试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536