2024年 全国甲卷 数学（理）高考真题（含解析）

这是一份2024年 全国甲卷 数学（理）高考真题（含解析），共17页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
（使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，则（ ）
A B. C. 10D.
2. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若实数满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4. 等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
5. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
6. 设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数在区间的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
9. 已知向量，则（ ）
A. “”是“”的必要条件B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”充分条件D. “”是“”的充分条件
10. 设两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：
①若，则或 ②若，则
③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④
11. 在中内角所对边分别，若，，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中，各项系数的最大值是______．
14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比______．
15. 已知，，则______．
16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与差的绝对值不超过的概率是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
（1）填写如下列联表：
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
18. 记为数列的前项和，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为．
19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
20. 设椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
21 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的直角坐标方程；
（2）设直线l：（为参数），若与l相交于两点，若，求的值.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 实数满足．
（1）证明：；
（2）证明：．
参考答案（含解析）
一、选择题
1.【答案】A
【解析】由，则，故选：A
2.【答案】D
【解析】因为，所以，
则，，故选：D
3.【答案】D
【解析】实数满足，作出可行域如图：
由可得，即的几何意义为的截距的，
则该直线截距取最大值时，有最小值，此时直线过点，
联立，解得，即，则.
故选：D.
4.【答案】B
【解析】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
5.【答案】C
【解析】设、、，则，，，则，则.
故选：C.
6.【答案】A
【解析】，
则，即该切线方程为，即，
令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选：A.
7.【答案】B
【解析】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，故可排除D.
故选：B.
8.【答案】B
【解析】因为，所以，，
所以，故选：B.
9.【答案】C
【解析】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
10.【答案】A
【解析】对①，当，因为，，则，
当，因为，，则，
当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；
对②，若，则与不一定垂直，故②错误；
对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，
因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，
同理可得，则，因为平面，平面，则平面，
因为平面，，则，又因为，则，故③正确；
对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误；
综上只有①③正确，
故选：A.
11.【答案】C
【解析】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
12.【答案】C
【解析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.
故选：C
二、填空题
13.【答案】5
【解析】由题展开式通项公式为，且，
设展开式中第项系数最大，则，
，即，又，故，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.
故答案为：5.
14.【答案】
【解析】由题可得两个圆台高分别为，
，
所以.
故答案为：.
15.【答案】64
【解析】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
16.【答案】
【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：，
，故有16种，
当，则，同理有16种，
当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为.
故答案为：.
三、解答题
（一）必考题
17.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；
【解析】（1）根据题意可得列联表：
可得，
因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
18.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以，
故，
所以
，
.
19.【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为为的中点，
所以，四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以平面；
（2）如图所示，作交于，连接，
因为四边形为等腰梯形，，所以，
结合（1）为平行四边形，可得，又，
所以为等边三角形，为中点，所以，
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，
四边形为平行四边形，，
所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，
因为，所以，所以互相垂直，
以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
，设平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，即，令，得，即，
则，即，令，得，
即，，则，
故二面角的正弦值为.
20.【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）设，由题设有且，故，故，故，
故椭圆方程为.
（2）直线的斜率必定存在，设，，，
由可得，
故，故，
又，
而，故直线，故，
所以
，
故，即轴.
21.【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）.
【解析】（1）当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2），
设，
则，
当时，，故在上为增函数，故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.
当，此时在上恒成立；
同理可得上恒成立，不合题意，舍；
综上，.
（二）选考题
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，将代入，
故可得，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为.
（2）对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为.
法1：直线的斜率为，故倾斜角为，故直线的参数方程可设为，.
将其代入中得
设两点对应的参数分别为，则，
且，故，
，解得
法2：联立，得，
，解得，
设,，
则，解得.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 实数满足．
（1）证明：；
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为，
当时等号成立，则，
因为，所以;
（2）
.
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
D
B
C
A
B
B
C
A
C
C
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30