内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗达拉特旗第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗达拉特旗第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每个小题5分，共40分）
1. 复数的虚部为（ ）
A B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算和复数的虚部概念即可.
【详解】，故该复数的虚部为2.
故选：D.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示即可直接求得答案
【详解】由，得，故．
故选：D．
3. 已知，则（ ）
A. 4B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出，再将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因，所以，
所以.
故选：C
4. 设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】对ABD举出反例即可，对C根据线面垂直的性质即可判断.
【详解】对A，若，，则或与异面，故A错误；
对B，若，，则与可能相交、平行或，故B错误；
对C，若，，则，又因为，则，故C正确；
对D，若，，，当 都与的交线平行时，满足题设条件，此时l//m，故D错误.
故选：C.
5. 在上的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，再根据余弦函数的性质计算可得；
【详解】解：，，即，
故函数的值域为；
故选：C.
6. 在中，若，，，则等于（ ）
A B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】解：由正弦定理可得，，，
，，
或，
故选：D
7. 若样本的平均数为10，方差为20，则样本的平均数和方差分别为（ ）
A. 20，35B. 20，40C. 15，75D. 15，80
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数、方差的运算性质进行求解即可.
【详解】由题得样本，的平均数为，方差为．
故选：D
8. 某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有女员工39人，男员工21人，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则所抽取的所有员工的体重的方差为（ ）
A. 29B. 120C. 100D. 112
【答案】B
【解析】
【分析】求出样本平均数，再根据分层抽样方差计算公式求出样本的方差.
【详解】依题意，样本中所有员工的体重的平均值为，
则样本中所有员工体重的方差.
故选：B
二、多选题（共3个小题，每题6分，全选对得6分，部分选对得3分，选错得0分）
9. 某运动员的特训成绩分别为：9，12，8，16，12，16，13，20，18，16，则这组数据的（ ）
A. 极差为12B. 众数为16C. 平均数为14D. 第80百分位数为16
【答案】ABC
【解析】
【分析】按照从小到大的顺序将数据重新排列，再根据极差、众数、平均数、百分位数的定义即可得出结果.
【详解】将数据从小到大排列可得：8，9，12，12，13，16，16，16，18，20；
所以极差为，即A正确；
其中16出现了3次，出现次数最多，所以众数为16，即B正确；
平均数为，即C正确；
因为，所以第80百分位数为第8个和第9个数的平均值，即，即D错误.
故选：ABC
10. 对于复数（，），下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为实数
B. 若，则为纯虚数
C. 若，，则在复平面上对应的点位于第四象限
D. 若，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形的面积为4
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数的概念以及几何意义，结合圆的性质，可得答案.
【详解】对于A，由，，则，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，由，则其在复平面上对应的点为，由，，则该点在第四象限，故C正确；
对于D，，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形为以原点为圆心，以为半径的圆，则其面积，故D错误.
故选：AC.
11. 的内角的对边分别为，则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则有一解
C. 若为钝角三角形，则
D. 若，，则面积的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合在上单调递减，可判定A错误；由正弦定理求得，结合，可判定B错误；若为钝角，得到，可判定C错误；利用余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，由且 ，
根据函数在上单调递减，可得，所以A错误；
对于B中，若，可得，
因为，所以，所以为锐角，可得有两解，所以B错误；
对于C中，若为钝角三角形，可能为钝角，此时，所以C错误；
对于D，若，可得，
所以，当且仅当时，等号成立，所以的面积有最大值，所以D正确．
故选：ABC．
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 已知某班有男生25人，女生20人．为了解该班学生的体质健康情况，按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为9的样本进行调查．若样本按比例分配，则抽取的男生人数为________．
【答案】5
【解析】
【分析】利用比例分配的分层抽样的性质直接求解．
【详解】解：由比例分配的分层抽样得：男生应该抽取的人数为：．
故答案为：5．
13. 在中，内角的对边分别为，且，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理将角化边可得，再由余弦定理得到，即可求出，再由面积公式计算可得.
【详解】由，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，所以，
所以，所以，
所以的面积为.
故答案：
14. 在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三棱锥与长方体的外接球求法求解.
【详解】
由题意可知，可将该三棱锥在长方体中作出，
所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
为外接球的直径，所以,
所以外接球的半径为,
所以三棱锥的外接球的表面积为，
故答案为:.
四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分）
15. 2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式．某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并记录得分（满分：100，所有人的成绩都在内），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值；
（2）估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）、众数及中位数．
【答案】（1）
（2）平均数72分，众数约为75（分），中位数为（分）
【解析】
【分析】（1）由所有频率之和为1列方程即可求解；
（2）由频率分布直方图中平均数、众数以及中位数的计算公式直接计算即可求解.
【小问1详解】
由题意知，即，得．
【小问2详解】
由频率分布直方图可知这100人竞赛成绩的平均数约为
（分）．
众数约为（分）．
前3组的频率为，前4组的频率为，
所以中位数为（分）．
16. 已知直三棱柱中，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先说明，再由得到，即可证明平面，从而得证；
（2）首先证明平面，利用勾股定理求出，再证明平面，最后由锥体的体积公式计算可得.
【小问1详解】
在直三棱柱中，，所以矩形为正方形，
所以，又，，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）可知，又，，
平面，所以平面，
又平面，所以，，
因为，，所以，
又，所以，
又，，，平面，
所以平面，显然平面，
所以.
17. 如图，在直三棱柱中，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求点B到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再证面面垂直即得；
（2）先证明，再利用三棱锥等体积转化即可求得点到平面的距离.
【小问1详解】
在直三棱柱中，底面，因底面，所以，
又，平面,且，则平面，
又平面，故平面平面.
【小问2详解】
因为，所以，
又由（1）知，平面，平面，则，
设点B到平面的距离为d，因为，
即，解得，故点B到平面的距离为．
18. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，且.
（1）求角；
（2）若，的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知根据余弦定理求解，然后根据特殊角的函数值求解即可；
（2）结合完全平方和公式利用余弦定理求得，然后代入三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
由余弦定理，
所以，又，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
因为，由已知得，故，故，
所以.
19. 已知函数的最小正周期为，且当时，取最大值．
（1）求，的值；
（2）若， ，求的值．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】（1）结合三角函数周期的公式，求得的值，再结合题设，得到，即可求解；
（2）由，求得，结合同角三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数的最小正周期为，可得，
又当时，取最大值，可得，即，
即，所以，
因为，所以．
（2）由（1）可得函数，
因为，即，所以，
又，可得，
又由，，
所以．
【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质，三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力.