广西钦州市示范性高中2025届高三上学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份广西钦州市示范性高中2025届高三上学期开学考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z满足，则( )
A.B.1C.D.2
2．下列四个命题中，是真命题的为( )
A.任意，有B.任意，有
C.存在，使D.存在，使
3．若，都为非零向量，且，，则向量，的夹角为( )
A.B.C.D.
4．下列命题中正确的是( )
A.一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
B.对一组数据，如果将它们变为，其中，则平均数和标准差均发生改变
C.有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
D.若随机变量X服从正态分布，，则
5．已知，，动点M满足，则点M的轨迹方程是( )
A.（）B.（）C.（）D.（）
6．函数图象的大致形状是( )
A.B.
C.D.
7．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟教授等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”（命名为“九章”是为了纪念中国古代最早的数学专著《九章算术》），求解数学算法高斯玻色取样只需200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上衰二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽丈，长丈，上棱丈，与平面平行.EF与平面的距离为1丈，则它的体积是( )
A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.8立方丈
8．若，，则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若函数则
A.的最小正周期为10B.的图象关于点对称
C.在上有最小值D.的图象关于直线对称
10．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，过点A作抛物线的切线PA，则下列说法正确的是( )
A.的最小值为4
B.当时，
C.以线段为直径的圆与直线相切
D.当最小时，切线与准线的交点坐标为
11．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先关于x轴对称，然后再向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.函数为奇函数
D.函数在区间上单调递增
三、填空题
12．已知等差数列的前n项和为，若，，则________.
13．已知角的终边过点，则________.
四、双空题
14．某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序.则第一局比赛高一获胜的概率为________，在一场比赛中高一获胜的概率为________.
五、解答题
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）D是线段上的点，且，，求的面积.
16．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围.
17．如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点F，连接AF.
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.
18．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.
（1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
19．牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设r是的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，与x轴的交点为横坐标为，称为r的1次近似值，过点作曲线的切线，与x轴的交点为横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，过点作曲线的切线，与x轴的交点为横坐标为，就称为r的次近似值，称数列为牛顿数列.
（1）若的零点为r，，请用牛顿切线法求r的2次近似值；
（2）已知二次函数有两个不相等的实数根b，，数列为的牛顿数列，数列满足，且.
（ⅰ）设，求的解析式；
（ⅱ）证明：
参考答案
1．答案：C
解析：，则
故选C
2．答案：C
解析：由于对任意，都有，因而有，故A为假命题.
由于，当时，不成立，故B为假命题.
由于，当时，，故C为真命题.
由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题.
故选C
3．答案：D
解析：因为，，
所以，
化简得，所以
所以
因为，所以.
故选:D.
4．答案：D
解析：对于A，数据1，2，3，3，4，5的众数是3，中位数是，众数等于中位数，故A错误；
对于B，数据，如果将它们变为，其中，则平均数增加C，标准差不变，故B错误；
对于C，有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为，故C错误；
对于D，若随机变量x服从正态分布，
，则，故D正确.
故选:D.
5．答案：A
解析：
点，，，
又动点M满足
点M的轨迹方程是射线:，故选A
6．答案：B
解析：依题意，函数的定义域为R，
即函数是R上的奇函数，其图象关于原点对称，选项A，C不满足；
当时，，，即有，选项D不满足，B符合题意.
故选:B.
7．答案：B
解析：如图，过点E作平面，垂足为G，过点F作平面，垂足为H，过G作，交于Q，交于P，过H作
，交于N，交于M，
所以，，且四边形与四边形都是矩形，
所以它的体积
故选:B.
8．答案：C
解析：由，，消去c得到，
令，.则，即，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
故选:C.
9．答案：AD
解析：函数，
的最小正周期为，A选项正确；
，B选项错误；
，，
在上没有最小值，C选项错误；
，的图象关于直线对称，
D选项正确.
故选:AD.
10．答案：ACD
解析：对于A，依题意可设直线的方程为，，，，则，，
联立，消x整理得
则，代入得，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4，故A正确；
对于B，结合A可得，，
由，得，解得，，故B错误；
对于C，由题意得抛物线的准线方程为，焦点，
设A，B，M在准线上的射影为，，，
，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故C正确；
对于D，结合A可得，当最小时，不妨取
则可设切线的方程为，联立，消x整理得，则，解得，所以切线的方程为，联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故D正确.
故选:ACD.
11．答案：AD
解析：根据函数的部分图象，
可得，，
对于A选项，，，故A正确，
所以，则
对于B选项，由，得到的对称轴为，
显然不是其对称轴，故，故B错误，
对于C选项，函数显然不是奇函数，故C错误；
对于D选项，，的递增区间即的递减区间，
令，
解得，故的递增区间是，当时，的递增区间是，而，故D正确.
故选:AD.
12．答案：16
解析：设等差数列的公差为d，则解得
所以
13．答案：
解析：角的终边过点，
，则
故答案为:
14．答案：；
解析：设为高一出场选手，为高二出场选手，其中i表示段位，则第一局比赛中，共有个基本事件，其中高一能取得胜利的基本事件为，，共3个，所以第一局比赛高一获胜的概率为；
在一场三局比赛中，共有不同的种安排方法，
其中高一能获胜的安排方法为:
，，，，，，
故在一场比赛中高一获胜的概率为.
故答案为:；.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，由正弦定理得.
因为，所以，所以，
即.
因为，所以，即.
（2）设，因为，所以.
因为，所以，，，
在中，由正弦定理可知，
即，
即，
化简可得，即，，
所以.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）当时，函数，求导得，则，
而，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）函数的定义域为，
求导得，
当时，，由，得，由，得，
则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意；当时，由，得或，
①若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
②若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
③若，即，由在上恒成立，得在上递增，
函数无极值，不合题意，
所以a的取值范围为.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）四边形为矩形，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
又平面，.
，点E是的中点，.
又，平面，平面.
平面，.
又，，平面，平面，
平面，.
（2）如图，因AB，AD，AP两两垂直，
故可以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，.
由（1）可知，可看成平面的一个法向量，
可看成平面的一个法向量.
设平面与平面的所成角为，
，，
平面与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）①0.16；②；
（2）答案见解析
解析：（1）①记“甲获得第四名”为事件A，则；
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X，
则X的所有可能取值为2，3，4，
连败两局：，
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，
；
故X的分布列如下：
故数学期望；
（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，
由，且
所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，两种赛制甲夺冠的概率一样.
19．答案：（1）；
（2）（ⅰ）；（ⅰⅰ）证明见解析
解析：（1），
，，，所以
当，，，所以
当，
所以r的2次近似值为.
（2）（ⅰ）因为二次函数有两个不等实根b，c，
所以不妨设，
则，
因为，所以
所以在横坐标为的点处的切线方程为，
令，则
即，
所以.
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知，
所以.
因为，，所以，所以.
令，则，又
所以，数列是公比为2的等比数列.
.
令，则
当时，，所以在单调递减，
所以，即，
因为，所以，即.
.
X
2
3
4
P