高三开学学情调研卷02（零模）-【学情调研】2024年高三数学秋季开学考试（安徽专用）

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1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A=−1,a,a+2,B=yy=x2−2x,x∈A，若A∪B=A，则a=（ ）
A．3B．2C．1D．1或3
2．复数z满足iz=1（i为虚数单位），则z−4+3i的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．已知sinα+π5=45，则sin2α−π10=（ ）
A．42125B．−42125C．725D．−725
4．2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有A、B、C、D、E五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是A、B、C三位同学，但A不是第一名，D、E两名同学只知道在6至9名，且D的成绩比E好，则这5位同学总分名次有多少种可能（ ）
A．6B．12C．24D．48
5．已知f(x)=13x3+x2+ax，则若f'(1)=6，则a=（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱的组合体，其中圆柱的底面半径为2，圆锥与圆柱的高均为2，若该陀螺是由一个球形材料削去多余部分制成，则该球形材料的体积的最小值为（ ）
A．8πB．64π3C．32πD．125π6
7．已知△ABC角A、B、C的对边分别为a、b、c满足2ba−c=sinA+sinCsinB，则角B的最大值为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．2π3
8．已知x1,x2是方程e−x+2=lnx的两个解，则（ ）
A．0C．1二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线l1:ax−y−a+3=0,l2:x+ay+a+2=0,l3:kx−y=0，其中a,k为常数，l1与l2的交点为M，则（ ）
A．对任意实数a,l1⊥l2B．不存在点P，使得PM为定值
C．存在a，使得点M到原点的距离为3D．M到l3的最大距离为5+52
10．已知数列{an}满足：an+1=an2+2an+λ (n∈N∗)，其中λ∈R，下列说法正确的有（ ）
A．当a1=2,λ=54时，an≥n+1
B．当λ∈[14,+∞)时，数列{an}是递增数列
C．当λ=−2时，若数列an是递增数列，则a1∈(−∞,−3)∪(1,+∞)
D．当a1=3,λ=0时，1a1+2+1a2+2+⋯+1an+2<13
11．如图，在正三棱锥P−ABC中，PB=2AC=26，D,E分别是棱AC,PB的中点，M是棱PC上的任意一点，则下列结论中正确的是（ ）

A．PB⊥AC
B．异面直线DE与AB所成角的余弦值为13
C．AM+MB的最小值为42
D．三棱锥P−ABC内切球的半径是521−110
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，且当x<0时，fx=e−2x．则fln2= ．
13．一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是 ．
14．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以点F2为圆心且与双曲线渐近线相切的圆与该双曲线在第一象限交于点A，若AF1的中点为B，且∠OBF2=π2，则双曲线的离心率为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从A,B,C三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.（例如：5人中2人选A,2人选B,1人选C，则选择C的人获奖；5人中3人选A,1人选B,1人选C，则选择B和C的人均获奖；如A,B,C中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖）
(1)若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率；
(2)设每组5人中获奖人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(3)商家提供方案2：将A,B,C三个字母改为A和B两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方案2？
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinC=sinA−B.
(1)求A；
(2)如图，D为△ABC的外接圆O的BMC上一动点（含端点），c=2b=2.
（ⅰ）求AD的取值范围；
（ⅱ）当AD=AB且点B,D不重合时，求BD.
17．（15分）如图，在三棱锥P－ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．
(1)求证：BE⊥平面PAC；
(2)求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角的余弦值．
18．（17分）已知F1,F2分别是椭圆C:x24+y22=1的左､右焦点，M,N是C上位于x轴上方的两点，MF1∥NF2，且MF2与NF1的交点为P．
(1)求四边形MF1F2N的面积S的最大值；
(2)证明：PF1+PF2为定值．
19．（17分）已知曲线C:fx=ex−xex在点A1,f1处的切线为l．
(1)求直线l的方程；
(2)证明：除点A外，曲线C在直线l的下方；
(3)设fx1=fx2=t,x1≠x2，求证：x1+x2<2t−te−1．