重庆市一中2023-2024学年数学八上期末学业质量监测试题【含解析】

这是一份重庆市一中2023-2024学年数学八上期末学业质量监测试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了若点与点关于轴对称，则的值是，下列各组数是勾股数的是等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，A、C是函数的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D．记的面积为，的面积为，则和的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．由A、C两点的位置确定
2．如图，设k＝（a＞b＞0），则有（ ）
A．k＞2B．1＜k＜2C．D．
3．学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加绘画兴趣小组的频率是（ ）
A．0.1B．0.15
C．0.25D．0.3
4．若点与点关于轴对称，则的值是（ ）
A．－2B．－1C．0D．1
5．如图，∠AOB＝10°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝1．若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．12B．9C．6D．1
6．如图，已知，添加一个条件，使得，下列条件添加错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A．B．C．D．
8．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．0.3，0.4，0.5
C．6，8，10D．5，11，12
9．若a＞b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a+2＞b+2B．-3a＜-3bC．a2＞b2D．1-4a＜1-4b
10．如图，中，，的垂直平分线交于，交于，平分，则的度数为（ ）
A．30°B．32°C．34°D．36°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．比较大小：2_____1．（填“＞”、“＜”或“＝”号）
12．若时，则的值是____________________．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为_____．
14．如图，在中，，点是边上一动点（不与点重合），过点作的垂线交于点，点与点关于直线对称，连接，当是等腰三角形时，的长为__________．
15．若一次函数(为常数)的图象经过点(，9)，则____．
16．如图，在中，BD平分，于点F,于点E，若，则点D到边AB的距离为_____________.
17．点与点关于_________对称.（填“轴”或“轴”）
18．的算术平方根为________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD=BE，∠C=∠F，BC∥EF.
求证：（1）△ABC≌DEF；（2）AC∥DF
20．（6分）在平面直角坐标系网格中，格点A的位置如图所示：
（1）若点B坐标为（2，3），请你画出△AOB；
（2）若△AOB与△A′O′B′关于y轴对称，请你画出△A′O′B'；
（3）请直接写出线段AB的长度．
21．（6分）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在轴的的正半轴上，连接，且，．
（1）求点的坐标；
（2）将纸片折叠，使点与点重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积；
（3）求所在直线的函数表达式，并求出对角线与折痕交点的坐标．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B=65°，求∠NMA的度数；
（2）连接MB，若AC＝12 cm，BC= 8 cm．
①求△MBC的周长；
②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由；
③设D为BC的中点．求证：．
23．（8分）如图，点，在的边上，，.求证：.
24．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC=18cm，BC=10cm，AD=2BD．
（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
25．（10分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网络，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，选取一个涂上阴影，使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
26．（10分）金堂县在创建国家卫生城市的过程中，经调查发现居民用水量居高不下，为了鼓励居民节约用水，拟实行新的收费标准．若每月用水量不超过12吨，则每吨按政府补贴优惠价元收费；若每月用水量超过12吨，则超过部分每吨按市场指导价元收费．毛毛家家10月份用水22吨，交水费59元；11月份用水17吨，交水费1．5元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场指导价分别是多少元？
（2）设每月用水量为吨，应交水费为元，请写出与之间的函数关系式；
（3）小明家12月份用水25吨，则他家应交水费多少元？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=k|．
【详解】由题意得：S1=S2=|k|=．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想．
2、C
【解析】由题意可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，即.
故选C.
3、D
【解析】∵根据频率分布直方图知道绘画兴趣小组的频数为12，∴参加绘画兴趣小组的频率是12÷40=0.1．
4、D
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴，，
解得：m＝3，,n＝−2，
所以m＋n＝3−2＝1，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
5、D
【分析】根据题意，作点P关于OA、OB的对称点E、D，连接DE，与OA相交于点M，与OB相交于点N，则此时△PMN周长的最小值是线段DE的长度，连接OD、OE，由∠AOB＝10°，得到∠DOE=60°，由垂直平分线的性质，得到OD=OE=OP=1，则△ODE是等边三角形，即可得到DE的长度．
【详解】解：如图：作点P关于OA、OB的对称点E、D，连接DE，与OA相交于点M，与OB相交于点N，则此时△PMN周长的最小值是线段DE的长度，连接OD、OE，
由垂直平分线的性质，得DN=PN，MP=ME，OD=OE=OP=1，
∴△PMN周长的最小值是：PN+PM+MN=DN+MN+ME=DE，
由垂直平分线的性质，得∠DON=∠PON，∠POM=∠EOM，
∴∠DOE=∠DOP+∠EOP=2（∠PON+∠POM）=2∠MON=60°，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE=OD=OE=1，
∴△PMN周长的最小值是：PN+PM+MN=DE=1；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定，垂直平分线的性质，轴对称的性质，以及最短路径问题，解题的关键是正确作出辅助线，确定点M、N的位置，使得△PMN周长的最小．
6、B
【分析】根据三角形全等的判定定理添加条件即可．
【详解】若添加，则可根据“AAS”判定两三角形全等；
若添加，则有两组对应边相等，但相等的角不是夹角，不能判定两三角形全等；
若添加，则可根据“SAS”判定两三角形全等；
若添加，则可根据“ASA”判定两三角形全等；
故选：B
【点睛】
本题考查的是判定两个三角形全等的条件，需要注意的是，当两边对应相等，但相等的角不是夹角时，是不能判定两个三角形全等的．
7、B
【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴因此.
【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选B.
【点睛】
考核知识点：轴对称图形识别.
8、C
【分析】根据勾股定理和勾股数的概念，逐一判断选项，从而得到答案．
【详解】A、∵12+22≠32，
∴这组数不是勾股数；
B、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，
∴这组数不是勾股数；
C、∵62+82＝102，
∴这组数是勾股数；
D、∵52+112≠122，
∴这组数不是勾股数．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查勾股数的概念，掌握“若，且a，b，c是正整数，则a，b，c是勾股数”是解题的关键．
9、C
【分析】根据不等式的性质逐项判断即得答案．
【详解】解：A、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项结论成立，不符合题意；
B、若a＞b，则﹣3a＜﹣3b，故本选项结论成立，不符合题意；
C、若a＞b≥0，则a2＞b2，若0≥a＞b，则a2＜b2，故本选项结论不一定成立，符合题意；
D、若a＞b，则1－4a＜1－4b，故本选项结论成立，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，属于常考题型，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
10、D
【分析】根据，则∠ABC=∠C，由垂直平分线和角平分线的性质，得到∠ABC=∠C=2∠A，根据三角形内角和定理，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴∠ABC=∠C，
∵平分，
∴，
∵DE垂直平分AB，
∴，
∴∠ABC=∠C=2∠A，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，
∴，
∴.
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形性质、线段垂直平分线性质的应用，以及角平分线的性质.注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、＜
【解析】先把2化为的形式，再比较出与的大小即可．
【详解】∵2＝，1＝，12＜16，
∴＜，即2＜1．
故答案为＜．
【点睛】
本题考查的是实数的大小比较，先根据题意把2化为的形式是解答此题的关键．
12、-1
【分析】先根据整式的乘法公式进行化简，再代入x即可求解．
【详解】
=
=
把代入原式=-2+1=-1
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的运算法则．
13、1；
【解析】分析：根据辅助线做法得出CF⊥AB，然后根据含有30°角的直角三角形得出AB和BF的长度，从而得出AF的长度．
详解：∵根据作图法则可得：CF⊥AB， ∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8， ∵∠CFB=90°，∠B=10°， ∴BF=BC=2，
∴AF=AB－BF=8－2=1．
点睛：本题主要考查的是含有30°角的直角三角形的性质，属于基础题型．解题的关键就是根据作图法则得出直角三角形．
14、或
【分析】由勾股定理求出BC，分两种情况讨论：
（1）当 ，根据等腰直角三角形的性质得出BF的长度，即可求出BD的长；
（2）当 ，根据 求出BF的长度，即可求出BD的长．
【详解】∵等腰 中，
∴
分两种情况
（1）当，
∴
∴
∴
∵直线l垂直平分BF
∴
（2）当，
∵直线l垂直平分BF
∴
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了三角形线段长的问题，掌握勾股定理以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
15、1
【分析】把点(，9)代入函数解析式，即可求解．
【详解】∵一次函数(为常数)的图象经过点(，9)，
∴，解得：b=1，
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征，掌握待定系数法，是解题的关键．
16、5
【分析】根据角平分线的性质定理，即可求解.
【详解】∵在中，BD平分，于点F，于点E，
∴DE=DF=5,
∴点D到边AB的距离为5.
故答案是:5
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键.
17、轴
【解析】两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，那么过这两点的直线平行于x轴，两点到y轴的距离均为11，由此即可得出答案.
【详解】∵两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，
∴点A(11，12)与点B(-11，12)关于y轴对称，
故答案为：y轴.
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟知“横坐标相等，纵坐标互为相反数的两点关于x轴对称；横坐标互为相反数，纵坐标相等的两点关于y轴对称”是解题的关键.
18、
【分析】根据算术平方根的概念，可求解.
【详解】因为（±）2=,
∴的平方根为±,
∴算术平方根为,
故答案为
【点睛】
此题主要考查了求一个数的算术平方根，关键是明确算术平方根是平方根中的正值.
三、解答题(共66分)
19、 (1)证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】(1)根据两直线平行,同位角相等,可求证∠CBA=∠FED,再根据线段和差关系证明AB=DE,然后利用AAS可判定△ABC≌△DEF.
(2)利用全等三角形的性质可证得: ∠A=∠EDF,然后根据同位角相等两直线平行可判定AC∥DF.
【详解】(1)∵BC∥EF,
∴∠CBA=∠FED,
∵AD=BE,
∴AB=DE,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF,
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠EDF,
∴AC∥DF.
20、（1）见解析；（2）见解析；（3）AB＝．
【分析】（1）根据点A、O、B的坐标，顺次连接即可得△AOB；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征可得出A′、B′、O′的坐标，顺次连接A′、O′、B′即可得△A′O′B'；
（3）利用勾股定理求出AB的长即可．
【详解】（1）如图所示，△AOB即为所求；
（2）∵△AOB与△A′O′B′关于y轴对称，
∴A′（-3，2），B′（-2，3），O′（0，0），
如图所示，△A′O′B'即为所求；
（3）AB＝＝．
【点睛】
本题考查了作图-轴对称变换，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题关键．
21、（1）A（8，0），C（0，4）；（2）10；（3）y=2x-6，（4，2）
【分析】（1）设OC=a，则OA=2a，在直角△AOC中，利用勾股定理即可求得a的值，则A和C的坐标即可求得；
（2）重叠部分是△CEF，利用勾股定理求得AE的长，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）根据（1）求得AC的表达式，再由（2）求得E、F的坐标，利用待定系数法即可求得直线EF的函数解析式，联立可得点D坐标.
【详解】解：（1）∵，
∴设OC=a，则OA=2a，
又∵，即a2+（2a）2=80，
解得：a=4，
则A的坐标是（8，0），C的坐标是（0，4）；
（2）设AE=x，则OE=8-x，如图，
由折叠的性质可得：AE=CE=x，
∵C的坐标是（0，4），
∴OC=4，
在直角△OCE中，42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴CF=AE=5，
则重叠部分的面积是：×5×4=10；
（3）设直线EF的解析式是y=mx+n，
由（2）可知OE=3，CF=5，
∴E（3，0），F（5，4），
∴，
解得：，
∴直线EF的解析式为y=2x-6，
∵A（8，0），C（0，4），
设AC的解析式是：y=px+q，
代入得：，
解得，
∴AC的解析式是：，
联立EF和AC的解析式：，
解得：，
∴点D的坐标为（4，2）.
【点睛】
本题为一次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及方程思想等知识．在（1）中求得A、C的坐标是解题的关键，在（2）中求得CF的长是解题的关键，在（3）中确定出E、F的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
22、（1）；（2）①△MBC的周长为20cm；②点P位置见解析，最小值为12cm；理由见解析；③证明见解析．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠A的度数，再根据直角三角形的性质求解即可；
（2）①根据线段垂直平分线的性质可得AM=BM，再根据三角形的周长和线段间的等量关系解答即可；
②由于点B、A关于直线MN对称，所以AC与MN的交点即为所求的点P，于是PB+CP的最小值即为AC的长，据此解答即可；
③方法一：如图1，取AC中点G，连接GD，根据三角形的中位线定理可得GD∥AB，GD=BN，进而可得∠A=∠DGC，在△GDM中，根据等腰三角形的性质和角的代换可得∠GMD＞∠DGM，进一步即可证得结论；方法二：如图2，延长MD至H，使DH=DM，连接BH，根据SAS可证△MDC≌△HDB，可得BH=MC，然后根据三角形的三边关系和线段间的等量关系可得AC＞2DM，进一步即可证得结论．
【详解】（1）解：∵ AB=AC，
∴∠ABC=∠C=65°，
∴，
∵MN⊥AB，∴∠ANM=90°，
∴；
（2）解：①由MN垂直平分AB得：AM=BM，
于是△MBC的周长=BM+MC+BC=AM+MC+BC=AC+BC=12+8=20(cm)；
②解：∵点B、A关于直线MN对称，所以AC与MN的交点M即为PB+CP值最小时的点P，如图，
且最小值为AC=12cm；
③证明：方法一：如图1，取AC中点G，连接GD，
则GD∥AB，且，
∴∠A=∠DGC，
在△ABC中，AB=AC=12，BC=8，
∴AB＞BC，
∴∠C＞∠A，
在△GDM中，DM所对的角为∠DGM=∠A，
DG所对的角为∠GMD=∠C+∠MDC＞∠A，
即∠GMD＞∠DGM，
∴GD＞DM，即MD＜BN；
方法二：如图2，延长MD至H，使DH=DM，连接BH，
∵DH=DM，∠MDC=∠HDB，CD=BD，
∴△MDC≌△HDB(SAS)，
∴BH=MC，
在△BHM中，BH+BM＞HM，即MC+AM＞2DM，
∴AC＞2DM，即2BN＞2DM，
∴DM＜BN．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、求两线段的最小值以及三角形的边角关系等知识，综合性较强、但难度不大，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
23、证明见解析
【分析】先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形全等的判定定理得出，最后根据三角形全等的性质即可得证．
【详解】
（等边对等角）
在和中，
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质，熟记各性质和判定定理是解题关键．
24、（1）①△BPD与△CQP全等，理由见解析；②当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；（2）经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．
【分析】（1）①由“SAS”可证△BPD≌△CQP；
②由全等三角形的性质可得BP=PC=BC=5cm，BD=CQ=6cm，可求解；
（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，列出方程可求解．
【详解】解：（1）①△BPD与△CQP全等，
理由如下：∵AB=AC=18cm，AD=2BD，
∴AD=12cm，BD=6cm，∠B=∠C，
∵经过2s后，BP=4cm，CQ=4cm，
∴BP=CQ，CP=6cm=BD，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵△BPD与△CQP全等，∠B=∠C，
∴BP=PC=BC=5cm，BD=CQ=6cm，
∴t=，
∴点Q的运动速度=cm/s，
∴当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；
（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，
由题意可得：x﹣2x=36，
解得：x=90，
点P沿△ABC跑一圈需要（s）
∴90﹣23×3=21（s），
∴经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
25、见解析
【分析】直接利用中心对称图形的性质分析即可得解.
【详解】根据题意，如图所示：
【点睛】
此题主要考查对中心图形的理解，熟练掌握，即可解题.
26、（1）每吨水的政府补贴优惠价和市场指导价分别是2元、3.5元；（2）；（3）69.5
【分析】（1）根据题意列出方程组，求解此方程组即可；
（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系，注意自变量的取值范围；
（3）根据小明家的用水量判断其在哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可．
【详解】解：（1）由题可得，
解得：，
∴每吨水的政府补贴优惠价和市场指导价分别是2元、3.5元；
（2）①当时，，
②当时，，
综上：；
（3）∵，
∴
答：他家应交水费69.5元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用及一次函数的应用，明确题意正确找出数量关系是解题关键，同时在求一次函数表达式时，此函数是一个分段函数，注意自变量的取值范围．