重庆市育才成功学校2023年八年级数学第一学期期末联考试题【含解析】

这是一份重庆市育才成功学校2023年八年级数学第一学期期末联考试题【含解析】，共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，是同类二次根式的是，下列运算正确的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．如图，在▱ABCD中，AB=2.6，BC=4，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，则DE的长为（ ）
A．2.6B．1.4C．3D．2
3．式子中x的取值范围是（ ）
A．x≥1且x≠2B．x＞1且x≠2C．x≠2D．x＞1
4．是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．入冬以来，我校得流行性感冒症状较重，据悉流感病毒的半径为0.000000126，请把0.000000126用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=7，点E在边BC上，并且CE=2，点F为边AC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是( )
A．0.5B．1C．2D．2.5
7．已知A、B两地相距12km,甲、乙两人沿同一条公路分别从A、B两地出发相向而行,甲, 乙两人离B地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系图象如图所示, 则两人在甲出发后相遇所需的时间是（）
A．1.2hB．1.5hC．1.6hD．1.8h
8．下列运算正确的是( )
A．B．C．D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．的立方根不存在
C．点在第四象限D．是一组勾股数
10．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤和周长相等．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．若3x=15，3y=5，则3x-y等于（ ）
A．5B．3C．15D．10
12．某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一次函数y=7－4x和y=1－x的图象的交点坐标为（2，-1），则方程组的解为_______．
14．在中，，，边上的高为，则的面积为______．
15．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________．
16．如图，在中，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则周长的最小值是__________
17．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD,则∠ABD= ___________°．
18．实数，，，，中，其中无理数出现的频数是______________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知：．求作：，使≌．（要求：不写做法，但保留作图痕迹）
20．（8分）先化简，再求值：，其中a=1．
21．（8分）列方程解应用题：
某校八年级（一）班和（二）班的同学，在双休日参加修整花卉的实践活动．已知（一）班比（二）班每小时多修整2盆花，（一）班修整66盆花所用的时间与（二）班修整60盆花所用时间相等．（一）班和（二）班的同学每小时各修整多少盆花？
22．（10分）如图1，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴于点C，且OB：OC＝3：1
（1）求直线BC的解析式；
（2）直线y＝ax﹣a（a≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使S△BDE＝S△BDF？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它的坐标；如果会发生变化，请说明理由．
23．（10分）已知：如图，为线段上一点，，，．
求证：．
24．（10分）尺规作图：已知，在内求作一点P，使点P到A的两边AB、AC的距离相等，且PB=PA（保留作图痕迹）．
25．（12分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠C＝30°，求证：DC＝DB．
26．把下列多项式分解因式：
（1）
（2）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．
【详解】解：连接AB，
根据题意得：OB=OA=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故选C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．
2、B
【分析】由平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，可证得△BCE是等腰三角形，继而利用DE=CE-CD，求得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
．
平分，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，能证得△BCE是等腰三角形是解此题的关键．
3、A
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】根据题意得x−1⩾0且x−2≠0
解得：x⩾1且x≠2.
故选A.
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟悉掌握条件是关键.
4、A
【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可．
【详解】解：A、＝4，与 被开方数相同，是同类二次根式；
B、＝2 ，与 被开方数不同，不是同类二次根式；
C、＝，与 被开方数不同，不是同类二次根式；
D、，与 被开方数不同，不是同类二次根式．
故选：A．
【点睛】
此题考查的是同类二次根式的判断，掌握同类二次根式的定义是解决此题的关键．
5、B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000000126=1.26×10-1．
故选：B．
【点睛】
此题考查科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6、A
【分析】如图所示：当PE⊥AB．由翻折的性质和直角三角形的性质即可得到即可．
【详解】如图所示：当PE⊥AB，点P到边AB距离的值最小．
由翻折的性质可知：PE=EC=1．
∵DE⊥AB，
∴∠PDB=90°．
∵∠B=30°，
∴DE=BE= (7﹣1)=1.2，
∴点P到边AB距离的最小值是1.2﹣1=0.2．
故选：A．
【点睛】
此题参考翻折变换（折叠问题），直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
7、C
【解析】先根据图象求出甲、乙两人的s与t的函数关系式，再联立求出交点坐标即可得出答案．
【详解】设甲的s与t的函数关系式为
由图象可知，点、在的图象上
则，解得
故甲的s与t的函数关系式为
设乙的s与t的函数关系式为
由图象可知，点、在的图象上
则，解得
故乙的s与t的函数关系式为
联立，解得
即两人在甲出发后相遇所需的时间为
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，依据图象求出甲、乙两人的s与t的函数关系式是解题关键．
8、C
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则和幂的乘方法则逐项判断即可.
【详解】解：A. ，故错误；
B. ，故错误；
C. ，正确，
D. ，故错误；
故选C.
【点睛】
本题考查了合并同类项，同底数幂乘除法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．
9、C
【分析】根据最简二次根式的定义、立方根的性质、坐标和象限的关系、勾股定理即可判断结果.
【详解】解：A、=，不是最简二次根式，故选项不符合；
B、的立方根是，故选项不符合；
C、点在第四象限，正确，故选项符合；
D、，不是勾股数，故选项不符合；
故选C.
【点睛】
本题考查了最简二次根式、立方根、坐标和象限、勾股数，解题的关键是正确理解对应概念，属于基础题.
10、C
【分析】由三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明和全等，判断出②正确，根据②得到，进而证明，判断出③正确，由为任意三角形，判断④⑤错误，问题得解．
【详解】解：是的中线，
，
∵和底边BD，CD上高相同，
和面积相等，故①正确；
在和中，
，
，故②正确；
，
，故③正确；
由为任意三角形，故④⑤错误．
故选：．
【点睛】
本题考查了等底等高的三角形的面积相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
11、B
【解析】试题分析：3x－y=3x÷3y=15÷5=3；
故选B.
考点：同底数幂的除法.
12、D
【分析】根据津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元可列方程组．
【详解】设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，
则所列方程组为，
故选D．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】一次函数的交点坐标即是两个一次函数解析式组成的方程组的解，由此即可得到方程组的解.
【详解】∵一次函数y=7－4x和y=1－x的图象的交点坐标为（2，-1），
∴方程组的解为，
故答案为：.
【点睛】
此题考查两个一次函数的交点坐标与方程组的解的关系，正确理解方程组与依次函数的关系是解题的关键.
14、36或1
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况分别求出BC的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵边上的高为8cm，
∴AD=8cm，
∵AC=17cm，
由勾股定理得：
cm，
cm，
如图1，点D在边BC上时，
BC=BD+CD=6+15=21cm，
∴△ABC的面积==×21×8=1cm2，
如图2，点D在CB的延长线上时，
BC= CD−BD=15−6=9cm，
∴△ABC的面积==×9×8=36 cm2，
综上所述，△ABC的面积为36 cm2或1 cm2，
故答案为：36或1．
【点睛】
本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．
15、且
【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
【详解】解关于x的方程得x＝m＋6，
∵x−2≠0，解得x≠2，
∵方程的解是正数，
∴m＋6＞0且m＋6≠2，
解这个不等式得m＞−6且m≠−1．
故答案为：m＞−6且m≠−1．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点．
16、1
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP＋BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
【详解】∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
连接AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP＋BP的值最小，最小值等于AC的长，
∴△ABP周长的最小值是4＋3＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，轴对称−最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
17、1
【解析】∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，
∴∠A=∠C=1°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=1°；
故答案是1．
18、
【解析】根据题意可知无理数有：和π，因此其出现的频数为2.
故答案为2.
三、解答题（共78分）
19、见解析
【分析】作射线，在射线上截取，然后分别以、为圆心，以、BC为半径画弧,两弧交于点,连接、 ．则 即为所求．
【详解】解：如图， 即为所求．
【点睛】
本题考查了利用全等三角形的判定进行作图，属于常见题型，熟练掌握全等三角形的的判定和基本的尺规作图方法是解题关键．
20、，．
【分析】先将分式的除法转化为乘法，即可化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
=
=，
当a=1时，原式==．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21、（一）班同学每小时修整22盆花，（二）班同学每小时修整20盆花．
【分析】根据等量关系：工作时间=工作总量÷工作效率，根据关键句“（一）班修整66盆花所用的时间与（二）班修整60盆花所用时间相等”可列出方程；
【详解】解：设（一）班每小时修整x盆花， 则（二）班每小时修整x-2盆花，
根据题意得：

解得：x=22
经检验：x=22是原分式方程的解.
∴x-2=20
答：（一）班同学每小时修整22盆花，（二）班同学每小时修整20盆花.
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
22、（1）y＝3x+6；（2）存在，a＝；（3）K点的位置不发生变化，K（0，﹣6）
【分析】（1）首先确定B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）由S△BDF＝S△BDE可知只需DF＝DE，即D为EF中点，联立解析式求出E、F两点坐标，利用中点坐标公式列出方程即可解决问题；
（3）过点Q作QC⊥x轴，证明△BOP≌△PCQ，求出AC＝QC，即可推出∠QAC＝∠OAK＝45°，即可解决问题.
【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+b与x轴交于A（6，0），
∴0＝﹣6+b，解得：b＝6，
∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+6，
∴B（0，6），
∴OB＝6，
∵OB：OC＝3：1，
∴OC＝2，
∴C（﹣2，0）
设直线BC的解析式是y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的解析式是：y＝3x+6；
（2）存在．
理由： ∵S△BDF＝S△BDE，
∴只需DF＝DE，即D为EF中点，
∵点E为直线AB与EF的交点，
联立，解得：，
∴点E（，），
∵点F为直线BC与EF的交点，
联立，解得：，
∴点F（，），
∵D为EF中点，
∴，
∴a＝0（舍去），a＝，
经检验，a＝是原方程的解，
∴存在这样的直线EF，a的值为；
（3）K点的位置不发生变化．
理由：如图2中，过点Q作QC⊥x轴，设PA＝m，
∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°，
∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，
∴∠OPB＝∠PQC，
∵PB＝PQ，
∴△BOP≌△PCQ（AAS），
∴BO＝PC＝6，OP＝CQ＝6+m，
∴AC＝QC＝6+m，
∴∠QAC＝∠OAK＝45°，
∴OA＝OK＝6，
∴K（0，﹣6）．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解分式方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23、详见解析
【分析】由题意利用平行线性质和直接利用全等三角形的判定方法得出△ABC≌△ECD，即可得出答案．
【详解】证明：
，
在和中，
（全等三角形的对应角相等），
（等量代换）．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
24、作图见解析．
【分析】由P到∠A的两边AB、AC的距离相等，根据角平分线的性质得到P点在∠CAB的角平分线上，由PB=PA，根据垂直平分线的性质得到点P在AB的垂直平分线上．
【详解】解：作∠CAB的角平分线AD，再作AB的垂直平分线MN，
AD与MN的交点即为P点．
如图：
【点睛】
本题考查作角平分线和作垂直平分线．理解角平分线上的点到角两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．
25、见解析
【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线BD；
（2）证明∠C=∠CBD即可；
【详解】解：（1）射线BD即为所求；
（2）∵∠A=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=90°﹣30°=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABC=30°，
∴∠C=∠CBD=30°，
∴DC=DB．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，等腰三角形的判断等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.
26、（1）；（2）
【分析】（1）提取公因式后用平方差公式分解即可.
（2）提取公因式后用完全平方公式分解即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】
本题考查的是分解因式，掌握分解因式的方法：提公因式法及公式法是关键.