新高考数学一轮复习 讲与练第3练 均值不等式及其应用（2份打包，原卷版+解析版）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知正实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
2．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式可得
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故选：D.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，因此， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．7B．7C．6D．2
【答案】B
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故选：B
5．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 中最小值为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A对，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的函数值为-10，故B错，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C错，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D错，
故选：A.
6．下列不等式恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
解：对于A选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 成立的条件为 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
对于C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，正确.
故选：D
7．已知 SKIPIF 1 < 0 中，点D为线段 SKIPIF 1 < 0 （不包括端点）上任意一点，且实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．6C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
因为点D为线段 SKIPIF 1 < 0 （不包括端点）上任意一点，且实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
8．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．9B．3C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
二、多选题
9．已知 SKIPIF 1 < 0 则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】
由题可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，D错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ．所以A正确；
由基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号；
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C正确.
故选：ABC．
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个正数，4是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值是1B． SKIPIF 1 < 0 的最大值是1
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为1，故 SKIPIF 1 < 0 错误，B正确．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无最大值，故C正确，D错误．
故选：BC
11．下列函数最小值为2的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，最小值为2；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取得最小值2；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值2；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值1，综上可知：ABC正确.
故选：ABC.
12．设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】
对于A： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立， SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
∵ SKIPIF 1 < 0 －3＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14．已知正数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.75
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．某工厂的产值第二年比第一年的增长率是 SKIPIF 1 < 0 ，第三年比第二年的增长率是 SKIPIF 1 < 0 ，而这两年的平均增长率为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 为定值的情况下， SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________（用 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 表示）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
设第一年的产值为 SKIPIF 1 < 0 ，则第二年的产值为 SKIPIF 1 < 0 ，第三年的产值为 SKIPIF 1 < 0 ，
又这两年的平均增长率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为定值，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16．小明用某款手机性能测试app对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，95，97，99，已知总体的中位数为90，若要使该总体的标准差最小，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】0
【详解】
因为总体的中位数为90，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
平均数为 SKIPIF 1 < 0 ，
要使该总体的标准差最小，即方差最小，即 SKIPIF 1 < 0 最小，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：0
四、解答题
17．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)
由题意，因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取“=”，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y SKIPIF 1 < 0 200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】(1)400；(2)不能获利，至少需要补贴35000元.
【解析】(1)
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；
(2)该单位每月的获利：
SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
从而得当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y SKIPIF 1 < 0 200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？