新高考数学一轮复习 讲与练第3讲 均值不等式及其应用（2份打包，原卷版+解析版）

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一、知识梳理
1.均值不等式
如果a，b都是正数，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立.数eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值；数eq \r(ab)称为a，b的几何平均值.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
考点和典型例题
1、利用均值不等式求最值
【典例1-1】（2022·辽宁鞍山·二模）已知正实数a、b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．9
【答案】B
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故选：B.
【典例1-2】（（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为正实数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
【典例1-3】（（2022·天津红桥·一模）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．6B．9C． SKIPIF 1 < 0 D．18
【答案】B
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为9；
故选：B
【典例1-4】（（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当析 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例1-5】（（2022·天津南开·一模）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】
由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
2、均值不等式的综合应用
【典例2-1】（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点， SKIPIF 1 < 0 为双曲线右支上任一点，则 SKIPIF 1 < 0 最小值为（ ）
A．19B．23C．25D．85
【答案】B
【详解】
令 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即最小值为23.
故选：B
【典例2-2】（2022·陕西渭南·二模（理））若对 SKIPIF 1 < 0 x， SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数a的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
由题意知， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故a的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【典例2-3】（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】D
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2
故选：D.
【典例2-4】（2022·安徽黄山·二模（理））设 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围为______________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例2-5】（2022·浙江·高三开学考试）已知正实数a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】
由正实数a，b， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3、均值不等式的实际应用
【典例3-1】两直立矮墙成 SKIPIF 1 < 0 二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为 SKIPIF 1 < 0 的直角梯形菜园 SKIPIF 1 < 0 墙足够长 SKIPIF 1 < 0 ，则所用篱笆总长度的最小值为（ ）
A．16mB．18m
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，设篱笆长度为y，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
梯形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以篱笆总长度最小为18m．
故选：B
【典例3-2】如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A与湖对岸B，F点，设宝塔底部E点和这三个点在同一直线上，无人机从A点沿AD直线飞行200米到达宝塔顶部D点后，然后再飞到F点的正上方，对山脚的江天禅寺EB区域进行拍照.现测得从A处看宝塔顶部D的仰角为60°， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 米.若无人机在C点处获得最佳拍照角度时（即 SKIPIF 1 < 0 最大），该无人机离地面的高度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 米B． SKIPIF 1 < 0 米C． SKIPIF 1 < 0 米D．200米
【答案】C
【详解】
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
再由余弦定理： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设该无人机离地面的高度为 SKIPIF 1 < 0 米，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 取等号，
此时无人机获得最佳拍照角度，该无人机离地面的高度为 SKIPIF 1 < 0 米.
故选：C
【典例3-3】某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 SKIPIF 1 < 0 的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 SKIPIF 1 < 0 ，各试验区之间也空0.5 SKIPIF 1 < 0 .则每块试验区的面积的最大值为___________ SKIPIF 1 < 0 .
【答案】6
【详解】
设矩形空地的长为 SKIPIF 1 < 0 m，则宽为 SKIPIF 1 < 0 m，
依题意可得，试验区的总面积 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以每块试验区的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：6
【典例3-4】蕲春县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为 SKIPIF 1 < 0 ，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T（秒）＝路段长× SKIPIF 1 < 0 ，那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时间为___________秒.
【答案】87.75## SKIPIF 1 < 0
【详解】
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
SKIPIF 1 < 0 千米/小时 SKIPIF 1 < 0 米/秒
此时红灯设置时间为 SKIPIF 1 < 0 秒.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例3-5】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要建造可使用20年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用 SKIPIF 1 < 0 （单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系 SKIPIF 1 < 0 ，若不建隔热层，则该建筑物每年的能源消耗费为8万元．设 SKIPIF 1 < 0 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)请写出 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(2)隔热层建多厚时， SKIPIF 1 < 0 达到最小，并求出最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)当隔热层修建为 SKIPIF 1 < 0 厚时，总费用 SKIPIF 1 < 0 达到最小值为70万元．
【解析】(1)
解：由题意， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
解：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以当隔热层修建为 SKIPIF 1 < 0 厚时，总费用 SKIPIF 1 < 0 达到最小值为70万元．