新高考数学一轮复习 讲与练第12讲 导数的综合应用（2份打包，原卷版+解析版）

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一、知识梳理
1、不等式恒成立
(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
分类讨论求参数：根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.
双变量恒成立
含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
(1)∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.
(2)∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.
(3)∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min.
(4)∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
2、利用导数研究函数的零点
利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图像，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图像与性质确定函数有多少个零点.
3、构造函数证明不等式
(1)五个常见变形：
xex＝ex＋ln x，eq \f(ex,x)＝ex－ln x，eq \f(x,ex)＝eln x－x，x＋ln x＝ln xex，x－ln x＝ln eq \f(ex,x).
(2)三种基本模式
①积型：aea≤bln beq \(――――――――→,\s\up17(三种同构方式))
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(同左：aea≤（ln b）eln b……f（x）＝xex，,同右：ealn ea≤bln b……f（x）＝xln x，,取对：a＋ln a≤ln b＋ln（ln b）……f（x）＝x＋ln x，))
②商型：eq \f(ea,a)＜eq \f(b,ln b)eq \(――――――――→,\s\up17(三种同构方式))
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(同左：\f(ea,a)＜\f(eln b,ln b)……f（x）＝\f(ex,x)，,同右：\f(ea,ln ea)＜\f(b,ln b)……f（x）＝\f(x,ln x)，,取对：a－ln a＜ln b－ln（ln b）……f（x）＝x－ln x，))
③和差型：ea±a＞b±ln beq \(――――――――→,\s\up17(两种同构方式))
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(同左：ea±a＞eln b±ln b……f（x）＝ex±x，,同右：ea±ln ea＞b±ln b……f（x）＝x±ln x.))
考点和典型例题
1、不等式恒成立
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意两个不等的正实数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-4】（2022·全国·高三专题练习）设实数 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则t的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-5】（2022·全国·高三专题练习）已知不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2、利用导数研究函数的零点
【典例2-1】（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个不同的交点，则实数m取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-3】（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有两个公共点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-4】（2022·江西·模拟预测（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ）有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0， SKIPIF 1 < 0 ）B．（0， SKIPIF 1 < 0 ）C．（0，1）D．（0，e）
【典例2-5】（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，函 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的零点， SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3、构造函数证明不等式
【典例3-1】（2021·重庆合川·高二阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有一个极值，求a的值．
【典例3-2】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)求证：函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若方程 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个正数解 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【典例3-3】（2022·湖北·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明 SKIPIF 1 < 0 .