新高考数学一轮复习 讲与练第22讲 空间中的平行关系（2份打包，原卷版+解析版）

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一、知识梳理
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
如果平面α与平面β没有公共点，则α∥β.
(2)判定定理与性质定理
考点和典型例题
1、直线与平面平行
【典例1-1】已知a，b是两条不重合的直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a与b是异面直线
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b一定相交
【答案】C
【详解】
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a与b平行或a与b是异面直线，B错误；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由面面平行的性质可得：存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，由线面平行的判定可得 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b相交或平行，D错误.
故选：C
【典例1-2】如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
连接 SKIPIF 1 < 0 ；由正方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直；
由正方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；

以 SKIPIF 1 < 0 为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1， SKIPIF 1 < 0
显然直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 不平行，故B不正确；
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面正确， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故C不正确；
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
【典例1-3】已知m，n为两条不同的直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m// SKIPIF 1 < 0 ，m//n，则n// SKIPIF 1 < 0 B．若m// SKIPIF 1 < 0 ，n// SKIPIF 1 < 0 ，则m//n
C．若m// SKIPIF 1 < 0 ，n SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则m//nD．若m// SKIPIF 1 < 0 ，m SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＝n，则m//n
【答案】D
【详解】
如图，长方体 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 视为平面 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，直线AB视为m，直线 SKIPIF 1 < 0 视为n，满足m// SKIPIF 1 < 0 ，m//n，而 SKIPIF 1 < 0 ，A不正确；
对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m// SKIPIF 1 < 0 ，n// SKIPIF 1 < 0 ，而m与n相交，B不正确；
对于C，直线AB视为m，直线 SKIPIF 1 < 0 视为n，满足m// SKIPIF 1 < 0 ，n SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，显然m与n是异面直线，C不正确；
对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.
故选：D
【典例1-4】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间两个不同的平面， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 内的不共线三点 SKIPIF 1 < 0 到平面β的距离相等，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行
D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行
【答案】D
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A错误；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
当平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交时，可以在平面 SKIPIF 1 < 0 内找到不共线三点 SKIPIF 1 < 0 到平面β的距离相等，故选项C错误；
如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，故选项D正确.
故选：D.
【典例1-5】如图，在下列四个正方体中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为正方体的两个顶点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 SKIPIF 1 < 0 不平行于平面 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
对于A选项，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
对于B选项，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
对于C选项，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
对于D选项，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在平面 SKIPIF 1 < 0 内，过该平面内的点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的平行线，有且只有一条，与题设矛盾.
假设不成立，故D选项中的直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行.
2、平面与平面平行
【典例2-1】已知直线l，m和平面、，下列命题正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
A： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
B：若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 相交；若 SKIPIF 1 < 0 相交时， SKIPIF 1 < 0 ，错误；
C： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平行、相交、重合都有可能，错误；
D： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据面面平行的判定知： SKIPIF 1 < 0 ，正确.
故选：D
【典例2-2】设m，n是不同的直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
A选项，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，或m，n相交或m，n异面，A错误；
B选项，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交，B错误；
C选项，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
D选项，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：D
【典例2-3】在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【典例2-4】在三棱台 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是三角形 SKIPIF 1 < 0 内（含边界）的一个动点，且有平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是（ ）
A．三角形 SKIPIF 1 < 0 边界的一部分B．一个点
C．线段的一部分D．圆的一部分
【答案】C
【详解】
如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 重合，否则没有平面 SKIPIF 1 < 0 ），
故选：C．
【典例2-5】如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)
证明：连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)证明：因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因此，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
平行关系的综合应用
【典例3-1】如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，则下列四个结论错误的是（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为异面直线
B． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0
D．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为异面直线,故A对. SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故B对.
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故C对.
SKIPIF 1 < 0 ,故D 错.
故选:D
【典例3-2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为不同的直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
如图所示：
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 异面，故错误；
B. 若 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b相交；故错误；
C. 因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由垂直同一直线的两个平面平行，则 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
D. 若 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
故选：C
【典例3-3】如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在棱EF上.
(1)当P为EF的中点时，证明： SKIPIF 1 < 0 平面ADE；
(2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得 SKIPIF 1 < 0 平面PBD？若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)
如图，设点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
如图，延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由线面平行的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴存在满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3-4】如图，四边形ABCD为长方形， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面PBE；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．
【解析】(1)
取PB中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为四边形ABCD为长方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形DEGF为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 平面PBE， SKIPIF 1 < 0 平面PBE， SKIPIF 1 < 0 平面PBE
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面PBE，又 SKIPIF 1 < 0 平面PDC，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
(3)因为 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，所以PD为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例3-5】如图所示的几何体中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值．
【解析】(1)
证明：分别取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在的直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行
如果l⊄α，m⊂α，l∥m，则l∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，则这条直线就与两平面的交线平行
如果l∥α，l⊂β，α∩β＝m，则l∥m
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行
如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l∥β，m∥β，则α∥β
性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β，a⊂α⇒a∥β
性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则m∥l