新高考数学一轮复习 讲与练第30讲 圆锥曲线的综合应用（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习 讲与练第30讲 圆锥曲线的综合应用（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习讲与练第30讲圆锥曲线的综合应用原卷版doc、新高考数学一轮复习讲与练第30讲圆锥曲线的综合应用解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

知识梳理
1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
(1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.
(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.
2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
3.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.
4.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；
②|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).
考点和典型例题
1、直线与圆锥曲线的位置关系
【典例1-1】直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【典例1-2】过 SKIPIF 1 < 0 且与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【典例1-3】斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积是（O为坐标原点）（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-4】（多选）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（ ）
A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为1
B．若双曲线C为等轴双曲线，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若P为焦点 SKIPIF 1 < 0 关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为 SKIPIF 1 < 0
D．延长 SKIPIF 1 < 0 交双曲线右支于点Q，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【典例1-5】（多选）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，过其准线上的点 SKIPIF 1 < 0 作的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为2D． SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为4
2、中点弦及弦长问题
【典例2-1】（2022·江苏·高二）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作一条倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-2】（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-3】（河南省新乡市2021-2022学年高二下学期期末数学文科试题）已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 ，直线l与C交于A，B两点，若弦 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的斜率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．－3
【典例2-4】（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的点，则（ ）
A．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 B．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴长为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的两焦点距离之差的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【典例2-5】（多选）（2021·江苏省灌云高级中学高二阶段练习）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）
A．bC．离心率 SKIPIF 1 < 0 D．b>a
3、圆锥曲线的综合应用
【典例3-1】（2022·北京·北大附中三模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程及其离心率；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上第一象限的点，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标.
【典例3-2】（2022·陕西咸阳·二模（文））已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若A、B两点在抛物线C上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线l恒过定点.
【典例3-3】（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的其中一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
（1）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）已知倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点的纵坐标为4，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【典例3-4】（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【典例3-5】（2022·全国·高考真题）已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，直线l交C于P，Q两点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．