新高考数学一轮复习 讲与练第34讲 随机变量及其分布列（2份打包，原卷版+解析版）

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知识梳理
随机变量及其分布列的数字特征
1.离散型随机变量
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，若离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
(1)pk≥0，k＝1，2，…，n；
(2)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(k＝1))pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1.
4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).
(2)方差
D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))[xi－E(X)]2pi，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.
(3)标准差
称eq \r(D（X）)称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小).
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
分布列
1.n次独立试验与二项分布
(1)n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
(2)二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pkqn－k，k＝0，1，…，n，
因此X的分布列如下表所示
注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Ceq \\al(0,n)p0qn＋Ceq \\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq \\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq \\al(n,n)pnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).
2.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
3.超几何分布
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(MM，则可能取0,1,2…，M，
由古典方法可以求得 SKIPIF 1 < 0 的概率是：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
假如n≤M，则X可能取0,1,2…，n；此时求得 SKIPIF 1 < 0 的概率是：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据超几何分布的定义，可知ABD均不合要求，C选项满足
A选项，X可能取值为1,2,3,4,5,6,7，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
X的分布列为：
B选项，若有放回的取球时，X表示取出的最大号码，
则X的取值可能为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故不满足超几何分布；
C选项，X表示取出的4个球的总得分，则X的取值可能为4,5,6,7,8，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
显然满足超几何分布，
D选项，若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数，
则X的可能取值为0,1,2,3,4，
由于是有放回的取球，故 SKIPIF 1 < 0 ，故D不满足超几何分布；
故选：C
【典例2-2】设随机变量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
由于随机变量 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 随机变量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
【典例2-3】已知随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从二项分布 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
解：因为随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从二项分布 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
【典例2-4】某批零件的尺寸X服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于 SKIPIF 1 < 0 ，则n的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】C
【详解】
SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即每个零件合格的概率为 SKIPIF 1 < 0
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．
合格零件个数为零个或一个的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
故选：C.
【典例2-5】设随机变量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
解：因为随机变量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
随机变量 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3、分布列的综合应用
【典例3-1】甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：
(1)在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？
(2)若采用三局二胜制，求比赛场次 SKIPIF 1 < 0 的分布列及数学期望．
【答案】(1)在五局三胜制下，甲获胜的可能性大(2)分布列见解析， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)
解：①如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：
SKIPIF 1 < 0 （甲净胜二局）， SKIPIF 1 < 0 （前二局甲一胜一负，第三局甲胜）．
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互斥，所以甲胜概率为 SKIPIF 1 < 0 ．
②如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：
SKIPIF 1 < 0 （甲净胜3局），
SKIPIF 1 < 0 （前3局甲2胜1负，第四局甲胜），
SKIPIF 1 < 0 （前四局各胜2局，第五局甲胜）．
因为 SKIPIF 1 < 0 互斥，所以甲胜概率为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
由①，②可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大．
(2)
解：依题意可得 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列为：
所以 SKIPIF 1 < 0
【典例3-2】选手参加电视台举办的“中国诗词大会”竞答比赛．选手对每个问题回答的结果，只能是正确或错误两种情况，每个问题回答正确的概率为 SKIPIF 1 < 0 ．选手首先依次回答3个问题，一旦出观2个问题回答错误，则被淘汰：如果3个问题回答都正确，则算过关；如果3个问题中有1个回答错误，则进入下一轮附加赛，选手再依次回答2个新问题，一旦出现问题回答错误，则也被淘汰；若2个问题回答都正确，则也算过关．选手回答每个问题正确与否是相互独立的．
(1)求选手过关的概率；
(2)若选手回答一个问题耗时3分钟，试估计选手平均用11分钟能否完成这个竞答比赛？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)选手平均用11分钟能完成这个竞答比赛
【解析】(1)
选手过关的概率 SKIPIF 1 < 0
(2)
设选手完成这个竞答比赛时回答问题的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，其可能值为：2，3，4，5．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故回答问题的个数 SKIPIF 1 < 0 的数学期望为 SKIPIF 1 < 0
从而选手完成这个竞答比赛平均用时为 SKIPIF 1 < 0
故选手平均用11分钟能完成这个竞答比赛．
【典例3-3】“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值，并求这200人年龄的中位数（保留一位小数）；
(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行问卷调查，记 SKIPIF 1 < 0 为选出的3人中属于第1组的人数，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望 SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，中位数为42.1岁(2)分布列答案见解析，数学期望： SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设中位数为x岁，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故这200人年龄的中位数为42.1岁
(2)
第1，2组的频率比是： SKIPIF 1 < 0
在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，其中第1组2人，第2组3人
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的分布列为：
SKIPIF 1 < 0
【典例3-4】W企业D的产品p正常生产时，产品p尺寸服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表．
根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在 SKIPIF 1 < 0 以外视为小概率事件．一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在 SKIPIF 1 < 0 以内为正品，以外为次品． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；
(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的数学期望及方差．
【答案】(1)生产线没有正常工作；理由见解析(2)数学期望是 SKIPIF 1 < 0 （元）；方差是 SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)
依题意，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以正常产品尺寸范围为(78.5，81.5]．
生产线正常工作，次品不能多于 SKIPIF 1 < 0 ，而实际上，超出正常范围以外的零件数为10，故生产线没有正常工作．
(2)
依题意尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率为 SKIPIF 1 < 0 ．
记这3件产品中次品件数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 服从二项分布 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的数学期望是 SKIPIF 1 < 0 （元），
方差是 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例3-5】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： SKIPIF 1 < 0 的一个最小正实根，求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（1） SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 有两个不同零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上为增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
若 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数且 SKIPIF 1 < 0 ，
而当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的一个最小正实根，
若 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 且在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，故1为 SKIPIF 1 < 0 的一个最小正实根，
综上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 有两个不同零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上为增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 存在一个零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的一个最小正实根，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
X
0
1
…
k
…
n
P
Ceq \\al(0,n)p0qn
Ceq \\al(1,n)p1qn－1
…
Ceq \\al(k,n)pkqn－k
…
Ceq \\al(n,n)pnq0
X
0
1
2
3
P
0.2
0.3
0.4
a
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
2
3
6
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
a
X
1
2
3
4
5
6
7
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
2
3
SKIPIF 1 < 0
0.52
0.48
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
产品尺寸/mm
[76，78.5]
(78.5，79]
(79，79.5]
(79.5，80.5]
件数
4
27
27
80
产品尺寸/mm
(80.5，81]
(81，81.5]
(81.5，83]
件数
36
20
6