新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点08 三角恒等变换（2份打包，原卷版+解析版）

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一、任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.
二、同角三角函数基本关系式与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
三、解两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcs__β±cs__αsin__β.
cs(α∓β)＝cs__αcs__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcs__α.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3.函数f(α)＝asin α＋bcs α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
[名师提醒]
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
1.定义法求三角函数值的三种情况
①已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解；
②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；
③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
2.三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
3.“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
4.“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
5.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
三角函数的定义
1. （2020湖北百所重点校高三联考）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2.已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角 SKIPIF 1 < 0 绕原点逆时针转 SKIPIF 1 < 0 后，终边交单位圆于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
化简求值
1. (2020湖北武汉模拟) SKIPIF 1 < 0 ＝（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2.（2022高三一轮复习联考（一）（全国1卷））已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
3. （2022河南省大联考） 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
4.（2022云南省昆明市五华区高三模拟）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
5. (2020四川南充模拟)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
1. （2021年全国高考乙卷） SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2. （2021年全国高考甲卷） 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
3. （2021年全国新高考Ⅰ卷）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
一、单选题
1．（2022·河北·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的图象在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且只有1个最低点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·辽宁丹东·一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·四川广安·一模（理））若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．0D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
5．（2022·江苏·南京市第一中学三模）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·重庆·模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中 SKIPIF 1 < 0 ，动点P在 SKIPIF 1 < 0 上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧 SKIPIF 1 < 0 于点Q，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
8．（2022·广东湛江·二模）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
9．（2022·河北秦皇岛·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
10．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
四、解答题
11．（2022·天津·一模）在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角B的大小；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值.
12．（2022·广东惠州·一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 .
13．（2022·四川雅安·二模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且______，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．
14．（2022·全国·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为角A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求A；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
15．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为6．
(1)已知△ SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和 SKIPIF 1 < 0 ．
16．（2022·湖北·二模）如图，在平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积．
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cs__α
cs__α
余弦
cs α
－cs__α
cs__α
－cs__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限