辽宁省大连市第十二中学2023-2024学年高二下学期6月学情反馈数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省大连市第十二中学2023-2024学年高二下学期6月学情反馈数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了 已知全集，，，那么集合是， 命题， 函数的图像大致为， 已知奇函数满足， 下列说法正确的有， 已知，且，则， 已知函数，下列选项正确是等内容，欢迎下载使用。
命题人：孙翠玲 时间：90分钟 分值：100分
一､选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.
1. 已知全集，，，那么集合是（ ）
A. B. C. D.
2. 命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
5. 定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. D. 若，则
6. 已知奇函数满足：，当时，，则下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
7. 下列说法正确的有（ ）
A. 函数的单调递增区间为
B. “”是“”的必要条件
C. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件
D. 已知集合，，全集，若，则实数的取值集合为
8. 已知，且，则（ ）
A
B. 最大值为4
C. 的最大值为9
D. 的最小值为
9. 已知函数，下列选项正确是（ ）
A. 当有三个零点时，的取值范围为
B. 是偶函数
C. 设的极大值为，极小值为，若，则
D. 若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为
三､填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.
10. 函数的导函数为，若，则______.
11. 对，，记，则函数的最小值为 __________．
12. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________.
四､解答题：本题共4小题，共46分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
13. 设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在上的最大值和最小值.
14. 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时.
（1）求证：周期函数；
（2）当时，求的解析式；
（3）求的值.
15. 已知函数在定义域上为偶函数，并且函数.
（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（2）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
16. 已如函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：函数存在极小值点，且.大连市第十二中学2023-2024学年度下学期6月份学情
反馈高二年级数学科试卷
命题人：孙翠玲 时间：90分钟 分值：100分
一､选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.
1. 已知全集，，，那么集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求解,,,,即可得出答案.
【详解】


故选:D.
【点睛】本题考查了集合的补集,并集和交集运算,掌握集合运算基本知识是解题关键,属于基础题.
2. 命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解.
【详解】由使得不等式成立是真命题，
即不等式在有解，
因为，当时，，
所以，即实数的取值范围为.
故选：C.
3. 函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇偶性以及时的正负即可判断.
【详解】函数的定义域为，且，，
是奇函数，排除选项C和D，当时，，
排除选项B.
故选：A．
4. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合二次函数性质判断函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答.
【详解】因为在上单调递增，
在上单调递增，
且连续不断，可知函数在R上单调递增，
则，可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
5. 定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，令，或，结合不恒为0，可得，由此即可判断；
对于B，由，不妨令，即可判断；
对于C，令，通过换元即可判断；
对于D，令，得关于中心对称，结合为偶函数，可得为周期为4的函数，算出即可判断.
【详解】对于A，令，有，所以或，
若，则只令，有，即恒为0，
所以只能，故A正确；
对于B，由A可知，不妨令，
有，
即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，
所以偶函数，即为偶函数，故B正确；
对于C，令，有，
令，由，得，
所以当时，有，即当时，，故C正确；
对于D，若，令，有，
所以关于中心对称，
又偶函数，
所以，所以是周期为4的周期函数，
又，，
所以，
所以，
所以，故D错误.
故选：D.
6. 已知奇函数满足：，当时，，则下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，周期性和单调性判断即可.
【详解】因为为奇函数，且当时，，，
而，
所以在上单调递增，
所以时，，时
因为所以，
由，即关于对称，
又因为为奇函数，所以，
所以，
所以为的周期，
所以，
因为所以
所以
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
7. 下列说法正确的有（ ）
A. 函数的单调递增区间为
B. “”是“”的必要条件
C. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件
D. 已知集合，，全集，若，则实数的取值集合为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性判断A，根据必要条件及特例法判断B，根据一元二次方程异号根的充要条件判断C，根据集合运算得，然后分类讨论求解参数判断D.
【详解】对于A，令，解得，故函数定义域为，
其中，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中在上单调递增，
由复合函数单调性可知，的单调递增区间为，A错误；
对于B，若，不一定得到，例如：，，
故“”不是“”的必要条件，B错误；
对于C，有一正一负根，则需要满足，，
故“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，C正确；
对于D，，要使，进一步可得，故当时，显然满足，此时，
当时，此时，解得，符合题意，
当时，此时，解得，符合题意，
综上可知实数的集合为，故D正确.
故选：CD
8. 已知，且，则（ ）
A.
B. 的最大值为4
C. 的最大值为9
D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】由条件变形后分解因式可判断;利用基本不等式结合解不等式可判断;由条件变形可得，结合的妙用可判断;由，代入，结合一元二次函数的性质可判断
【详解】由，且，
得即，故正确；
因为，当且仅当时，等号成立，
解得，故错误；
由变形得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故错误；
由变形得，
故，代入可得
故当时，取得最小值故正确，
故选：
9. 已知函数，下列选项正确的是（ ）
A. 当有三个零点时，的取值范围为
B. 是偶函数
C. 设的极大值为，极小值为，若，则
D. 若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由可得出，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用导数求出函数的极大值和极小值，结合求出的值，可判断C选项；设切点横坐标为，利用导数的几何意义可得出方程有三个不等的实根，可知，直线与函数的图象有三个交点，数形结合可判断D选项.
详解】对于A选项，令可得，
令，则直线与函数的图象有三个交点，
，令，可得，列表如下：
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，A对；
对于B选项，，该函数的定义域为，
，
故函数是偶函数，B对；
对于C选项，，令，可得，列表如下：
所以，，，
所以，，解得，C错；
对于D选项，设切点坐标为，则，
所以，曲线在处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，整理可得，
令，其中，则，
令，可得或，列表如下：
若过点可以作图象的三条切线，
则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，合乎题意，D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
三､填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.
10. 函数的导函数为，若，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】可以求出导函数，代入可得．
【详解】由，得，
得.
故答案为：2.
11. 对，，记，则函数的最小值为 __________．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】将转化为函数与在同一个处取得的两个函数值的较大的值，数形结合即可得解.
【详解】函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值，
作函数与函数的图象如下，
由图象可知，令，得或，
故当时，的最小值为．
故答案为：．
12. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【详解】因为是奇函数，是偶函数，满足，
可得，
联立方程组，解得，
又因为对任意的，都有成立，
所以，所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
(i)若，则对称轴，解得；
(ii) 若，在单调递增，满足题意；
(iii) 若，则对称轴恒成立；
综上可得，，即实数的取值范围为.
故答案为：.
四､解答题：本题共4小题，共46分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
13. 设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）在上的最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可；
（2）利用导函数与原函数单调性的关系，判断出在上的单调性即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
由（1）可知，.
令，则，
当时，，，所以，
所以在上单调递增，
当时，，即，
所以上单调递增，
所以的最大值为，的最小值为.
14. 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时.
（1）求证：是周期函数；
（2）当时，求解析式；
（3）求的值.
【答案】（1）证明见解答
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数周期性的定义证明．
（2）令，则，求出，再根据函数的周期性，求出答案．
（3）分别求出，，，，，求出，结合函数是周期函数，进行求解即可．
【小问1详解】
∵，∴，
∴是周期函数，且是其一个周期．
【小问2详解】
令，则，∴，
又是定义在上的奇函数，即，
∴在，，
∴，那么，那么，
由于的周期是，∴，
∴当时，．
【小问3详解】
当时，，
∴，，
当时，，，
∴，
∵是周期函数，且是其一个周期．又，
∴.
15. 已知函数在定义域上为偶函数，并且函数.
（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（2）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）为奇函数，证明见解析
（2）实数c的取值范围是.
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的性质求出参数，将的值代入到的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性即可；
（2）将题中条件转化为“的值域是的值域的子集”即可求解.
【小问1详解】
为奇函数，理由如下：
由在上是偶函数，得，
解得.所以，的定义域为，
又，所以为奇函数；
【小问2详解】
当时，，因为，
当且仅当，即时等号成立，所以；
当时，因为为奇函数，所以；
当时，，
所以的值域为.
因为在上单调递减，所以函数的值域是.
对任意的，总存在，使得成立，
所以，所以,解得.
所以实数c取值范围是.
16. 已如函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：函数存在极小值点，且.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导得到，确定导函数单调递增，且，得到单调区间.
（2）求导得到，确定函数单调递增，得到存在，使，得到单调区间，确定极值点，化简得到，根据单调性得到证明.
【小问1详解】
，，则，
设，则恒成立，故单调递增.
即单调递增，且，
故当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
综上所述：单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
，，设，
则恒成立，故单调递增，即单调递增，
，，
故存在，使，即，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故是函数存在极小值点，
，
函数在上单调递增，故，得证.
【点睛】关键点睛：本题考查了求函数的单调区间，证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中在不能直接求出零点的时候，利用隐零点代换可以简化运算，是解题的关键.
增
极大值
减
极小值
增
减
极小值
增
极大值
减
减
极小值
增
极大值
减