河南省郑州市宇华实验学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省郑州市宇华实验学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了已知是复数，满足，，，则，设为复数，则下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A.1B.C.2D.
2.已知，则（ ）
A.B.C.a3.已知，则下列说法一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.若，则点C在线段上
4.已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ）
A.B.C.D.
5.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”. 则下列说法中正确的是（ ）
①A与C互斥 ②B与D对立 ③A与D相互独立 ④B与C相互独立
A.①③B.①④C.②③D.②④
6.已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
7.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知是复数，满足，，，则（ ）
A.B.3C.D.6
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.设为复数，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，且，则z在复平面对应的点在一条直线上
10.如图，函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且满足的面积为，则下列结论不正确的是（ ）
A.
B.函数的图象对称中心为，
C.的单调增区间是，
D.将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象
11.如图：棱长为的正方体的内切球为球，、分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列命题正确的是（ ）
①存在点，使垂直于平面；
②对于任意点，平行于平面；
③直线被球截得的弦长为；
④过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为.
A.①B.②C.③D.④
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.函数在区间上的值域是 .
13.若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 .
14.在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知1≤x≤27，函数(a＞0)的最大值为4，最小值为0.
(1)求a、b的值；
(2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围.
16.（15分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数；
(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率.
17.（15分）中，角A，B，C所对的边分别为. 已知.
（1）求的值；
（2）求的面积.
18.（17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E，F分别为棱，的中点.
(1)若平面平面，
①求证：；
②求三棱锥的体积；
(2)若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长.
19.（17分）已知平面向量，，且函数.
(1)求的值；
(2)求函数的最小正周期；
(3)求函数在上的最大值，并求出取得最大值时的值.
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
【解析】因为，，为正数且满足，
所以，当且仅当时等号成立，
令，，则，
令，，
又在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，
所以的最小值为，当且仅当时取得.
故选D.
2.【答案】D
【解析】
，
设，，
当时，
与相交于点和原点
时，
，即
故选：D.
3.【答案】B
【解析】因为，则，即，
所以，故A错误；
因为在上单调递减，且，所以，
又，所以在单调递增，所以，
所以，故B正确；
因为，所以，当时，，
当时，，故C错误；
又，所以，由可得点C在延长线上，故D错误；
故选B.
4.【答案】A
【解析】函数令，可得，
即函数的对称轴方程为，又的周期为，，
令，可得，所以函数在上有25条对称轴，
根据正弦函数的性质可知，（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）,
将以上各式相加得
，故选A.
5.【答案】B
【解析】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，
所以A与C互斥 ，因此本序号说法正确；
②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B与D同时发生，
因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；
③：，
显然，所以A与D不相互独立，所以本序号说法不正确；
④：，
显然，所以B与C相互独立，所以本序号说法正确，
故选：B.
6.【答案】C
【解析】函数图象关于直线对称，
所以，解得，
又因为，所以，
所以，
令，
则，
解得，
因为，
所以，，.
即函数在区间上零点的个数为3.
故选C.
7.【答案】B
【解析】在中，有
由正弦定理得，
又，
所以，
因为，所以，即，
则，即，
由余弦定理得
，
则，当且仅当时，等号成立，
所以.
故选B.
8.【答案】D
【解析】因为，
且，，
即，
得；
同理因为，且，
即，
得：；
联立可得：，，
.
故选D.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.【答案】AD
【解析】对于A，设，则，
所以，故A正确；
对于B，由，得，
所以，
所以，故B错误；
对于C，若，则，而，故C错误；
对于D，因为，设对应的点为，
若，则在复平面内对应点到和的距离相等，
即在复平面内对应点在线段的垂直平分线上，
所以在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.
故选：AD.
10.【答案】ABD
【解析】A：当时，，
因为，
所以，得，
即函数的最小正周期为，由得，故A不正确；
B：由选项A可知，
令，，解得，，
即函数的对称中心为，，故B不正确；
C：由，，得，，故C正确；
D：将函数图象向右平移个长度单位，得函数的图象，故D不正确.
故选ABD.
11.【答案】ACD
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、
、、、、，
设点，其中，
对于①，，，，
若存在点，使垂直于平面，只需，，
则，，解得，此时，为的中点，
故当点为的中点时，平面，①对；
对于②，当点与点重合时，平面，②错；
对于③，，，则，
因为，则，
所以，点到的距离为，
所以，直线被球截得的弦长为，③对；
对于④，设点在上的射影为点，过直线的平面为，
当直线与平面垂直时，平面截球所得截面圆的半径最小，
且半径的最小值为，
因此，半径最小的圆的面积为，④对.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】令，
因为，，所以，
，
设，
显然一元二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
13.【答案】
【解析】因为的对称中心为，，
的对称中心为，，
所以两函数的交点也关于对称，，
又因为函数，的最小正周期为，
作出两函数的在的图象，如下图，
由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为，
且，
其中关于对称，，关于对称，，
所以.
故答案为：.
14.【答案】/
【解析】正四棱台的对角面为是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形中，，
因为，则该梯形的高，
所以该棱台的体积为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）【答案】(1)； (2)
【解析】（1），
由1≤x≤27得，，
又a＞0，因此的最大值为，
最小值为，
解得.
（2），
又，，
而在上单调递减，在上单调递增.
由不等式在上有解，
得：.
因此，的取值范围是.
16.（15分）【答案】(1)；； (2)
【解析】（1），解得
设中位数为x，因为学生成绩在的频率为，在的频率为
所以中位数满足等式，解得
故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为.
（2）成绩在的频数为
成绩在的频数为
按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，在的学生被抽取人
从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为.
17.（15分）【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由题意知，
又因为，所有，
由正弦定理可得.
（2）由得，由,得.
所以.
因此，的面积.
18.（17分）【答案】(1)①证明见解析.② (2)
【解析】（1）①因为平面平面平面平面
又因为底面为直角梯形，其中
所以又因为面
所以面又因为面所以
②由①知面取的中点设为连结则则面
则点到面的距离为
又因为在直角梯形中，，
解得所以在等腰三角形中
三棱锥的体积
（2）取线段的中点，连接，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为线段，
所以，
所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，则，，，
在中，，，
所以，
则，所以截面周长为.
19.（17分）【答案】(1)；(2)；(3)，
【解析】（1）解法1：因为当时，，，
.
解法2：由诱导公式可得，，
所以
,
所以.
（2）由解法2得，故函数的最小正周期为.
（3）当时，，
当，即时，函数取最大值1，
此时.