[数学][期末]湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试试卷(解析版)

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1. 设，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以的虚部为.
故选：C.
2. 直线，互相平行的一个充分条件是（ ）
A. ，都平行于同一个平面B. ，与同一个平面所成的角相等
C. 平行于所在的平面D. ，都垂直于同一个平面
【答案】D
【解析】由题意下列哪个选项可以推出直线，互相平行即可，选项A中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C中与不仅可以平行还可能异面直线.
故选：D.
3. 掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】掷两枚质地均匀的骰子根据题意总共有36种可能，掷出的两个骰子点数之和是5有：，共有4种可能，
根据古典概型概率公式得，.
故选：D.
4. 某校举行演讲比赛，10位评委对某选手评分数据如下：若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 极差
【答案】B
【解析】根据平均数、中位数、方差和极差的定义可知，新数据与原数据相比平均数、方差和极差都有可能发生变化，而中位数一定不变．
故选：B．
5. 已知一个样本有27个数据，该组数据的第75百分位数是164，则下列叙述正确的是（ ）
A. 把这27个数据从小到大排列后，164是第20个数据和第21个数据的平均数
B. 把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有20个
C. 把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有21个
D. 把这27个数据从小到大排列后，164是第21个数据
【答案】D
【解析】因为，所以把这个数据从小到大排列后，
第个数据是，选项A错误，选项D正确；
小于或等于的数据可能有个，也可能多于个，选项B，C错误.
故选：D.
6. 在半径为r的中，弦的长为2，则（ ）
A. 4B. 2C. 1D. 与r有关
【答案】B
【解析】取线段AB的中点D，如图，则，故，
所以
.
故选：B.
7. 如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，设该长方体的长、宽、高分别为，，，
即，，．
由长方体性质可知，，两两垂直，
所以，
故剩下几何体的体积，因此.
故选：C.
8. 长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】依题意，体对角线l满足则，
设l与上下底面成角，则，
；
设l与左右侧面成角，则，
；
设l与前后面成角，则，
.
所以，
.
故选：A.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若复数为纯虚数，则
B. 复数在复平面内对应的点在第二象限
C. 若i为虚数单位，n为正整数，则
D. 若，则的最大值是2
【答案】AD
【解析】A．若复数为纯虚数，则，，故正确，符合题意；
B．复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故错误，不符合题意；
C．若为虚数单位，为正整数，则，故错误，不符合题意；
D．若，则，对应复平面内单位圆上的两动点，
可得的最大值是2，故正确，符合题意．
故选：AD．
10. 已知，则正确的选项是（ ）
A. 和都是单位向量B. 若，则
C. 若，则D.
【答案】ABD
【解析】A．，，故和都是单位向量，
故正确，符合题意；
B．若，则，故，所以，故正确，
符合题意；
C．若，即，所以，，
即，，故错误，不符合题意；
D．因为，所以，故正确，符合题意．
故选：ABD．
11. 已知分别为三个内角的对边，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】因为，所以，
由余弦定理可得：，
即，解得或（舍去），故A正确；
，由，可得，
所以，故B正确；
由于，所以由正弦定理可得：，所以C正确；
，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积是______．
【答案】
【解析】将边长为1的正方形绕其一边所在直线旋转一周，
所得几何体是底面半径为，高为的圆柱体，
其体积为.
故答案为：.
13. 一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则______．
【答案】
【解析】∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为_______.
【答案】
【解析】设前10次射击的命中环数分别为，则
即，由方差为，得，
即，
所以增加两次射击后，这12次射击的命中环数的
平均数为：，
所以这12次射击的命中环数的方差为：
.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对概率；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
解：（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，
则P（A），P（B），
∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：
P（A）＝P（A）P（）+P（）P（B）（1）．
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
P（）＝P（）P（）＝（1）（1）.
16. 已知分别为三个内角的对边，且满足.
（1）求A；
（2）若，求a.
解：（1）因为，
由正弦定理得，
在中，，则，得，
而，可.
（2）因为，
所以，即，解得，
所以.
则.
17. （身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
（2）估计该公司员工的值的众数，中位数；
（3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数．
解：（1）由题，，解得：，
由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为.
（2）由频率分布直方图可得，众数为，
因为，，
故中位数在，设为，则.
（3）设样本平均数为，
则由频率分布直方图可得；
，
又，
即，解得：．
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与底面所成角的正切值；
（3）设平面平面，求二面角的大小．
解：（1）证明：因为侧面是正三角形，是的中点，
所以，
因为底面为正方形，所以，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，、平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，，
因为侧面是正三角形，所以，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
所以即为与底面所成角，
设正方形的边长为，则，，
在中，，
所以与底面所成角的正切值为．
（3）因为，平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以，
由（1）知平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理可得，
所以即为二面角的平面角，
又侧面是正三角形，所以，
故二面角的大小为．
19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
（1）求：；
（2）求的坐标；
（3）若点M在线段上运动，设，求的最大值.
解：（1）依题意，得是单位向量，且夹角为，
所以，
而，
，
则.
（2）因为，
所以，，
所以，则四边形是平行四边形，
所以，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为
，
则，
所以，.
（3）由（2）知，，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.