[数学][期中]广东省东莞市四校2023-2024学年高一上学期12月期中联考试题(解析版)

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一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.）
1. 若集合，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知中含有元素0，1，2，因此，A、B均错；
集合中比集合多一个元素，因此应有，C错；
由空集是任何集合子集知D正确．
故选：D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】全称命题的否定是存在性命题，
所以命题“”的否定是.
故选：C.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，故是的必要不充分条件.
故选：B.
4. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可知，函数定义域应满足，解得.
故选：C.
5. 设函数，则的值为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】∵函数，
∴.
故选：B.
6. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，，
所以.
故选：D.
7. 下列可能是函数的图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数定义域为R，排除选项AB，当时，，排除选项D.
故选：C.
8. 已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数满足对任意的，都有成立，
所以函数是定义在上的减函数，
所以，解得，所以.
故选：B.
二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.）
9. 以下结论正确是（ ）
A. 不等式恒成立
B. 存在，使得不等式成立
C. 若，则
D. 若正实数满足，则
【答案】BC
【解析】对于A，不等式恒成立的条件是，故A错误；
对于B，当时，不等式成立，故B正确；
对于C，若，则，当且仅当时取等号；
对于D，若正实数满足，
则，
当且仅当，即时取等号；故D错误.
故选：BC.
10. 已知，则下列不等式中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】在两边同除以负数得，即，与A项矛盾.
由，，得，与B项矛盾.
由，，，
故不一定小于0，故C不正确.
由得，又，两式相乘得，
两边同除以负数，可得，故D正确.
故选：ABC.
11. 函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. ，
C. 有最大值D. 最小值为0
【答案】BD
【解析】令，即，解得或，
所以可知，
所以，故A错误；
当时，，故B正确；
由（或）可知，函数无最大值，故C错误；
当或时，，当时，，
所以最小值为0，故D正确.
故选：BD.
12. 已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A. 在上为减函数B. 的最大值是1
C. 的图象关于直线对称D. 在上
【答案】BCD
【解析】因为当时，，
则函数在上递减，
又函数偶函数，所以在上为增函数；故A错；
因为函数是偶函数，是奇函数，
所以，，则，
所以，则，即，
所以以为周期；
则，所以关于直线对称，
因此当时，；
当时，，则，
又，所以；
因为偶函数关于轴对称，所以当时，；
综上，当时，；
又是以为周期的函数，所以，，则，故B正确；
因为，函数为偶函数，
所以，因此，
所以的图象关于直线对称；即C正确；
因为时，显然恒成立，函数是以为周期的函数，
所以在上也满足恒成立；故D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）
13. 不等式的解集是________.
【答案】
【解析】不等式等价于，
由于方程的解为：或，
所以.
故答案为：.
14. 设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是____________．
【答案】
【解析】由图可知，阴影部分为，
∵或，∴，
∴．.
故答案为：.
15. 已知奇函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】因为，则，
因为是奇函数，所以．
又函数是定义在上的减函数，
所以，解得，
故所求不等式的解集为．
故答案为：.
16. 定义：函数在区间上的最大值与最小值的差为在区间上的极差，记作.
①若，则____；
②若，且，则实数的取值范围是____.
【答案】1
【解析】①由题意知，，所以，所以；
②当时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
要满足，只需，所以，
当时，函数区间上单调递增，不满足，
综上所述，.
故答案为：1 .
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）
17. 已知集合.
（1）若，求
（2）若，求实数m的取值范围.
解：（1）由题意，
∵，∴，
∴.
（2）∵，∴，
∴当，即，即时满足题意；
当，即时，，即.
综上，实数的取值范围为.
18. 已知幂函数为偶函数.
（1）求幂函数的解析式；
（2）若函数，根据定义证明在区间上单调递增.
解：（1）因为是幂函数，
所以，解得或.
当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不满足题意.
故.
（2）由（1）得，故.
设，
则，
因为，所以，，所以，
所以，即，
故在区间上单调递增.
19. 已知为上的奇函数，当时，.
（1）求的值并求出在上的解析式；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）由题可知为上的奇函数，故；
又，即，
则时，
当时，则，
又为奇函数，所以，
所以
故在上的解析式为.
（2）（法一）若，则或，
解得，所以的取值范围为.
（法二）由（1）可知，
时，在上单调递减，且；
时，在上单调递减，且，
则在上单调递减.
又因为，所以，即，
所以当时，，即的取值范围为.
20. 已知函数．
（1）若，且关于x不等式的解集是，求的最小值；
（2）设关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围
解：（1）因为，且关于x的不等式的解集是，
所以和是方程的两根，
所以．
所以＝＝
＝，当且仅当a＝1时等号成立，
所以的最小值为8.
（2）因为关于x的不等式在上恒成立，
所以，所以，解得，
所以a的取值范围为．
21. 某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．
（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？
（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：
①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？
解：（1）由题意可得，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为
，
又，当且仅当，即时，等号成立，
所以每日处理厨余垃圾80吨时，平均成本最低，
又，所以此时处理厨余垃圾处于亏损状态.
（2）若该企业采用第一种补贴方案，设企业每日获利为元，
由题意可得，
因为，所以当时，企业每日获利最大，为1550元，
若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为元，
由题意可得，
因为，所以当时，企业每日获利最大，为1800元，
显然，如果我是决策者，我会选择方案二，企业每日获利较大.
22. 已知函数对任意实数恒有，当时，，且.
（1）判断的奇偶性；
（2）判断函数单调性，求在区间上的最大值；
（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）为奇函数，证明如下：
令，则，所以，
令，则，
所以：对任意恒成立，
所以函数为奇函数.
（2）在上是减函数，证明如下：
任取且，则
，所以，
所以在上为减函数.
当时，单调递减，
所以当时，有最大值为，
因为，所以，
故在区间上的最大值为.
（3）由（2）知在区间上单调递减，
所以，
因为对所有的，恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，即，
解得：或.
故的取值范围为.