[数学][期中]山东省烟台市2023-2024学年高一上学期期中试题(解析版)

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1. 若集合，且，则m的值为（ ）
A. 0B. 1C. 0或1D. 0或﹣1
【答案】B
【解析】因为，所以或，
解得，或或，
当时，，又集合中不能有相同的元素，所以.
故选：B.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据全称命题的否定是特称命题，
命题“”的否定为“”.
故选：A.
3. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A，取，则，此时，故A错误；
对于B，取，则，此时，故B错误；
对于C，取，则，此时，故C错误；
对于D，∵，且，∴，且，
则，即，故D正确.
故选：D.
4. 某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】该户居民去年的用气量为，缴纳的燃气费为元，
当时，，令，解得，不合题意；
当时，，
令，解得，符合题意；
当时，，
令，解得，不合题意，
综上，.
故选：C.
5. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，由函数的图象可知，
由的图象可知且，互相矛盾，故A错误；
对于B，由函数的图象可知，
由的图象可知且，相符，故B正确；
对于C，由函数的图象可知，
由的图象可知且，互相矛盾，故C错误；
对于D，由函数的图象可知，
由的图象可知且，互相矛盾，故D错误.
故选：B.
6. 若函数的图象恒在图象的上方，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数的图象恒在图象的上方，
则恒成立，即恒成立，因为，所以，
解得.
故选：A.
7. 若在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得在上单调递减，
当时，的开口向上，对称轴，
当时，，得，
所以得：，解得：，故D项正确.
故选：D.
8. 已知是定义在上奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】是定义在上的奇函数，则，
又在上单调递增，，
则在上单调递增，，，
所以，当时，；当时，，
可化为，
可得或，
即或，
解得.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 以下各组函数中，表示同一函数的有（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AC
【解析】与的定义域，对应关系均相同，是同一函数，
故A正确；
由解得，则的定义域为，
由解得或，则的定义域为或，
则与的定义域不同，不是同一函数，故B错误；
与的定义域，对应关系均相同，是同一函数，故C正确；
的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，
故D错误.
故选：AC.
10. 给定集合，定义且，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】∵，∴，
∴，
当且仅当时取等号，则，故A正确；
∵，，
由新定义可知，，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知，，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为6
C. 的最大值为0D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A：，
当且仅当时取到等号，A正确；
对于B：，
当且仅当时取到等号，B错误；
对于C：，所以，所以，
因为，所以，
当且仅当取到等号，C正确；
对于D：，
由函数性质易知在单调递增，所以，
所以，故D错误.
故选：AC.
12. 德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献．某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，且满足：①任意，；②；③，则（ ）
A. 在上单调递增B. 的图象关于点对称
C. 当时，D. 当时，
【答案】BCD
【解析】由②得，即，
得，而，得，
∴，故A错误；
由③可知，，即，
则的图象关于点对称，故B正确；
由②得，则，
由③得，即，
由，得，故C正确；
由，得，则，
∵任意，，
∴当时，，即，
∴，即，则，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知为奇函数，则实数a的值为______．
【答案】1
【解析】因为为奇函数，所以，
得，得，得.
故答案为：1.
14. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】不等式的解集记为，
不等式，解得或，解集记为或，
若“”是“”的充分不必要条件，则，所以.
故答案：.
15. 已知命题，为真命题，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意得：当时，，不符题意；
当时，的对称轴为，
所以，只需，解得：，
当时，显然满足题意，
综上，的取值范围为.
故答案为：.
16. 设，，用表示，中较小者，记为，则______；若方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为______.
【答案】2
【解析】，，则；
由，解得，
由，解得或，
则，作出图象，如图，
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
此时方程恰有三个不同的实数解，
则实数c的取值范围为.
故答案为：2 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
所以.
（2）因为，，
所以，解得：.
故的取值范围为：.
18. 已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）根据函数单调性定义，证明在区间上单调递减．
解：（1）因为是定义在R上的奇函数，
所以，当时，．
当时，，又为奇函数，
所以，即．
综上，，，
（2）任取，且，
，
因为，且
所以，，且，
所以，即，
所以，函数在区间上单调递减．
19. 某工厂拟建造一个深为2.5米的长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，总造价不超过3万元，怎样设计水池，才能使其容积最大?最大容积是多少?
解：设池底长为x米，宽为y米，则水池的容积为，
由题意得，
因为，当且仅当时取“＝”，
所以，即，
解得，即．
所以，当，即池底的长和宽均为10米时，其容积最大．
此时，最大容积为立方米.
20. 已知幂函数的图象经过点．
（1）求的解析式；
（2）若存在，使得，求实数a的取值范围．
解：（1）设的解析式为，
则，解得，因此．
（2）因为，所以．
令，则，且．
令，，
因为在单调递增，在单调递减，所以．
因为存在，使得，所以．
所以．又因为，所以的取值范围为.
21. 已知函数满足：，．令．
（1）求值，并证明为偶函数；
（2）当时，．
(i)判断在上的单调性，并说明理由；
(ii)若，求不等式的解集．
解：（1）因为，所以定义域为，
因为，
令，则，所以．
令，则，所以．
令，则，
所以，，
所以为偶函数.
（2）(i)因为，
两边同除以得，即．
任取，且，则，
，
因为当时，，所以，即，
所以在上单调递增．
(ii)因为，所以，
所以原不等式可化为．
又为偶函数，且在上单调递增，
所以，解得或，
所以原不等式的解集为或．
22. 已知函数，，
（1）解关于x的不等式；
（2）从①，②]这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线处，并给出问题的解答．
问题：是否存在正数t，使得 ?若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：（1）由，则，
即，
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式解集为；
③当时，不等式的解集为，
综上，当时不等式的解集为，
时不等式的解集为，
时不等式的解集为.
（2）因为是开口向下的二次函数，
若选择条件①：此时的解集为，
所以，，且，
由，，得，解得，
当时，，此时，
所以，
因此时符合题意；
若选条件②：
此时，，
①当时，在单增，
此时，
且，
所以，此时，矛盾；
②当时，在单减，
此时，
且，
所以，此时，与矛盾；
③当时，在单增，单减，
此时，
且，
所以，解得，
当时，与矛盾；
当时，满足，所以满足要求；
④当时，在单增，单减，
此时，
且，
所以，解得，
当时，与矛盾；
当时，与矛盾，
故正数t的取值为，
综上，若选①则，若选②则.每户每年用气量
单价
不超过的部分
超过但不超过的部分
超过的部分