新高考数学二轮复习核心考点讲与练重难点11九种直线和圆的方程的解题方法（2份打包，原卷版+解析版）

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题型一：直接法求直线方程
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可.
【详解】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为，
则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习（文））若经过点的直线与圆相切，则该直线在y轴上的截距为( )
A．B．5C．D．
【答案】C
【分析】判断P点在圆上，圆心为原点O，则切线斜率为，根据直线方程的点斜式写出切线方程，令x＝0即可求出它在y轴上的截距.
【详解】∵，∴P在圆上，
设圆心为O，则，则过P的切线斜率，
∴切线方程为：，
令得.
故选：C.
3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，圆、在第一象限，且与轴，直线均相切，则圆心、所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设直线的倾斜角为，则为锐角，由已知可得出，求出的值，即可得出直线的方程.
【详解】设直线的倾斜角为，则为锐角，由已知可得，
整理可得，因为，解得.
因此，直线的方程为.
故选：B.
4．（2022·重庆·高三开学考试）若直线交圆于、两点，且弦的中点为，则方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由垂径定理可知，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，
因为弦的中点为，由垂径定理可知，，
，故，因此，直线的方程为，即.
故选：A.
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可.
【详解】当截距为0时，过点和原点，直线方程为，即，
当截距不为0时，设直线方程为，可得，
∴，所以直线方程为,
故选：AC.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．直线与线段有公共点
B．直线的倾斜角大于
C．的边上的中线所在直线的方程为
D．的边上的高所在直线的方程为
【答案】BCD
【分析】因为，，所以可以判断A错误；因为，所以直线的倾斜角大于，B正确；因为求出直线方程可判断C、D.
【详解】
、
因为，，所以直线与线段无公共点，A错误；
因为，所以直线的倾斜角大于，B正确；
因为线段的中点为，所以边上的中线所在直线的方程为，C正确；
因为，所以上的高所在直线的方程为，即，D正确.
故选：BCD
7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l过点P（－1，1），且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与直线l1的斜率互为相反数B．所围成的等腰三角形面积为1
C．直线l关于原点的对称直线方程为D．原点到直线l的距离为
【答案】ACD
【分析】由题直线l与直线的倾斜角互补，可求直线l方程，即可判断.
【详解】由题意可知直线l与直线的倾斜角互补，
所以直线l的斜率为－2，故A正确；
直线l过点P（－1，1），
∴直线方程l为：,
所以所围成的等腰三角形面积为，故B错误；
所以直线l关于原点的对称直线方程为，故C正确；
所以原点到直线l的距离为，故D正确.
故答案为：ACD.
8．（2021·全国·模拟预测）已知平面上的线段及点，任取上一点，称线段长度的最小值为点到线段的距离，记作.已知线段，，点为平面上一点，且满足，若点的轨迹为曲线，，是第一象限内曲线上两点，点且，，则（ ）
A．曲线关于轴对称B．点的坐标为
C．点的坐标为D．的面积为
【答案】BCD
【分析】先确定和对应的图象，然后对进行分类讨论，分别研究点的轨迹，然后对各个选项进行逐一分析判断即可.
【详解】为线段，
：为线段，
又，
①当时，由题意可得，点在轴上；
②当时，，，此时点在轴上；
③当时，为点到的距离，，
此时点的轨迹是一条抛物线，准线方程为，
所以，故抛物线的标准方程为；
④当时，，，
此时点在的中垂线上，而，，中点坐标为，
所以，所以点在直线上，故选项A错误；
又，所以，解得，
故点A的坐标为，故选项B正确；
因为，又点在上，
联立方程组，可得，
所以点B的坐标为，故选项C正确；
，故直线AB的方程为，
则直线与的交点坐标为，
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了动点轨迹的综合应用，考查了抛物线定义的应用以及抛物线标准方程的求解，直线与直线的位置关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.
题型二：待定系数法求直线方程
一、单选题
1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知抛物线：的焦点的坐标为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．=+2D．
【答案】C
【分析】过M作MP与准线垂直，垂足为P，分析得到取得最大值，则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，联立直线和抛物线的方程根据即得解.
【详解】解：过M作MP与准线垂直，垂足为P，则，则当取得最大值，则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，
因为抛物线：的焦点的坐标为，所以.
设切线方程为y＝k（x+2），则，ky2﹣8y+16k＝0，
Δ＝64﹣64k2＝0，k2＝1，则k=±1，
因为点在第一象限且在抛物线上，所以.
则直线方程y＝x+2.
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意设直线的方程为，然后将点代入直线中，可求出的值，从而可得直线的方程
【详解】因为直线与互相平行，所以设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，得，
所以直线的方程为，
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值是（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2或1D．2或1
【答案】D
【分析】对a分类讨论，由截距相等解出的值.
【详解】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；
当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；
当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.
由，解得：.
故的值是2或1.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）过点作直线，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ）条.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据“两坐标轴上截距的绝对值相等”条件进行分类讨论：一是截距相等且不为，二是截距互为相反数且不为，三是截距为
【详解】若截距相等且不为，可以设直线方程为：
将点代入直线方程后可得：
解得：
此时，直线方程为：
若截距互为相反数且不为，可以设直线方程为：
将点代入直线方程后可得：
解得：
此时，直线方程为：
若截距为0，则直线过原点，此时，直线的方程为：.
故选：C
二、多选题
5．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知直线：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．若直线：，则
C．点到直线的距离是
D．过与直线平行的直线方程是
【答案】ACD
【分析】求出给定直线的斜率经计算可判断A，B；求点到直线距离判断C；由平行直线求方程判断D作答.
【详解】直线：的斜率，则其倾斜角为，A正确；
直线：的斜率，显然，，即与不垂直，B不正确；
点到直线的距离，C正确；
设过与直线平行的直线方程是，则有，解得，
所以过与直线平行的直线方程是，D正确.
故选：ACD
6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．已知点，，若直线与线段有交点，则或
B．是直线：与直线：垂直的充分不必要条件
C．经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为
D．已知直线，：，，和两点，，如果与交于点，则的最大值是.
【答案】ABD
【分析】利用数形结合可判断A，利用两条直线垂直的条件及充分条件必要条件的定义可判断B，可求出过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程判断C，利用条件可得两直线垂直，再利用基本不等式可求最值判断D.
【详解】对于A，∵直线过定点，又点，，
∴，
如图可知若直线与线段有交点，则或，故A正确；
对于B，由直线：与直线：垂直得，
，解得或，
故是直线：与直线：垂直的充分不必要条件，故B正确；
对于C，当直线过原点时，直线为，
当直线不过原点时，可设直线为，代入点，得，
所以直线方程为，
故经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为或，故C错误；
对于D，∵直线，：，
又，所以两直线垂直，
∴，
∴，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ABD
7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．若直线与直线互相垂直，则
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．四点不在同一个圆上
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】ACD
【分析】当时，两直线互相垂直，所以选项A不正确；
直线，，所以的取值范围是；所以选项B正确；
由题得,所以四点在同一个圆上，所以选项C不正确；
截距都相等的直线方程为或，所以选项D不正确.
【详解】解：当时，直线与直线也互相垂直，所以选项A不正确；
直线的倾斜角，可得，，所以的取值范围是；所以B正确；
由题得,
，所以,所以四点在同一个圆上，所以选项C不正确；
经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，或，所以D不正确；
故选：ACD
8．（2021·全国·高三专题练习）直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由于直线在轴、轴上的截距相等，设直线为：或，利用圆心到直线的距离为半径，即得解
【详解】由于直线在轴、轴上的截距相等，设直线为：或
由于直线与圆相切，
故圆心到直线的距离等于半径

或
故直线的方程为：
故选：ACD
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系和直线的截距，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于中档题
三、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线C交于，两点，若，则直线AB的方程为______．
【答案】或
【分析】由题意设直线AB的方程为，其中，代入抛物线方程消去，利用根与系数的关系，再对两边平方化简变形，结合前面的式子可求出，从而可求出直线AB的方程
【详解】焦点F的坐标为，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，其中，
联方程消去y后整理为，
可得，，
则，解得．
故直线AB的方程为或，
即或，
故答案为：或
10．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））若过点的直线将圆的周长分为两部分，则直线的斜率为___________.
【答案】或
【分析】直线将圆的周长分为2:1的两部分，则直线与圆相交的弦长对应的圆心角为，可求出圆心到直线的距离，从而求得直线斜率.
【详解】易知直线将圆的周长分为2:1的两部分，直线与圆相交的弦长对应的圆心角为，
圆心到直线的距离为，设直线方程为，
由点到直线距离公式有，
则，解得或.
故答案为：或.
四、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，直线：.
(1)过点，作圆的切线，求切线的方程；
(2)判断直线与圆是否相交，若相交，求出直线被圆截得的弦长最短时m的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.
【答案】(1)或(2)相交，，最短弦长
【分析】（1）由直线与圆相切的关系，利用待定系数法求解即可；
（2）先判断点在圆的内部，直线与圆相交，则最短弦与过该点的直径垂直，即可求解
(1)当斜率存在时，设切线方程为
∴
解得
∴.
当斜率不存在时，方程为与圆相切满足条件..
∴切线方程为或.
(2)直线：
∴直线过的交点
又∵满足
∴点在圆的内部
∴直线与圆相交
又，
∴最短弦的斜率为-1，即，，
∴最短弦的方程为，
∴
∴最短弦长为.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由可以求出，将点代入椭圆方程可以解出与的值，即可得出答案；（2）当直线与轴垂直时，可以求出两点的坐标，即可求出的面积，经计算不符合题意；当直线与轴不垂直时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用弦长公式可以表示出，利用点到直线的距离公式可以表示出到直线的距离，进而得到的面积表达式，求得的值即可得到直线的方程．
【详解】（1）因为所以，
又点在该椭圆上，所以，
又，
解得，，
所以椭圆C的方程为.
（2）①当直线与轴垂直时，可得，
的面积为3，不符合题意．
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
代入椭圆的方程得，
显然成立，设
则，，
所以，
用点到直线距离公式可得到直线的距离，
所以的面积，
化简得解得，
因此直线的方程为或.
【点睛】处理涉及直线和圆锥曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而是用韦达定理作整体运算（把或看作一个整体）．
题型三：已知两直线位置关系求参数值或范围
一、单选题
1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线，，且，点到直线的距离（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据两直线垂直公式求得，再用点到线的距离求解即可
【详解】由可得，解得，故
故选：D
2．（2022·辽宁·二模）己知直线，直线，则的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行的充要条件即可解出．
【详解】因为直线，直线，易知时，两直线垂直，
所以的充要条件是，即．
故选：A．
二、多选题
3．（2021·重庆一中高三阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．若，则“”是“：与：平行”的充要条件
B．当圆截直线：所得的弦长最短时，
C．若圆：与圆：有且仅有两条公切线，则
D．直线：的倾斜角为139°
【答案】AD
【分析】由直线平行的条件求得参数值判断A，求出直线所过定点，当直线与定和圆心连线垂直时，弦长最短计算后判断B，由两圆位置关系判断C，根据直线的斜率与倾斜角的关系判断D．
【详解】对于A：时，：，：，显然，
反之，若，则有或，
检验知时，重合，故，所以A对；
对于B：圆心，恒过，由圆性质知弦长最短时，，
所以，所以B错；
对于C：圆心，，，半径，，
由题知两圆相交，因此，即：，
解得，所以C错；
对于D：直线的斜率，所以D对．
故选：AD.
4．（2021·广东·高三阶段练习）已知直线过点且与圆：相切，直线与轴交于点，点是圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．点的坐标为
B．面积的最大值为10
C．当直线与直线垂直时，
D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合直线与圆，点与圆的位置关系，以及垂直直线的斜率关系和正切的二倍角公式，一一判断即可.
【详解】根据题意，易知点在圆上.
因为，所以直线的斜率，因此直线的方程为，
令，得，因此点的坐标为，故A正确；
因为点是圆上的动点，所以点到直线的最大距离，
又因为，所以面积，故B正确；
因为直线：与直线垂直，所以，解得，故C错误；
当直线与圆相切时，锐角最大，即最大，此时，
因为，所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
5．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））若双曲线的一条渐近线与直线平行，则直线，间的距离为______．
【答案】
【分析】根据双曲线的方程得出双曲线的一条渐近线为，再利用两直线平行的条件，结合平行线间的距离公式即可求解
【详解】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为，
因为，所以，解得，
所以直线l的方程为，直线g的方程为，
所以l，g之间的距离为.
故答案为：.
6．（2022·天津·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，则直线的方程为___________.
【答案】
【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，可得直线与圆心所在的直线平行，即可求得结果
【详解】将圆，
化为标准方程为，则
圆心，半径，
令，消去，得，
所以圆心在直线上，
因为直线经过点，对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，
所以直线与圆心所在的直线平行，
所以设直线为，
将代入，得
，得，
所以直线的方程为
故答案为：
四、解答题
7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限．
(1)求的坐标；
(2)若直线，且l也过切点，求直线l的方程．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）设点，求出给定函数的导数，再利用导数的几何意义，列式计算作答.
（2）求出直线l的斜率，由（1）的结论结合直线的点斜式方程求解作答.
(1)由求导得：，设切点，而点在第三象限，即，
依题意，，解得：，此时，，显然点不在直线上，
所以切点的坐标为.
(2)直线，而的斜率为4，则直线l的斜率为，
又l过切点，于是得直线l的方程为，即，
所以直线l的方程为：.
8．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆，A是第一象限内的一点，其坐标为．

（1）若，求t的值；
（2）过A点作斜率为k的直线l，
①若直线l和圆，圆均相切，求k的值；
②若直线l和圆，圆分别相交于和，且，求t的最小值．
【答案】（1）；（2）①或；②．
【分析】（1），利用数量积坐标公式代入计算即可求得t的值；
（2）①设直线，由直线l和圆，圆均相切，根据点到直线的距离等于半径，计算可求k的值；
②设直线l：，由弦心距公式及，化简得，通过分离常量化简，构造函数借助基本不等式可求t的最小值．
【详解】解：（1）因为，，，所以，因为，所以，又，所以，所以A点的坐标为．
（2）①设直线，则，所以，因为，所以．
因为直线l和圆，圆均相切，所以，所以，所以或，即或，
当时，得；当时，得，总之，．
将代入得；将代入得，故k的值为或．
②直线l的方程为，即，到直线l的距离，所以，
同理，
因为，所以，
且，
将化简得，因为，所以，所以，，
设，则，
等号当且仅当即时取得，
所以，等号当且仅当时取得．
当时，成立，故t的最小值为．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，考查了数量积在求参数中的应用，考查了基本不等式在求范围中的应用，着重考查了分析问题与运算能力，属于难题.
题型四：求解直线的定点
一、单选题
1．（2022·山东滨州·二模）已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
【答案】D
【分析】求出直线l过的定点，再判断此定点与圆C的位置关系即可作答.
【详解】直线，即，
由解得，因此，直线恒过定点，
又圆，即，显然点A在圆C外，
所以直线与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确.
故选：D
2．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系中，已知圆，若曲线上存在四个点，过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先设，根据求出点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，即可得到 的取值范围
【详解】设，则，解得（舍去）或=4，
所以点P的轨迹方程为，曲线过点（1，2）且关于直线x=1对称，
由题可知k<0.当直线与相切时，解得k=或.
所以k的取值范围为
故选：A
二、多选题
3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当为正三角形时，
C．当时，的取值范围为
D．当时，的最大值为
【答案】BD
【分析】根据直线过定点判断A，根据圆的切线的性质判断B，求出点的轨迹方程，根据点到直线的距离公式得到不等式，解得即可判断C，根据数量积的几何意义得到，从而得到，再利用基本不等式判断D；
【详解】对于A，直线恒过定点，故A错误；
对于B，因为为正三角形，则，所以，故B正确；
对于C，因为，所以四边形为正方形，则，
所以点的轨迹方程为，问题转化为直线与点的轨迹有公共点，
所以，即，所以的取值范围为，故C错误；
对于D，因为，则，即，
由，所以，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：BD.
4．（2022·江苏盐城·三模）设直线l：，交圆C：于A，B两点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线l恒过定点
B．弦AB长的最小值为4
C．当时，圆C关于直线l对称的圆的方程为：
D．过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为点M，则线段MC长的最小值为
【答案】BC
【分析】A.由直线过定点求解；B.由CP垂直l求解； C.求得点关于直线的对称点求解；D.由垂足为时，线段MC长最小求解.
【详解】直线的方程可化为，过定点，即A错误；
设，则圆心到直线的距离，且半径，
所以最小弦长为，即B正确；
时，直线方程为，则点关于直线对称的点为，即C正确；
当垂足为时，，即D错误．
故选：BC
5．（2022·重庆·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的值可能为（ ）
A．-7B．-5C．-2D．–1
【答案】ABC
【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出k的取值范围.
【详解】设，连接，设，
则，，
所以，
又，
所以
令，则有，
解得：或
因为在单位圆外，所以舍去，
即在以原点为圆心，半径为2的圆上，
因为曲线上存在四个点（i＝1，2，3，4），
即与圆有4个交点，
结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可，
所以，解得：或（舍去），
故选：ABC
【点睛】数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点
三、双空题
6．（2022·北京房山·二模）已知圆和直线，则圆心坐标为___________；若点在圆上运动，到直线的距离记为，则的最大值为___________.
【答案】 ##
【分析】由圆的标准方程可得圆心坐标；根据直线过定点，可知当时，圆心到距离最大，则.
【详解】由圆的方程知：圆心坐标为；
由直线方程知：恒过点，则，
当时，圆心到距离最大，
又圆的半径，.
四、填空题
7．（2022·河南焦作·三模（文））已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】将方程的根转化为图象交点问题，画出图象，数形结合进行求解.
【详解】方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．
作出和的图象如图所示．
当时，只需直线与圆相离，可得；
当时，只需直线与圆相切，可得．
故k的取值范围是．
故答案为：
五、解答题
8．（2022·全国·高三专题练习）为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点在直线上，且，直线过点且垂直于，求证：直线过定点.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）用相关点法求点的轨迹方程；
（2）先表达出条件，再转换成直线过定点的具体条件.
(1)设，，则，，，
由得：，，
因为点在椭圆上，所以，
即点的轨迹方程：；
(2)由题意设，则，
由得：，，，
，
，
由已知得，
直线的方程：，
所以直线恒过定点.
9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与此椭圆分别交于点，、，，其中，，
(1)设动点满足，求点的轨迹方程；
(2)设，，求点的坐标；
(3)若点在点的轨迹上运动，问直线是否经过轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
【答案】(1)(2)(3)是，
【分析】（1）直译法求轨迹；
（2）求解直线的交点可得点的坐标；
（3）先表达出直线的方程，再去求定点.
(1)由椭圆可得：，，.
，.
设，则，.
满足，
，，，
，化简得，
故的轨迹方程为
(2)由及得，则点，
从而直线的方程为；
同理可以求得直线的方程为
联立两方程可解得
点的坐标为.
(3)假设直线过定点，由在点的轨迹上，
直线的方程为，直线的方程为
点，满足得，
又，解得，从而得.
同理：，.
直线的方程：，
令，解得.
直线经过定点.
题型五：直线相关的对称问题
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））集合在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为.若集合，，则下列说法中不正确的有（ ）
A．若，则实数的取值范围为B．存在，使
C．无论取何值，都有D．的最大值为
【答案】B
【分析】对于A，要使，只要原点到直线的距离小于等于5即可，从而可求出的取值范围；对于B，C，由于直线过定点，而点在圆内，从而可得；对于D，设原点到直线的距离为，则，分母有理化后可求出其最大值，从而可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确.
对于B和C，直线过定点，因为，故C正确，B错误.
对于D，设原点到直线的距离为，，则，当最大时，取最大值，于是的最大值为，故D正确.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数,都有,则向量与夹角的最大值的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系,设出相关向量,通过分析位置,寻求临界值.
【详解】设.
如图,不妨设.
设为AB的中点,为OC的中点,为BD的中点,为AD的中点.
则.
,点在平行四边形内(含边界).
由题知恒成立.
为了使最大,则思考为钝角,即思考点在第一或第四象限.
思考临界值即与重合,与重合,且GM不能充当直角三角形斜边,否则可以改变的位置，使得
所以,即
即,即.
所以.
所以
所以向量与夹角的最大值的余弦值为
故选:A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用已知条件转化出所在的位置.
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ）
A．四边形MACB面积的最小值为B．最大度数为60°
C．直线AB过定点D．的最小值为
【答案】AD
【分析】，当时有最小值，求出可判断A；当时最大，可判断B；设点，，，求出直线的方程，整理得，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D.
【详解】对于A选项，由题意可知，当时，有最小值，即，此时，所以四边形MACB面积的最小值为，故选项A正确；
对于B选项，当时，最大，此时，此时，故选项B错误；
对于C选项，设点，，，则，易知在点A、B处的切线方程分别为，，将点分别代入两切线方程得，，所以直线方程为，整理得，代入，得，
解方程组得所以直线AB过定点，故选项C错误；
对于D选项，设直线AB所过定点为P，则，当时，弦长最小，此时，则的最小值为，故选项D正确，故选：AD.
4．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．若圆C关于直线l对称，则
C．若，则或D．若A，B，C，O四点共圆，则
【答案】ACD
【分析】判断出直线过定点，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】直线过点，
圆，即①，
圆心为，半径为，
由于，所以在圆内.，
所以，此时，所以A选项正确.
若圆关于直线对称，则直线过两点，斜率为，所以B选项错误.
设，则，此时三角形是等腰直角三角形，
到直线的距离为，即，
解得或，所以C选项正确.
对于D选项，若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为，
的中点为，，
所以的垂直平分线为，则②，
圆的方程为，
整理得③，
直线是圆和圆的交线，
由①-③并整理得，
将代入上式得，④，
由②④解得，
所以直线即直线的斜率为，D选项正确.
故选：ACD
【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断.
三、填空题
5．（2022·全国·模拟预测）已知平面内点，，点满足．设到直线的距离的最大值为，若数列的前n项和恒成立，则实数m能取的最小值是______．
【答案】
【分析】易知点在圆上，先求得圆心O到直线的距离，进而得到点到直线的距离的最大值，即，再利用裂项相消法求解.
【详解】解：因为的中点为坐标原点O，且，
所以，
则点在圆上，且圆心为O，半径．
又坐标原点O到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为，
所以，
则，
所以，
，
．
因为恒成立，
所以，
即实数m能取的最小值是．
故答案为：
6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆和圆交于两点，直线与直线平行，且与圆相切，与圆交于点，则__________．
【答案】4
【分析】由题可得，利用点到直线的距离公式可得，然后利用弦长公式即得.
【详解】由圆，可知圆心，半径为2，圆，可知圆心，半径为，
又，，
所以可得直线，
设，直线与圆相切，则。
解得，或，
当时，，
∴，
当时，，，故不合题意.
故答案为：4.
7．（2022·广东佛山·模拟预测）已知点，，若，则点P到直线l：的距离的最小值为____________．
【答案】
【分析】先设P的坐标，根据得到P的轨迹方程为圆，利用圆心到直线的距离减去半径即为P到直线l的最小值
【详解】设点P的坐标为，
，
即P的轨迹是以为圆心，半径为的圆
点到直线l的最短距离为，则可得点P到直线l的距离的最小值为．
故答案为：
四、解答题
8．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．
(1)求C与坐标轴交点的直角坐标；
(2)以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由.
【答案】(1)，，；(2)共圆，．
【分析】(1)分别令x=0和y=0即可求解；(2)假设(1)中三点共圆，设该圆的平面直角坐标方程为，根据三点坐标列方程组求出D、E、F即可得该圆的平面直角坐标方程，代入和化简即可得该圆的极坐标方程．
(1)令，解得或，
当，，交点，
当，，交点；
令，解得或，
当，，交点，
当，，交点；
∴C与坐标轴交点的直角坐标为，，；
(2)假设圆M：过，，三点，
则，解得，
即过曲线C与坐标轴交点的圆的方程为．
由，得所求圆的极坐标方程为．
9．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线，圆，圆
(1)若，求直线的倾斜角；
(2)设直线截两圆的弦长分别为，当时，求的最大值并求此时的值.
【答案】(1)；(2)，
【分析】（1）先由的方程求出斜率，设直线的倾斜角为，再利用，结合诱导公式即可求出直线的倾斜角；
（2）先求出圆心到直线的距离，由圆心到直线的距离小于半径求出的范围，再通过弦长公式求出，由结合基本不等式求得的最大值即可.
(1)若，则直线，易知直线斜率为，设直线的倾斜角为，
则，又，故，故直线的倾斜角为；
(2)当时，直线，易知圆心，半径，圆心，半径，
且，即或；圆心到直线的距离为，由圆和直线相交得，
解得，则；圆心到直线的距离为，
由圆和直线相交得，解得或，则，
故或，又，，故，
即，故，当且仅当时即取等.
故的最大值为，此时.
10．（2022·江西南昌·一模（理））已知面积为的等边（是坐标原点）的三个顶点都在抛物线上，过点作抛物线的两条切线分别交轴于，两点.
(1)求的值；
(2)求的外接圆的方程.
【答案】(1)1；(2).
【分析】（1）根据面积求出等边三角形的边长，进而求出点A的坐标，从而求出p的值；
（2）设出切线方程，并与抛物线E的方程联立，借助判别式切线方程，可求出点M，N的坐标，然后由几何法求出圆的方程作答.
(1)依题意，不妨令点A在第一象限，设，，则有，，
因是等边三角形，即，则，即，
整理得：，而，于是得，有，
因此，点A，B关于x轴对称，而，则直线OA的倾斜角为，从而得，，
又等边的面积为，于是得，即，解得，点，
因此，，解得，
所以.
(2)由（1）知，抛物线的方程为：，点，显然过点P的抛物线E的切线不垂直于坐标轴，
设过点的抛物线的切线方程为：，由消去x并整理得：，
从而得，解得，，
依题意，所对切线为，由得，不妨令该切线与y轴交于点，
所对切线为，由得，该切线与y轴交于点，
的外接圆的圆心C在线段MN中垂线：上，设点，
由得，解得，即点，圆半径，
所以的外接圆的方程为：.
【点睛】方法点睛：几何法求圆的方程，就是解题过程中要用到圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线.
题型六：几何法求圆的方程
一、多选题
1．（2022·广东·模拟预测）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆的圆心在的欧拉线上，为坐标原点，点与点在圆上，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的方程为
B．的方程为
C．圆上的点到的最大距离为
D．若点在圆上，则的取值范围是
【答案】BCD
【分析】分析可知的欧拉线即为的中垂线，求出线段的中垂线方程，可判断B选项；根据题意可设，求出的值，可得出圆的方程，可判断A选项；求出圆上的点到的最大距离，可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项.
【详解】对于B选项，由题意可知，故的欧拉线即为线段的中垂线，
线段的中点为，直线的斜率为，
所以，线段的垂直平分线方程为，即，B对；
对于A选项，因为圆的圆心在的欧拉线上，
因为，，，所以，
设圆心为，则圆的方程为，
将代入圆的方程可得，解得或，
所以，圆的方程为或，A错；
对于C选项，因为过圆心，所以圆上的点到的最大距离为圆的半径，C对；
对于D选项，因为点在圆上，设，圆心在上，半径为，
则，D对．
故选：BCD.
二、填空题
2．（2022·河北·模拟预测）圆心为，且截直线所得弦长为的圆的方程为___________.
【答案】
【分析】由题知圆心为，到直线的距离为，进而根据弦长得圆的半径，再根据标准方程求解即可.
【详解】解：由题知，圆心为，到直线的距离为，
因为圆心为，且截直线所得弦长为，
所以，圆的半径为，
所以，所求圆的方程为.
故答案为：
3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知㮋圆：的离心率为，和是的左右焦点，M是上的动点，点N在线段的延长线上，，线段的中点为P，则的最大值为______．
【答案】3
【分析】由已知，根据离心率为，先求解出㮋圆的方程，在利用椭圆的定义得到动点N的轨迹方程，然后利用和线段的中点为P，设P点坐标，并用P点坐标表示动点N，带入动点N的轨迹方程，即可求解出动点N的轨迹方程，然后利用圆心与的位置关系即可完成求解.
【详解】由条件得，∴，∴㮋圆的方程是，
∴，．由于点N在线段的延长线上，，
所以，∴点N的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆，
方程为．
设，则关于对称的点的坐标为，
∴，化简得点P的轨迹方程为，
即点P的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，
所以，的最大值为3．
故答案为：3.
4．（2022·天津·高三专题练习）已知圆C过点两点，且圆心C在x轴上，经过点且倾斜角为钝角的直线l交圆C于A，B两点，若(C为圆心)，则该直线l的斜率为________．
【答案】
【分析】根据圆的性质可知圆心为PQ中垂线与x轴的交点，据此即可求出圆心坐标和半径；由题可知△CAB为等腰直角三角形，于是可求圆心到直线l的距离，再根据点到直线距离公式即可求出直线l的斜率.
【详解】由题可知，为圆C的弦，则圆心C在PQ中垂线上，又∵圆心在x轴上，
故圆心坐标为C(1，0)，故圆的半径，
∵过点的直线l交圆C于A，B两点，若(C为圆心)，
故△CAB为等腰直角三角形，，
则圆心C到AB即直线l的距离，
设l为：，即，
则，，.
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若|PA|＝|PT|，则实数k的取值范围是______________．
【答案】
【分析】设P(x,y)，由已知条件并利用两点距离公式、圆切线长列方程求P的轨迹方程，再由直线l与轨迹的位置关系求参数范围.
【详解】由题意，A(－2,0)，C(2,0)，设P(x,y)，由|PA|＝|PT|，
所以|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，化简得(x－6)2＋y2＝36，
所以点P在以(6,0)为圆心，6为半径的圆上，
由题意知，直线y＝k(x＋2)与圆(x－6)2＋y2＝36有公共点，
所以，解得．
故答案为：
三、解答题
6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））拋物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点M的坐标为，与直线l相切．
(1)求抛物线C和的标准方程；
(2)已知点，点，是C上的两个点，且直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，(2)相切，理由见解析
【分析】（1）由题意设拋物线C的方程为，将代入可求出P，Q两点坐标，再由可得，从而可求得的值，则可得抛物线的方程，由题意可得的半径为2，从而可求出的方程，
（2）由已知可得在抛物线上，设，，则可得， 从而可表示出直线的方程，由于直线与圆相切，所以由圆心到直线的距离等于半径，可得，同理得的方程为，所以可得
直线方程为，进而可求出点M到直线距离，由此可得结论
(1)由已知，设拋物线C的方程为（），
当时，，则，
所以不妨设 ，，
因为，所以，
所以，解得
所以抛物线C的，
因为与直线l：相切，，
所以的半径为2，
所以的方程
(2)由已知可得在抛物线上，设，
所以，
所以的点斜式方程为
整理可得，
此直线与圆相切，可得，
平方后可得
又因为
化简得，
同理：的方程为，
所以直线方程为，
所以点M到直线距离为，
所以直线与相切
7．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知O为坐标原点，抛物线E：（p＞0），过点C（0，2）作直线l交抛物线E于点A、B（其中点A在第一象限），且（＞0）.
(1)求抛物线E的方程；
(2)当=2时，过点A、B的圆与抛物线E在点A处有共同的切线，求该圆的方程
【答案】(1)(2)
【分析】（1）可设直线l的方程为，，联立方程，利用韦达定理求得，再根据，求得，即可得解；
（2）联立方程，利用韦达定理求得，当时，知，从而可求得点的坐标及直线方程，再根据导数的集合意义可求得点A且与切线垂直的直线方程，从而可求得圆心及半径，即可得解.
(1)解：直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为，
设直线l与抛物线的交点坐标为，
A、B在抛物线上，则=，
由消y并整理成，
所以，
又，则，所以，
所以，
所以抛物线E的方程为 ；
(2)解：由消y并整理成，
所以，
当时，知，
又，所以，
所以线段AB的中点坐标为，A的坐标为，
线段AB的垂直平分线方程为，即，
求导得，
抛物线E在点A处的切线斜率为2，
过点A且与切线垂直的直线方程为，即，
由及得圆心坐标为，
圆的半径为，
所以所求的圆方程为.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍．
（1）求点的轨迹方程：
（2）若点与点关于点对称，求、两点间距离的最大值；
（3）若过点的直线与点的轨迹相交于、两点，，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）14；（3）存在；或．
【分析】（1）由已知列关于，的方程化简即可求得点的轨迹方程；
（2）设，由点与点关于点对称，可得点坐标为，把的坐标代入（1）中的轨迹方程，整理可得点的轨迹方程为，由此可得、两点间距离的最大值；
（3）由题意知的斜率一定存在，设直线的斜率为，且，，，，则，联立直线与圆的方程，由判别式大于0求得的范围，再求出及到直线的距离，代入三角形面积公式，利用配方法求最值，得到值，可得直线方程．
【详解】解：（1）由已知，．
，即，
（2）设，因为点与点关于点对称，
则点坐标为，
点在圆上运动，
点的轨迹方程为，
即：，
；
（3）由题意知的斜率一定存在，设直线的斜率为，且，，
则：，
联立方程：，
，
又直线不点，．
点到直线的距离，，
，
，，
当时，取得最大值，此时，，
直线得方程为或．
题型七：待定系数法求圆的方程
一、单选题
1．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知圆的半径为1，若此圆同时与 轴和直线 相切，则圆的标准方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设圆的方程为，依题意利用圆心到直线的距离等于半径得到方程组，解得即可；
【详解】解：设圆的方程为，圆心为，半径，
依题意，解得或或或，
所以圆的方程为或
或或；
故选：A
二、填空题
2．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数.过点作曲线两条切线，两切线与曲线另外的公共点分别为B、C，则外接圆的方程为___________.
【答案】(或 )
【分析】求f(x)的导数，设切点为，根据直线点斜式方程求出切线方程，将A的坐标代入求出切点坐标，联立切线方程和y=f(x)求得B、C坐标，设△ABC外接圆方程为，代入A、B、C三点坐标得方程组，解方程组即可得到圆的方程．
【详解】∵，
∴
．
则，设y=f(x)切线的切点为，
则切线方程为：，
∵切线过A(-1，0)，∴
即
当时，，即，即，解得．
∴，，，．
①当切点为A时，切线方程为，
由解得或，则不妨设B(5，6)；
②当切点为(2，-3)时，切线为，即，
由解得或，则不妨设C(2，-3)；
故，，，设△ABC外接圆为，
则，解得，
∴所求圆的方程为．
故答案为：．
【点睛】本题关键是熟练掌握曲线切线的求法，设出切点，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过A求出切点坐标，再求出B、C两点坐标，采用待定系数法即可求出圆的方程．
3．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为点A，B，以为直径的圆交x轴于P，Q两点，则_______．
【答案】8
【分析】先利用导数和切线方程求出A，B坐标，即可求出圆心和半径，即可得到圆的方程，令y=0，求出.
【详解】抛物线可化为：.设.
由题意可得：，解得：，同理可求：，
所以直径长为，圆心为（2，3），
所以以为直径的圆为.
令y=0，解得：，所以.
故答案为：8
4．（2022·天津·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点位于第一象限，且满足，则以点为圆心，为半径的圆的方程为______.
【答案】
【分析】设，根据抛物线的定义求得，进而求出，结合圆的标准方程即可得出结果.
【详解】由题意，抛物线，可得焦点，
设，根据抛物线的定义，可得，
解得，代入方程，由可得，
即，又，
所以圆的方程为：.
故答案为：.
三、解答题
5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，且直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为.点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋1与圆C交于A1，A2两点，求；
(3)求证：|AN|·|BM|为定值.
【答案】(1)x2＋y2＝4；(2)3；(3)证明见解析.
【分析】（1）设C(a，a)，解方程＝＋3，即得解；
（2）将y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0.设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，再利用韦达定理和数量积公式求解；
（3）当直线PA的斜率不存在时，|AN|·|BM|＝8. 当直线PA与直线PB的斜率都存在时，设P(x0，y0)，求出的坐标，再代入数量积公式化简即得证.
(1)解：由题知圆心C在线段AB的中垂线y＝x上，
故可设C(a，a)，圆C的半径为r.
因为直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2，且r＝，
所以C(a，a)到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝，
由r2＝d2＋3得＝＋3，
即a2－170a＝0，
所以a＝0或a＝170.
又圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，
所以a＝0，圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)解：将y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0.
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，
则x1＋x2＝－1，x1x2＝－.
所以＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)
＝2x1x2－(x1＋x2)＋5＝－3＋1＋5＝3.
(3)证明：当直线PA的斜率不存在时，|AN|·|BM|＝8.
当直线PA与直线PB的斜率都存在时，设P(x0，y0)，
直线PA的方程为y＝x＋2，
令y＝0得M.
直线PB的方程为y＝ (x－2)，令x＝0得N.
所以|AN|·|BM|＝
＝4＋4
＝4＋4×
＝4＋4×＝8，
故|AN|·|BM|为定值8.
6．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知圆过点，，．
(1)求的标准方程；
(2)若点在上运动，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设的一般方程为，进而待定系数法求解，最后化为标准方程即可；
（2）设，进而根据圆心到直线的距离满足求解即可.
(1)设的一般方程为，
则解得，
故的一般方程为，
化标准方程为．
所以的标准方程为
(2)解：由（1）知圆的圆心为，半径为，
设，
所以的圆心到直线的距离满足，
解得，
故的取值范围为．
7．（2021·全国·模拟预测）已知点在抛物线：上，过点作圆：的两条切线，切点为，，延长，交抛物线于，.
（1）当直线抛物线焦点时，求抛物线的方程与圆的方程；
（2）证明：对于任意，直线恒过定点.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）由点在抛物线上，求出，利用，，，四点共圆知是以为直径的圆和圆的公共弦，求出圆方程，通过两圆方程相减可得的方程，利用过拋物线焦点，可求出；
（2）设出点，坐标及直线，的方程，利用圆心到切线距离等于半径，建立，的关系，再联立切线与抛物线方程，可建立，与，的关系，代入直线的方程，即可证明直线过定点.
【详解】（1）因为点在抛物线：上，所以，解得，
所以抛物线的方程为.
以为直径的圆的方程为.
依题意，直线是圆和圆的公共弦，则直线的方程为.
又直线经过抛物线焦点，所以，
所以圆的方程为.
（2）证明：设，，则的方程为.①
设直线的方程为，
即.
依题意得
即.
设直线的方程为，
同理可得，
则，.
联立消去并整理得.
因为点，在直线上，所以，
同理可得，
于是，
，
代入①中得，
即，
所以直线过定点.
8．（2019·云南·二模（理））已知是坐标原点，抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交抛物线于、两点，为抛物线的准线上一点，且.
（1）求点的坐标；
（2）设与直线垂直的直线与抛物线交于、两点，过点、分别作抛物线的切线、，设直线与交于点，若，求外接圆的标准方程.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由题易知直线的方程为：，设，联立，可得
，又因为，可得建立方程求得，可得结果；
（2）设出直线：，即可已知得：，：，联立方程求得点，利用向量数量积为0，解得，代入可得OM垂直ON，即为外接圆的直径，最后求得答案即可.
【详解】解：（1）由已知得直线的方程为：，设.
由得，.∴.
由得.
∴，解得.
∴点的坐标为.
（2）设，，直线：，
由已知得：，：，
解得.∴.
由得.由题意得，即.
∴，.
∵，∴，解得.∴，
∴.∴.∴为外接圆的直径.
又∵，
，
∴外接圆的圆心为，半径为.
∴外接圆的标准方程为.
【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合知识，理解题意，分析转化是解题的关键，属于难题.
直线与圆锥曲线解题步骤：
(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；
（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；
（3）转化，由题已知转化为数学公式；
（4）计算，细心计算.
题型八：几何法求弦长
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知直线 l 过点，则直线 l 被圆O：截得的弦长的最小值为（ ）
A．3B．6C．D．
【答案】B
【分析】由题可知当OA与直线 l 垂直时，所截得的弦长最短，利用弦长公式即得.
【详解】依题意可知在圆内，且，圆O的半径为．
当OA与直线 l 垂直时，所截得的弦长最短，
即弦长的最小值为.
故选：B．
2．（2022·全国·模拟预测）过点，作倾斜角为的直线l，则直线l被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题，由点斜式写出直线，由点线距离公式求出圆心到直线距离，可结合垂径定理得出所截弦长
【详解】依题意，直线l的方程为，即，则圆心O到直线l的距离.又因为圆的半径，所以所求的弦长为，
故选：D.
二、多选题
3．（2022·广东·模拟预测）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则（ ）
A．线段的长度大于
B．线段的长度小于
C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为
D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为
【答案】AD
【分析】根据圆的切线的几何性质可求得，确定，可求得，即可判断A,B; 当直线与圆相切时，设直线的方程，利用和圆相切可得，继而求得原点到直线的距离，判断C; 当直线平分圆的周长时, 直线过点,设直线方程，可得，由此求得原点到直线的距离，判断D.
【详解】如图示： ,
根据直角三角形的等面积方法可得， ,
由于，故，
由于，故A正确，B错误；
当直线与圆相切时，由题意可知AP斜率存在，
故设AP方程为 ，
则有 ，即 ，
即 或 ，
设原点到直线的距离为d,则 ，
当时， ；当时，，故C错误；
当直线平分圆的周长时，即直线过点,
AP斜率存在，设直线方程为，即 ，
则 ，即，
故原点到直线的距离为,则 ，故D正确；
故选:AD
三、填空题
4．（2022·河北唐山·三模）直线与圆交于A、B两点，且，则实数_______．
【答案】或5
【分析】设AB中点为D，则CD⊥AB，且DB=DA，根据化简即可求得圆心C到直线l的距离，再根据点到直线的距离公式即可求出m的值．
【详解】，则圆心，半径，
设AB中点为D，则CD⊥AB，且DB=DA，
则
，
即，
∴或5．
故答案为：或5．
四、解答题
5．（2022·全国·高三专题练习）已知点，不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于，两点.
(1)若M为线段AB的中点，证明：；
(2)设C的左焦点为F，若M在∠AFB的角平分线所在直线上，且l被圆截得的弦长为，求l的方程.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）把A，B两点坐标代入椭圆方程相减，结合中点坐标公式得直线斜率与的关系，由点在椭圆内部，得参数范围，从而可得直线斜率范围，得结论；
（2）先说明直线斜率不可能为0，然后设直线方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由轴，MF平分，得，代入韦达定理的结果可得值，再利用圆的弦长求得得直线方程．
(1)证明：因为A，B在椭圆上，所以，
两式相减可得，，
所以，
因为M为AB的中点，故点M在椭圆C的内部，所以，
又，所以，故；
(2)解：①当l的斜率为0时，l被圆截得的弦长为4，不符合题意；
②当l的斜率不为0时，设直线，
联立方程组，可得，
则，即，
且，，
又，则轴，因为MF平分，
所以，即，
可得
解得，所以直线l的方程为，
由l被圆截得的弦长为，
则圆心O到直线l的距离，
解得，满足，
所以直线l的方程为.
6．（2021·湖北·武汉市第六中学高三阶段练习）已知圆O：x2＋y2=2，过点A（1，1）的直线交圆O所得的弦长为，且与x轴的交点为双曲线E：=1的右焦点F（c，0）（c＞2），双曲线E的离心率为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)若直线y=kx＋m（k＜0，k≠﹣，m＞0）交y轴于点P，交x轴于点Q，交双曲线右支于点M，N两点，当满足关系时，求实数m的值．
【答案】(1)；(2)﹒
【分析】(1)设出直线的方程，用垂径定理求出其与圆相交的弦长，从而解得直线的方程，令其y为零，求与x轴的交点，再结合双曲线离心率即可求得双曲线方程；
(2)本题可设直线的参数方程，从而利用直线参数方程下的弦长公式，代入化简即可解出m的值﹒
(1)当过点A(1，1)的直线斜率不存在时，直线方程为x=1，
由弦长为2，不满足题意，故直线斜率存在，设斜率为n，
则过点A(1，1)的直线为y﹣1＝n(x﹣1)，
即为nx﹣y＋1﹣n＝0，
圆心O到直线的距离为，
由圆的弦长公式可得，
解得，由，解得n＝﹣2或．
则有直线为y﹣1＝﹣2(x﹣1)，令y＝0，则x＝1.5＜2舍去，
或直线y﹣1＝(x﹣1)，令y＝0，则x＝3＞2成立，
即有c＝3，
由离心率为，即有a＝2，．
则双曲线E的方程为；
(2)设直线y＝kx＋m(k＜0，，m＞0)的参数方程为(t为参数)，
则令y＝0，则有，(m＞0，sinα＞0)．
即有，
将参数方程代入双曲线的方程可得5t2cs2α﹣4(m＋tsinα)2﹣20＝0，
整理可得(5cs2α﹣4sin2α)﹣8mtsinα﹣4m2﹣20＝0，
则有，
由，以及M，N在P的下方，则可设|PM|＝﹣t1，|PN|＝﹣t2，
即有，
即有，
即有4m2＋20＝8m2，
由m＞0，解得．
【点睛】(1)圆的弦长的常用几何法求解：圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；
(2)直线与圆锥曲线的位置关系，一般要用到根与系数的关系，有时可以考虑使用直线的参数方程与圆锥曲线的方程联立，利用直线参数方程里面参数的几何意义来求弦长﹒
7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线过E的上顶点A和左焦点.
(1)求E的方程；
(2)设直线l与椭圆E相切，又与圆交于M，N两点（O为坐标原点），求面积的最大值，并求出此时直线l的方程.
【答案】(1)(2)，.
【分析】（1）根据已知的直线方程可以求出椭圆中的的值，从而确定椭圆方程
（2）设直线方程，与椭圆联立，根据直线与椭圆相切得到与的等量关系，写出面积的表达式，结合函数性质可以求出面积的最大值
(1)由题意，知直线，过椭圆E的上顶点A和左焦点.
所以，，所以，.
因为，所以，.
故所求椭圆E的方程为
(2)根据题意，设点，.
①当轴时，易知直线l与圆O相切，不满足题意；
②当与轴不垂直时，设直线l的方程为.
将代入椭圆E的方程，消去y，并整理得
，由题设条件，知
恒成立，
即.又圆的圆心到直线l的方程的距离，
所以，
所以
.令，则，
且有，
当时，函数单调递增，
所以，此时，所以，
所以直线l的方程.综上，所求面积的最大值为，
直线l的方程为.
题型九：利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题
一、单选题
1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知直线，圆.则“”是“与相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离大于半径可得答案.
【详解】直线与圆相切，则或，
”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知圆上仅存在一个点到直线的距离为1，则实数a的值为（ ）
A．-2B．C．-1D．0
【答案】D
【分析】写出圆的标准形式确定圆心和半径，求圆心到直线距离并结合已知，判断与半径的关系求实数a.
【详解】由圆的标准方程为，则圆心为，半径为且，
又到的距离，
所以要使圆上仅有一点到直线距离为1，只需且，则.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习（文））圆O：上点P到直线l：距离的最小值为（ ）
A．B．
C．2D．0
【答案】B
【分析】根据圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】圆心到直线的距离设为，则，
又因为圆的半径，所以点P到直线l：距离的最小值为
故选：B
4．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先表示出四边形的面积，再求的最小值即可，又，转化为求的最小值，当垂直于直线时，利用点到直线距离即可求解.
【详解】
由题意得：圆，则圆心，半径，，如图，
易知，故要使四边形的面积最小，即最小，
又，最小时，最小，当垂直于直线时，最小，
此时，，故四边形的面积最小为.
故选：A.
二、多选题
5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知点在圆上，点，，则（ ）
A．点到直线的距离最大值为
B．满足的点有2个
C．过点作圆的两切线，切点分别为､，则直线的方程为
D．的最小值是
【答案】ABCD
【分析】对A，求出直线AB的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质判断答案；
对B，设点，根据得到点P的轨迹方程，进而判断该轨迹与圆的交点个数即可；
对C，设，进而得到切线方程MB,NB，再根据点B在两条切线上求得答案；
对D，设，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，进而求出点P的轨迹方程，然后结合点P在圆O上求得答案.
【详解】对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为.A正确；
对B，设点，则，且，由题意，
两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个.B正确；
对C，设，则直线MB,NB分别为，因为点B在两条直线上，所以，于是都满足直线方程，即直线MN的方程为.C正确；
对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵，
则有，即，∴，，
所以，所以D正确.
故选：ABCD.
6．（2022·重庆·二模）已知点是圆上的任意一点，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与圆的位置关系只有相交和相切两种
B．圆的圆心到直线距离的最大值为
C．点到直线距离的最小值为
D．点可能在圆上
【答案】ACD
【分析】求出直线所过定点的坐标，判断点与圆的位置关系，可判断A选项；利用当直线与圆相切时，圆的圆心到直线距离最大可判断B选项；求出圆心到直线的距离，利用圆的几何性质可判断C选项；判断两圆的位置关系可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为直线的方程可化为．
令解得，所以直线过定点，
直线是过点的所有直线中除去直线外的所有直线，
圆心到直线的距离为，即直线与圆相交，
又点在圆上，所以直线与至少有一个公共点，
所以直线与圆的位置关系只有相交和相切两种，A正确；
对于B选项，当直线为圆的切线时，点到直线的距离最大，且最大值为，B错误；
对于C选项，因为圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最小值为，C正确；
对于D选项，圆的圆心为原点，半径为，
因为，所以，圆与圆内切，故点可能在圆上，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
7．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））过直线上动点P作圆的一条切线，切点为A，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为___________．
【答案】
【分析】将使得的点P有两个，转换为圆心到直线的距离的不等关系式求解即可
【详解】由题，使得的点P有两个，即使得的点P有两个，即圆心到直线的距离小于半径.又圆心到直线的距离，故，即，即
故答案为：
8．（2022·贵州遵义·三模（理））圆上点P到直线距离的最小值为__________．
【答案】
【分析】利用点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径为，
到直线的距离为，
所以圆上点P到直线距离的最小值为.
故答案为：
四、解答题
9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线C交于A，B两点.
（1）求的面积；
（2）过抛物线C上一点Р作圆的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C交于异于点P的两点D，E.证明：直线DE与圆M相切.
【答案】（1）；（2）见解析.
【分析】（1）将直线方程和抛物线联立，整理得关于的一元二次方程，设，，通过韦达定理和弦长公式求出的值，再通过点到直线的距离公式求出点到的距离，进而求出面积；
（2）设为抛物线上的一点，则点坐标为，设过点的圆的切线方程为，通过圆心到直线的距离等于半径可得关于的一元二次方程，进而求出、的坐标，再根据圆心到直线的距离等于半径，得证直线DE与圆M相切.
【详解】
（1）联立，消去整理得：，
，
设，，
则，，
由题得：，
到直线的距离为，
；
（2）设为抛物线上的一点，设，
设过的圆的切线方程，
则由相切知圆心到切线距离即，
设切线解析式为：，切线解析式为：，
、为方程的两根，则，，
联立得：，
解得：，，
，
化简得：，
圆心到直线的距离，
直线与圆相切.
【点睛】思路点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形；
（3）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.