辽宁省沈阳市五校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省沈阳市五校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,集合A中至少有2个元素,则( )
A.B.C.D.
2．已知命题,,则p的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
3．此时此刻你正在做这道选择题,假设你会做的概率是,当你会做的时候,又能选对正确答案的概率为100%,而当你不会做这道题时,你选对正确答案的概率是0.25,那么这一刻,你答对题目的概率为( )
C.0.5D.0
4．已知数列的通项公式为,则此数列的最大项为( )
A.B.C.D.
5．函数（其中e为自然对数的底数）的图象大致为( )
A.B.
C.D.
6．已知是数列的前n项和,,,则( )
A.B.C.D.
7．已知，不等式恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．设，函数，若函数恰有5个零点，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题正确的是( )
A.若样本数据,,,的方差为2,则数据,,,的方差为7
B.若,,,则．
C.在一组样本数据,,,（,,,,不全相等）的散点图中,若所有样本点都在直线上,则这组样本数据的线性相关系数为
D.以模型去拟合一组数据时,为了求出经验回归方程,设,求得线性回归方程为,则c,k的值分别是和4
10．数列满足,下列说法正确的是( )
A.可能为常数列B.数列可能为公差不为0的等差数列
C.若,则D.若,则的最大项为
11．已知函数的定义域为R,且,,为偶函数,则( )
A.B.为偶函数
C.D.
三、填空题
12．若是a与b的等差中项,2是a与b的等比中项,则_____________．
13．若函数在上有最小值-5（a、b为常数）,则函数在上最大值为__________.
14．已知对任意,,且当时,都有,则a的取值范围是_____________．
四、解答题
15．已知数列的前n项和,数列满足,且．
（1）求数列和的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和．
16．已知函数.
（1）当时,求函数的单调区间;
（2）若,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
17．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.
（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自A中学的人数，求的分布列和数学期望.
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答2道题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.
18．已知，，e是自然对数的底数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：.
19．定义:如果数列从第三项开始,每一项都介于前两项之间,那么称数列为“跳动数列"．
（1）若数列的前n项和满足,且,求的通项公式,并判断是否为“跳动数列”(直接写出判断结果,不必写出过程);
（2）若公比为q的等比数列是“跳动数列”,求q的取值范围;
（3）若“跳动数列”满足,证明：或．
参考答案
1．答案：D
解析：因为集合A中至少有2个元素,
所以,解得,
故选：D.
2．答案：B
解析：命题,,等价于,恒成立;
又在单调递减,在单调递增,
,故在上的最大值为;
故,恒成立,即,也即命题p的充要条件为;
结合选项,p的一个充分不必要条件是.
故选：B.
3．答案：A
解析：设“考生答对题目”为事件A,“考生知道正确答案”为事件B,
则,,,
所以,
故选：A.
4．答案：D
解析：方法一：－＝·,
当时,,即;
当时,,即;
当时,,即,
所以,
所以数列有最大项,为第8项和第9项,且.
方法二：设数列的第n项最大,则,
即,
解得,又,则或,
故数列有最大项,为第8项和第9项,且.
故选：D
5．答案：A
解析： ,
是偶函数,故图形关于y轴对称,排除C,D;
又时,,
排除B,
故选：A．
6．答案：A
解析：数列的前n项和,由,,得,解得,
因此数列是首项为1,公比为4的等比数列,,
所以.
故选：A.
7．答案：C
解析：不等式，即，
设，则，，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
故只需，
所以，即.
设，则在上单调递增，又，
所以，设，，则，
所以在上单调递增，所以的值域为，即a的取值范围为.
故选：C.
8．答案：D
解析：设，当时，，此时，
由得，即，解得或，
所以在上有2个零点，时，若，对称轴为，函数的大致图象如图：
此时，即，则，
所以无解，则无零点，无零点，
综上，此时只有两个零点，不符合题意，
若，此时的大致图象如下：
令，解得，
显然令在上存在唯一负解，
要使恰有5个零点，
故，即，解得，
所以.故选：D
9．答案：BD
解析：对于选项A：若样本数据,,,的方差为2,则数据,,,的方差为,故A不正确;
对于选项B：若,,,
则,故B正确;
对于选项C：在一组样本数据,,,（,,,,不全相等）的散点图中,若所有样本点都在直线上,其中是线性回归方程的一次项系数,不是相关系数,相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量,范围是,当相关系数为正时呈正相关关系,为负时呈负相关关系,故C不正确;
对于选项D：以模型去拟合一组数据时,为了求出经验回归方程,设,
则,由题线性回归方程为,则,故c,k的值分别是和4,故D正确.
故选：BD.
10．答案：AD
解析：对于A,令,由,可得,解得,A正确;
对于B,若数列为公差不为0的等差数列,由,得,
则不会是非零常数,B错误;
对于C,,
因此数列是首项为1,公差为的等差数列,
则,,C错误;
对于D,,则,即,
当时,;当时,,且数列递减,因此数列的最大项为,D正确.
故选：AD
11．答案：ACD
解析：对于A,因为,
令,则,故,则,故A正确;
对于B,因为的定义域为R,关于原点对称,
令,则,又不恒为0,故,
所以为奇函数,故B错误;
对于C,因为为偶函数,所以,
令,则,故,
令,则,故,
又为奇函数,故,
所以,即,故C正确;
对于D,由选项C可知,
所以,故的一个周期为6,
因为,所以,
对于,
令,得,则,
令,得,则,
令,得,
令,得,
令,得,
所以,
又,
所以由的周期性可得：
,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：17
解析：因为是a与b的等差中项,所以,
因为2是a与b的等比中项,所以,而.
故答案为：17.
13．答案：9
解析：考虑函数,定义域为R,
又
,
所以是奇函数,则,
设的最大值为M,最小值为m,则,
又,
所以,,
所以,
则,所以,
故答案为：9.
14．答案：
解析：由,,且,
所以.
设,,
则原问题转化为在上单调递减.
所以在上恒成立,
即,恒成立.
因为（当且仅当即时取“”）
所以.
故答案为：.
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）当时,;
当时,,
,,
由题可得,得,
是首项为,公比为2的等比数列,
;
（2）,①,
②,
①-②得：,
.
16．答案：（1）在上为减函数,在上为增函数
（2）.
解析：（1）函数的定义域为,
当时,,所以,
当时,,在上为减函数,
当时,,在上为增函数,
综上所述：在上为减函数,在上为增函数;
（2）若,不等式恒成立,
则对均成立,所以
令,
则,
令,显然为上的减函数,
又,
所以,,则在上为增函数,
当时,,则在上为减函数,
所以,所以,所以,
所以实数m的取值范围为.
17．答案：（1）分布列见解析，数学期望为
（2）
解析：（1）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，
，，
，.
所以的分布列为
.
（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，
设乙答对题数为，则.
设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，
则
.
由，及，得，
则.
又，所以.
设，则，.
易知当时，取得最大值.
所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为.
18．答案：（1）在处取到极小值0，无极大值；
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1）当时，，定义域为R，
则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在处取到极小值0，无极大值；
（2）方程，
显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有2个交点，
则，
当或时，，在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，严格增，时，当时，取得最小值，，作出函数的图象，如下图所示：
与有2个交点，
则，即a的取值范围为；
（3）证明：，
令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意，则，，
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即，，
由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以函数在R上严格增，
由，可得，即，
所以，
又函数在上严格减，
所以，
即得证.
19．答案：（1）,是“跳动数列”
（2）
（3）证明见解析
解析（1）因为且,
当时,解得,
当时,所以,
即,所以,又,
所以是以1为首项,为公比的等比数列,所以,
因为
,
所以位于与之间,所以是“跳动数列”;
（2）由“跳动数列”的定义可知：是“跳动数列”,
若公比为q的等比数列是“跳动数列”,
则,
即,所以,
即,解得,
即q的取值范围为.
（3）由,可得,
所以
,
则
,
由是“跳动数列”,
可得,
即,
即,
即,
所以,又,
所以,
即,解得或,故命题成立.
0
1
2
3
P