四川省凉山州2024届高三上学期第一次诊断性检测数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省凉山州2024届高三上学期第一次诊断性检测数学（文）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设全集，集合，，则( )
A.B.C.D.U
2．已知复数z满足，则( )
A.B.C.D.
3．已知数列的前n项和，则( )
A.9B.10C.11D.12
4．已知一组数,,,的平均数，方差，则数据,,,的平均数和方差分别是( )
A.3，2B.3，4C.2，4D.2，2
5．已知平面向量，满足，，则( )
A.B.C.3D.
6．执行如图所示的程序框图，若输出y的值为，则输入x的值可以为( )
A.B.C.D.
7．已知函数，则“是奇函数”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知双曲线的渐近线与y轴的夹角为，则此双曲线的离心率e为( )
A.B.2或C.D.或2
9．已知,是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A.若，，，则B.若,,，则
C.若,,，则D.若,,，则
10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是( )
A.图象关于直线对称B.在上单调递增
C.最小正周期为D.图象关于点对称
11．已知点P在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为2，则( )
A.2B.3C.4D.5
12．函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．为等比数列的前n项和，若,，则______.
14．若实数x,y满足约束条件，则的最大值为______.
15．若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则这个圆锥表面积为____________.
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，当的面积取最大值时，则___________.
三、解答题
17．2023年11月18日，世界田联精英标牌赛事——2023西昌邛海湿地马拉松赛在凉山州西昌市鸣枪起跑.来自中国、法国、英国、波兰、埃塞俄比亚、肯尼亚、韩国等10余个国家和地区的21191名选手参赛.本次大赛以“奔跑美丽西昌，追梦五彩凉山”为主题，赛事设置马拉松男女子组、半程马拉松男女子组和迷你健康跑3个项目.某中学课外田径运动兴趣小组的同学报名参加了半程马拉松和迷你健康跑两类项目，小组所有同学均参加比赛，每位同学仅选择一项.参赛人数统计如下表：
若采用分层抽样从该兴趣小组中抽取5名同学，则有男同学3名，女同学2名.
（1）求a以及该兴趣小组的同学选择半程马拉松的概率；
（2）能否有的把握认为同学对比赛项目的选择与其性别有关.
附：临界值表
参考公式：.
18．已知函数.
（1）求的减区间；
（2）在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前10项和.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若E为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
20．为抛物线上一点，过P作两条关于对称的直线分别交于,两点.
（1）求m的值及的准线方程；
（2）判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
21．已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）讨论函数的单调性.
22．已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程.
（1）求的极坐标方程；
（2）若曲线与曲线、曲线分别交于A,B两点，点P的极坐标为，求的面积.
23．已知函数.
（1）解不等式；
（2）对及，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可得：，所以.故选：C.
2．答案：D
解析：，
故选:D.
3．答案：C
解析：当时,,
解得,
当时,
故,
故.
故选:C.
4．答案：B
解析：由题意,数据,,,的平均数为,
方差为.
故选:B.
5．答案：C
解析：因为，所以又，所以，所以.故选C.
6．答案：D
解析：对于A,当时,,故A错误；
对于B,当时,,故B错误；
对于C,当时,,故C错误；
对于D,当时,,故D正确.故选:D.
7．答案：B
解析：由题意若是奇函数，则(D为的关于原点对称的定义域，有，此时有
整理得，恒成立，解得或，
当时，的定义域为关于原点对称，且，即满足是奇函数，当时，的定义域为关于原点对称，
且，即满足是奇函数，综上所述，是奇函数当且仅当或，因此"是奇函数"是""的必要而不充分条件.故选：B.
8．答案：A
解析：双曲线的方程为，浙近线的方程为.渐近线与y轴的夹角为，浙近线与x轴的夹角为，，即.又，，.故选A.
9．答案：B
解析：根据题意,依次分析选项:
对于A,若,,,则与可能平行或相交,故A错误;
对于B,若,设直线m,n的方向向量分别为,,则平面,对应法向量为,,由,即,则,故B正确;
对于C,若,,则,又,则或,C错误.
对于D,若,,,则,或,或n与相交,故D错误;
故选:B.
10．答案：D
解析：由题意得，，由，得，所以函数的定义域为：，
A，，
即函数是奇函数，不是偶函数，其图象关于直线不对称，A选项错误；
B，0不在函数的定义域内，则函数在上不单调，B选项错误；
C，函数的最小正周期为，C选项错误；
D，，的图象关于点对称，D选项正确.
故选：D.
11．答案：C
解析：因为，如图所示：
设，由题意
，
两式相比得，
又，且，
所以，，，
而由余弦定理有，
即
且由椭圆定义有：
所以，解得.
故选C
12．答案：D
解析：由，
不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，，且
若，则恒成立，不符合题意，可排除A项；
所以，此时易知单调递增，
要满足题意，则需.
故选D
13．答案：6
解析：由等比数列的性质可得，，成等比数列,
所以,代入数据可得
解得.
故答案为:6.
14．答案：6
解析：由约束条件作出可行域如图,
联立,解得,
由,得,由图可知，当直线过A时,
直线在y轴上的截距最大,z有最大值为.
故答案为:6.
15．答案：
解析：根据题意，设圆雉底面半径为r，若圆雉侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，
则有，解可得.
圆雉的侧面积，底面积，则这个圆雉表面积；故答案为：.
16．答案：.
解析：由，得，
由正弦定理得，，即，
所以
当，即时，的面积取得最大值，此时，，，
由正弦定理得，，
所以.故答案为：.
17．答案：（1）；；
（2）没有的把握认为同学对比赛项目的选择与其性别有关
解析：（1）依题意男女同学的比例为，则，解得；
该兴趣小组的同学选择半程马拉松的概率为.
（2）由（1）完善列联表可得：
则，
没有的把握认为同学对比赛项目的选择与其性别有关.
18．答案：（1），；
（2）
解析：（1）.
令，
得，.
因此，函数的减区间是，.
（2）函数的最小正周期为.
函数在上的零点分别为，.
数列是以为首项，为公差的等差数列；
数列是以为首项，为公差的等差数列，
则
所以的前10项和为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：在中，由，得，
所以，则，又，，
所以，即，
因为，又平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）设，的中点分别为F，G，连接，，
因为，，，，
所以，，，即是平行四边形，
则，由（1）题可知平面，
所以，直线与平面所成角为，
在中，则，
，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
20．答案：（1）;；
（2）是定值，
解析：（1）根据题意可得，得，
故所求抛物线方程为，抛物线的准线方程为.
（2）由题意不妨设直线的方程为，
联立抛物线方程可得，消去x得：，，
由韦达定理得,，
直线与关于对称，，且,
，即，
即，由韦达定理得
所以直线的斜率为定值.
21．答案：（1）当时，有极小值，无极大值；
（2）答案见解析
解析：（1）当时，
则，令，解得，
当时，则，当时，则，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以当时，有极小值，无极大值.
（2）因为函数，
所以.
①当时，由（1）题可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
②当时，恒成立，函数在定义域上单调递增；
@当时，由得或，由得，
即函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增；
④当时，由得，由得或，
即函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
⑤当时，由得，由得或，
即函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增.
22．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由曲线的参数方程为（为参数），可得，
两式平方相加，可得，
由，代入可得，
即曲线的极坐标方程为.
（2）由，可得，
解得，即，
由，可得，
所以，
又由点，如图所示，
所以的面积为
.
23．答案：（1）；
（2）
解析：（1）依题意，，
当时，由，解得，则，
当时，，即满足；
当时，由，解得，则，
所以不等式的解集为.
（2）由，得.
当且仅当，即时取等号，
则当时，，
依题意，，，
而当时，，
当时能取“=”号，
因此，解得，
所以m的取值范围为.
半程马拉松
迷你健康跑
男同学
20
10
女同学
a
10
0.10
0.010
0.001
k
2.706
6.635
10.828
半程马拉松
迷你健康跑
总计
男同学
20
10
30
女同学
10
10
20
总计
30
20
50