四川省资阳市2024届高三下学期适应性考试（二模）数学试卷(含答案)

这是一份四川省资阳市2024届高三下学期适应性考试（二模）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．下列集合中有无数个元素的是( )
A.B.C.D.
2．复数的共轭复数( )
A.B.C.D.
3．已知向量,的夹角为,且,,则( )
A.1B.C.D.
4．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，下列命题为真命题的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
5．已知,,,则( )
A.B.C.D.
6．已知,是方程的两个根,则( )
A.-2B.2C.D.
7．某产品的标准质量是50克/袋,抽取8袋该产品,称出各袋的质量（单位：克）如下：48,49,50,50,50,50,51,52.这8袋产品中,质量在以平均数为中心,1倍标准差范围内的有( )
A.4袋B.6袋C.7袋D.8袋
8．若定义在R上的偶函数在上单调递增,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
9．在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，，，，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则( )
A.8B.12C.16D.20
10．已知，是函数的极小值点，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
11．已知球O的体积为,点A到球心（的距离为3,则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是( )
A.B.C.D.
12．倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点F,且与C相交于A,B两点.若,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．若x,y满足约束条件则目标函数的最大值为_______________.
14．双曲线的实轴长为4,则________.
15．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,,则_______________.
16．已知函数,若存在,,使得,则的最小值为__________________.
三、解答题
17．已知数列的前n项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)判断数列是否为等比数列;
(3)证明：数列为等差数列,并求该数列的前n项和.
18．为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：，，，，，，.整理得到如下频率分布直方图.
(1)求a的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)从成绩在，内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选2人，求这2人成绩不在同一组的概率.
19．如图,在四面体ABCD中,,,E,F分别为AB,AC的中点.
(1)证明：平面平面BCD;
(2)求点A到平面BDF的距离.
20．已知函数.
（1）求的极值;
（2）若过点可以作两条直线与曲线相切,证明:.
21．已知椭圆的左,右顶点分别是,,椭圆C的焦距是2,P(异于,)是椭圆C上的动点,直线与的斜率之积为.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）,分别是椭圆C的左,右焦点,Q是内切圆的圆心,试问平面上是否存在定点M,N,使得为定值?若存在,求出该定值;若不存在,请说明理由.
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求C与l的直角坐标方程；
(2)若P是C上的一个动点,求P到l的距离的取值范围.
23．已知函数的最小值为8.
(1)求a；
(2)若在上单调递减,求不等式的解集.
参考答案
1．答案：D
解析：对于A,因为,,则,2,4,,故A错误;
对于B,因为,,则,
所以,故B错误;
对于C,,,所以,故C错误;
对于D,有无数个元素.故D正确.
故选:D.
2．答案：B
解析：,则,
故选：B.
3．答案：D
解析：因为,
所以.
故选：D.
4．答案：B
解析：如图，当时，与可相交也可平行，故A错；
当时，由平行性质可知，必有，故B对；
如图，当时，或，故C错；当时，l，m可相交、平行，故D错.
故选：B.
5．答案：A
解析：因为,,所以.
又,所以.
故选：A.
6．答案：C
解析：由题可知,,,
则.
故选：C.
7．答案：B
解析：这8袋产品的平均质量,
方差,
标准差.质量在以平均数为中心,1倍标准差范围内,即在内的产品有6袋.
故选：B.
8．答案：A
解析：由,可得.
令,因为是偶函数,且在上单调递增,所以也是偶函数,且在上单调递增,从而,解得或.
故选：A.
9．答案：C
解析：设没剔除两对数据前x,y的平均数分别为，，
剔除两对数据后x,y的平均数分别为，，
因为，
所以，，
则，
所以，
又因为，
所以，
解得.
故选：C.
10．答案：A
解析：由题意知：，
令，，或，则当时，即，，
而恒成立，所以在R上单调递增，无极值点，不符合题意，
所以.
当时，即，则在上，，
在，上单调递增，
在上，，单调递减，
则在处取极大值，不符合题意，当时，即，则在上，，
在，上单调递增，在上，，单调递减，
则在处取极小值，符合题意，综上所述，a的取值范围为：.
故选：A.
11．答案：C
解析：设球O的半径为R,则,解得.
因为点A到球心O的距离为3,
所以过点A的平面被球O所截的截面圆的半径的最小值为,
则所求截面面积的最小值为.
12．答案：A
解析：首先,我们来证明抛物线中的焦半径公式,
如图,对于一个抛物线,倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点F,且与C相交于A,B两点.作准线的垂线,过F作,
则,
解得,同理可得,
如图,不妨设A在第一象限,由焦半径公式得,,
则,
而,可得,故,故A正确,
故选：A.
13．答案：9
解析：表示直线在y轴的截距,
由可得,即,
画出可行域知,当过点时,z取得最大值,且最大值为9.
故答案为：9.
14．答案：1
解析：显然恒成立,则双曲线E的焦点在x轴上,
于是,所以.
故答案为:1
15．答案：
解析：由正弦定理得：,
,或,即或;
,,,
,.
故答案为：.
16．答案：
解析：.
因为存在,,,使得,
所以,解得.
故答案为：.
17．答案：(1)
(2)数列不为等比数列
(3)数列为等差数列,
解析：(1)因为,
若,可得;
若,可得;
由于不符合,所以.
(2)由(1)可知：,
则,可知,
所以数列不为等比数列.
(3)因为,则,
由(1)可知：,
则,
可知数列是以首项,公差的等差数列,
所以该数列的前n项和.
18．答案：(1)，平均数为；
(2).
解析：（1）由直方图可得，
解得，
平均数为.
（2）成绩在，内的频率分别为，，
则成绩在，内抽取的人数分别为人，人，
成绩在内的2人记为a，b，成绩在内的4人记为1，2，3，4，
从这6人中任选2人的样本空间
，所以.
记2人成绩不在同一组为事件A，
则，所以，
所以从这6人中任选2人，这2人成绩不在同一组的概率.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取CD的中点O,连接OA,OB,
因为,,所以,且,,
又,,,,
所以,可得,
又,,平面,所以平面BCD,
又平面ACD,所以平面平面BCD;
(2)因为,所以由(1)可得,,
,
,
又F为AC的中点,所以,
在中,,,,
则,
所以,
则.
设点A到平面BDF的距离为d,则,
解得,即点A到平面BDF的距离为.
20．答案：（1）极小值为,无极大值;
（2）证明见解析.
解析：（1）因为,所以,令,得,
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
所以当时,取得极小值,且极小值为,无极大值.
（2）设切点为,则切线的方程为,
则,整理得,
由过点可以作两条直线与曲线相切,
可得方程有两个不相等的正根.
令,则,
当时,,在上单调递减,则方程最多只有一个正根,不符合题意,
当时,若,则在上单调递增,
若,则在上单调递减,则,
故要使得方程有两个不相等的正根,则.
21．答案：（1）;
（2）存在,2.
解析：（1）设,,则,即,
显然点,依题意,,
解得,由椭圆C的焦距是2,得,则,
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设,因为,则,
由（1）知,则直线的方程为,即,
从而点Q到直线的距离,
即,即.
因为,所以,所以,
所以,即,
因为,所以,
因为,所以,即,点在以,为焦点,长轴长为2的椭圆上,
故存在定点,,使得.
22．答案：(1),
(2)
解析：(1)消去曲线C的参数方程中的参数得：,
把代入直线l的极坐标方程得：,
所以C与l的直角坐标方程分别为,.
(2)显然曲线C是以点为圆心,为半径的圆,
点到直线的距离,
显然直线l与圆C相离,于是圆C上动点P到直线l的最小值为,最大值为,
所以P到l的距离的取值范围是.
23．答案：(1)或
(2)
解析：(1)依题意,,当且仅当时取等号,
即函数的最小值为,因此,解得或,
所以或.
(2)由(1)知,当时,,当时,,显然函数在上不递减,
当时,,显然在上单调递减,
由,得或或,解得或,
所以不等式的解集是.