三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）专题03 规律探索及新定义问题（4大考点）（解析版）

这是一份三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）专题03 规律探索及新定义问题（4大考点）（解析版），共59页。

TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc171902843" 一、考点01 数式类规律 PAGEREF _Tc171902843 \h 1
\l "_Tc171902844" 二、考点02 图形类规律 PAGEREF _Tc171902844 \h 16
\l "_Tc171902845" 三、考点 03 点的坐标规律 PAGEREF _Tc171902845 \h 30
\l "_Tc171902846" 四、考点04 新定义问题 PAGEREF _Tc171902846 \h 41
考点01 数式类规律
一、考点01 数式类规律
1．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676B．674C．1348D．1350
【答案】D
【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．
本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．
【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于，
即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有个．
故选：D
2．（2024·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．20B．22C．24D．26
【答案】B
【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可．
【详解】解：由图可得，
第1种如图①有4个氢原子，即
第2种如图②有6个氢原子，即
第3种如图③有8个氢原子，即
，
第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
故选：B．
3．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的整式中有5个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；
③满足条件的整式共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可．
【详解】解：∵为自然数，为正整数，且，
∴，
当时，则，
∴，，
满足条件的整式有，
当时，则，
∴，，，，
满足条件的整式有：，，，，
当时，则，
∴，，，，，，
满足条件的整式有：，，，，，；
当时，则，
∴，，，，
满足条件的整式有：，，，；
当时，，
满足条件的整式有：；
∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意；
不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式共有个．故③符合题意；
故选D
4．（2022·西藏·中考真题）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把第3个数转化为：，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是，且奇数项是正，偶数项是负，据此即可求解．
【详解】原数据可转化为：，
∴，
，
，
..．
∴第n个数为：，
∴第10个数为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
5．（2022·内蒙古·中考真题）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A．0B．1C．7D．8
【答案】C
【分析】观察等式，发现尾数分别为：1，7，9，3，1，7，9，每4个数一组进行循环，所以，进而可得的结果的个位数字．
【详解】解：观察下列等式：
，，，，，，，
发现尾数分别为：
1，7，9，3，1，7，，
所以和的个位数字依次以1，8，7，0循环出现，
，
每4个数一组进行循环，
所以，
而，
，
所以的结果的个位数字是7．
故选：C．
【点睛】本题考查了尾数特征、有理数的乘方，解题的关键是根据题意寻找规律．
6．（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2B．C．2或4D．2或
【答案】C
【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可．
【详解】解：由规律可得：，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故选：C．
【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．
7．（2023·山东·中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解．
【详解】解：∵，
∴，，，，…….；
由此可得规律为按2、、、四个数字一循环，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．
8．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．
【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，，
∴第个代数式是，
故选：．
9．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．
10．（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示）
【答案】
【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可．
【详解】解：系数为，次数为1；
系数为，次数为2；
系数为，次数为3；
系数为，次数为4；
第n个单项式的系数可表示为：，字母a的次数可表示为：n，
∴第n个单项式为：．
【点睛】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键．
11．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
【答案】
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
12．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式：
，，，…
请利用你所发现的规律，计算： ．
【答案】/
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
13．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ．
【答案】 9 144
【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可．
【详解】解：当时，只有一种取法，则；
当时，有和两种取法，则；
当时，有，，，四种取法，则；
故当时，有，，，，，六种取法，则；
当时，有，，，，，，，，九种取法，则；
依次类推，
当n为偶数时，，
故当时，，
故答案为：9，144．
14．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．

【答案】
【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解．
【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即：，，，，，…
则第个数对的第一个数为：，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即：；；；；…，
则第个数对的第二个位：，
∴第n个数对为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．
15．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
【答案】
【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可．
【详解】解：∵a，，，，…，
∴第n个单项式的系数是1；
∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…，
∴第n个式子是．
∴第100个式子是．
故答案为：．
16．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则 ．
【答案】
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】解：；
；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
17．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…．
(1)尝试：___________．
(2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【答案】(1)6
(2)n
(3)见解析
【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果；
（2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案；
（3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，，
故答案为：6；
（2）由题意得：，
故答案为：n；
（3）
．
【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键．
18．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式为，
证明如下：
等式左边：，
等式右边：
，
故等式成立．
【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
19．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为．
（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．
【详解】（1）解：∵第一个式子，
第二个式子，
第三个式子，
……
∴第（n+1）个式子；
（2）解：∵右边==左边，
∴．
【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．
20．（2024·内蒙古包头·中考真题）图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据：
(1)依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由；
(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？
【答案】(1)
(2)10个
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：
（1）求出每只碗增加的高度，然后列出表达式即可解答；
（2）根据（1）中y和x的关系式列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，
∴，
检验∶当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴；
（2）解：根据题意，得，
解得，
∴碗的数量最多为10个．
21．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
按上表规律，完成下列问题：
（）（ ）（ ）；
（）______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
【答案】(1)（），；（）；
(2)
【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解；
（）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．
【详解】（1）（）由规律可得，，
故答案为：，；
（）由规律可得，，
故答案为：；
（2）解：假设，其中均为自然数．
分下列三种情形分析：
若均为偶数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．
若均为奇数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．
若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．
而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．
由可知，猜测正确．
故答案为：．
考点02 图形类规律
二、考点02 图形类规律
22．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A．90B．91C．92D．93
【答案】B
【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可．
【详解】第1个图形有1个正方形，
第2个图形有个正方形，
第3个图形有个正方形，
……
第6个图形有（个）正方形，
故选：B.
23．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A．20B．21C．23D．26
【答案】C
【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可．
【详解】解：第①个图案中有个菱形，
第②个图案中有个菱形，
第③个图案中有个菱形，
第④个图案中有个菱形，
∴第个图案中有个菱形，
∴第⑧个图案中菱形的个数为，
故选：C．
24．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】B
【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数．
【详解】解：第1个图案有4个三角形，即，
第2个图案有7个三角形，即，
第3个图案有10个三角形，即，
…，
按此规律摆下去，第n个图案有个三角形，
则第674个图案中三角形的个数为：（个）．
故选：B．
25．（2023·重庆·中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）

A．14B．20C．23D．26
【答案】B
【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.
【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，；
第②个图案中有5个圆圈，；
第③个图案中有8个圆圈，；
第④个图案中有11个圆圈，；
…，
所以第⑦个图案中圆圈的个数为；
故选：B.
【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键.
26．（2023·重庆·中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）

A．39B．44C．49D．54
【答案】B
【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．
【详解】解：第①个图案用了根木棍，
第②个图案用了根木棍，
第③个图案用了根木棍，
第④个图案用了根木棍，
……，
第⑧个图案用的木棍根数是根，
故选：B．
【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．
27．（2022·江西·中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3=10，
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
28．（2023·黑龙江绥化·中考真题）在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）

【答案】/
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．
29．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限，．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接，求得，，，分别得到，， ，，推导得到，滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，由此得到滚动2024次后停止滚动，则，据此求解即可．
【详解】解：连接，
由题意得，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
，
同理，
，
，
滚动一次得到，滚动四次得到，滚动七次得到，
∴滚动2024次后停止滚动，则时，，
故答案为：．
30．（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）

【答案】
【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为．
【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片，
第2个图案中有6个白色圆片，
第3个图案中有8个白色圆片，
第4个图案中有10个白色圆片，
，
∴第个图案中有个白色圆片．
故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．
31．（2023·湖北十堰·中考真题）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 （用含n的式子表示）．

【答案】/
【分析】当时，有个三角形；当时，有个三角形；当时，有个三角形；第n个图案有个三角形，每个三角形用三根计算即可．
【详解】解：当时，有个三角形；
当时，有个三角形；
当时，有个三角形；
第n个图案有个三角形，
每个三角形用三根，
故第n个图案需要火柴棍的根数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．
32．（2024·青海·中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个火柴棒．

【答案】15
【分析】本题考查图形类规律探究．根据题意得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，由此可得第（n）个图形有根火柴棒，即可．
【详解】解：根据题意得：第（1）个图形有根火柴棒，
第（2）个图形有根火柴棒，
第（3）个图形有根火柴棒，
……
第（n）个图形有根火柴棒，
∴第（7）个图案中有根火柴棒，
故答案为：15
33．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段，以AB为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为 ．
【答案】/
【分析】由AB＝2，可得半圆①弧长为，半圆②弧长为（）2π，半圆③弧长为（）3π，半圆⑧弧长为（）8π，即可得8个小半圆的弧长之和为π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．
【详解】解：∵，
∴，半圆①弧长为，
同理，半圆②弧长为，
，半圆③弧长为，
……
半圆⑧弧长为，
∴8个小半圆的弧长之和为．
故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化类规律，解题的关键是掌握圆的周长公式和找到弧长的变化规律．
34．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
【答案】12
【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．
根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
由题知，解得，
又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故答案为：12．
35．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【答案】(1)36；120；
(2)不能
(3)一共能摆放20排．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；
（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；
（2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为，
前15行的点数之和为，
那么，前行的点数之和为；
故答案为：36；120；；
（2）解：不能，
理由如下：
由题意得，
得，
，
∴此方程无正整数解，
所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；
故答案为：不能；
（3）解：同理，前行的点数之和为，
由题意得，
得，即，
解得或（舍去），
∴一共能摆放20排．
36．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析
【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长；
解决问题：利用作差法比较三种方案即可．
题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．
【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，
∴每行铲的路径长为，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有行，
∴铲除全部籽的路径总长为，
故答案为：；；；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲的路径长为，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，
∴相当于有列，
∴铲除全部籽的路径总长为，
故答案为：；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，
根据题意得一共有列，行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，
∴铲除全部籽的路径总长为：；
解决问题
由上得：，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
，
∵，
当时，
，
，
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
37．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：
(1)第个图案中“”的个数为 ；
(2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）
解：第1个图案中有个，
第2个图案中有个，
第3个图案中有个，
第4个图案中有个，
……
∴第个图案中有个，
故答案为：．
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，
第2个图案中“★”的个数可表示为，
第3个图案中“★”的个数可表示为，
第4个图案中“★”的个数可表示为，……，
第n个图案中“★”的个数可表示为，
（3）解：依题意，，
第个图案中有个，
∴，
解得：（舍去）或．
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
考点03 点的坐标规律
三、考点 03 点的坐标规律
38．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．
先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为．
【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：
①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立；
②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，
故选：D．
39．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解．
【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故选：D．
40．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是( )

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，，...的规律即可．
【详解】解：由图得，，…
点C的位置每4个一循环，
，
∴在第三象限，与，，，…
符合规律，
∴坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．
41．（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可．
【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为，
经过2次运算后得到点为，即为，
经过3次运算后得到点为，即为，
……，
发现规律：点经过3次运算后还是，
∵，
∴点经过2024次运算后得到点，
故答案为：．
42．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标．
【详解】解：∵，，，，，，，…，，
∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，
∵，
∴的坐标为．
∴的坐标为
故答案为：．
43．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：正方形顶点M的坐标为，
,
是等边三角形，点B坐标是，
等边三角形高为，
由题知，
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
继续滚动有，的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组，
，
的坐标与的坐标一样为，
故答案为：．
44．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
【答案】
【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点，
∴点坐标为，
∴，
过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，

∵为等边三角形，
∴
∴，
∴
∴，
当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，解得：，
∴；
而，
同理可得：的横坐标为，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.
45．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为 ．

【答案】
【分析】根据题意和图形可先求得，，，，，，，，，从而得，，，，利用三角形的面积公式即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴点与点的横坐标相同，，，，，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形，，，，…都是平行四边形，
∴，，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，，，，，，
∴，，
∴，
∵在上，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，坐标与图形，坐标规律，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键．
46．（2022·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：，，，，，，，，，，，，，，…按这个规律，则是第 个点．

【答案】99
【分析】先根据点的坐标，找出规律，再计算求解．
【详解】解：横纵坐标和是0的有1个点，
横纵坐标和是1的有2个点，
横纵坐标和是2的有3个点，
横纵坐标和是3的有4个点，
，
横纵坐标和是的有个点，
，
，
横纵坐标和是13的有14点，分别为：、、、、、、、、、、、、、、
是第个点，
故答案为：99．
【点睛】本题考查了点的坐标，找到坐标的排列规律是解题的关键．
考点04 新定义问题
四、考点04 新定义问题
47．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000D．运算结果可以表示为
【答案】D
【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．
设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项．
【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和
如图：
则由题意得：
，
∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
∴上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：，
∴D选项符合题意，
当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，
故选：D．
48．（2023·内蒙古·中考真题）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ）
A．B．C．5D．3
【答案】D
【分析】根据新定义的运算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键．
49．（2022·四川巴中·中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】A
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根．
50．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】解：由题意得，，
即，
当时，函数的最小值为．
故选：B．
51．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
【答案】8
【分析】根据定义，得，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
【详解】根据定义，得，
故答案为：8．
52．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
而，
∴①当时，则有，
解得，；
②当时，，
解得，
综上所述，x的值是或，
故答案为：或．
53．（2023·湖南怀化·中考真题）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么 ．
【答案】
【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵
∴
即
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
54．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）．
【答案】DDDD
【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，
的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
，，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．
55．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ．
【答案】/
【分析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵即，
∴，
解得，
经检验是方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键．
56．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得．
【详解】解：根据题意可知，
解得：
有且只有一个正整数解
解不等式①，得：
解不等式②，得：
故答案为：．
57．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
【答案】
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为
当，，则第2个智慧优数为
当，，则第3个智慧优数为，
当，，则第4个智慧优数为，
当，，则第5个智慧优数为
当，，则第6个智慧优数为
当，，则第7个智慧优数为
……
时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，
列表如下，
观察表格可知当时，时，智慧数为，
时，智慧数为，
，时，智慧数为，
，时，智慧数为，
第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为
故答案为：，．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
58．（2020·青海·中考真题）对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么 ．
【答案】
【分析】根据新定义，将，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是将，正确代入再化简．
59．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
【答案】4
【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．
【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则，
，
中存在一点，有，解得，则，
抛物线“开口大小”为，
故答案为：．
60．（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)1；2；
(2)，
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1），
，
；
故答案为：1；2；
（2）若时，即时，则
，
解得：，
若时，即时，则
，
解得：，不合题意，舍去，
，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
61．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
(1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____；
(2)若点的等和点在直线上，求的值；
(3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
【答案】(1)和；
(2)；
(3)或．
【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解；
（）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解；
（）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解；
本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由，得，，
∴点是点的等和点；
由，得，，，
∵，
∴不是点的等和点；
由，得，，
∴是点的等和点；
故答案为：和；
（2）解：设点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴，
∴；
（3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
设，点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴，
∵点在直线上，
∴，
整理得，，
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，
∴点的坐标为或．
62．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．
(1)如图，点，．
①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________；
②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________；
(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①，45；②
(2)或
【分析】（1）由相对运动理解，作出关于的对称圆，若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，则点C应在的圆内或圆上，先求得，根据点与圆的位置关系的判断方法分别判断即可得出在上，故符合题意，根据圆周角定理即可求解；
②取中点为H，连接，可确定点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴时，点D横坐标最大，可求，故点的横坐标的最大值为；
（2）反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，故点P需要在的圆内或圆上，作出的外接圆，连接，则点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N），可求，随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，由，故当最大，时，此时为等边三角形，此时，故当，的最大值为2，设，则，解得：，可求直线与交于点，，故t的取值范围是或．
【详解】（1）解：①：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，
∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
∴点C应在的圆内或圆上，
∵点，，
∴，
而，
∴,
由对称得：，
∴为等腰直角三角形，
∴,
设半径为，
则,故在外，不符合题意；
，故在上，符合题意；
，故在外，不符合题意，
∴点是弦的“可及点”，
可知三点共线，
∵，
∴，
故答案为：，45；
②取中点为H，连接，

∵，
∴，
∴点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），
∴当点轴时，点D横坐标最大，
∵，，
∴，
∴，
∵点，，
∴，
∴此时，
∴点的横坐标的最大值为，
故答案为：；
（2）解：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，
∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
∴点C应在的圆内或圆上，
故点P需要在的圆内或圆上，
作出的外接圆，连接，
∴点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N），
∴，
∴，
由对称得点在的垂直平分线上，
∵的外接圆为，
∴点也在的垂直平分线上，记与交于点Q，
∴，
∴，
随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，
连接，
∵，
∴当最大,时，此时为等边三角形，
由上述过程知
∴，
∴当，的最大值为2，
设，则，
解得：，
而记直线与交于，与y轴交于点K，过点S作轴，
当，当时，，
解得，
∴与x轴交于点，
∴，而
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴t的取值范围是或．
【点睛】本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键．
个
1
2
3
4
6
8.4
10.8
13.2
奇数
的倍数
表示结果
一般结论

______
假设，其中均为自然数．
分下列三种情形分析：
若均为偶数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．
若均为奇数，设，，其中均为自然数，
则______为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．
若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．
而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．
由可知，猜测正确．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：