三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）专题07 分式与分式方程（3大考点）（解析版）

这是一份三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）专题07 分式与分式方程（3大考点）（解析版），共29页。

TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc172144947" 一、考点01 解分式方程 PAGEREF _Tc172144947 \h 1
\l "_Tc172144948" 二、考点02 分式方程的解 PAGEREF _Tc172144948 \h 11
\l "_Tc172144949" 三、考点03 分式方程的应用 PAGEREF _Tc172144949 \h 16
考点01 解分式方程
一、考点01 解分式方程
1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．
【详解】解：方程两边同乘，得，
整理可得：
故选：A．
2．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
经检验是该方程的解，
故选：D．
3．（2024·四川德阳·中考真题）分式方程的解是（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．先去分母化分式方程为整式方程，求出方程的解后再检验即可．
【详解】解：，
去分母，得，
解得，
当时，，
∴是原方程的解．
故选D
4．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】解：分式方程的两侧同乘得：．
故选：B．
5．（2023·海南·中考真题）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，解方程得到的值，再检验即可得到答案．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
检验，当时，，
原分式方程的解是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，注意要检验．
6．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
方程两边同时乘以，化为整式方程即可求解．
【详解】解：
程两边同时乘以得，
解得：
经检验，是原方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
7．（2023·湖南·中考真题）将关于x的分式方程去分母可得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】方程两边都乘以，从而可得答案．
【详解】解：∵，
去分母得：，
整理得：，
故选A．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键．
8．（2023·甘肃兰州·中考真题）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得解．
【详解】解：去分母得：，
解得，
经检验是分式方程的解．
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
9．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设，则原方程可变形为，
即；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
10．（2024·浙江·中考真题）若，则
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故答案为：
11．（2024·北京·中考真题）方程的解为 .
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．
先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根．
【详解】解：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以，原方程的解为，
故答案为：．
12．（2024·四川宜宾·中考真题）分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴方程的根为，
故答案为：．
13．（2023·江苏·中考真题）方程的解是 ．
【答案】
【分析】将分式方程转化为整式方程，求解即可．
【详解】解：由可得：
解得
经检验是原分式方程的解，
故答案为：
【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法．
14．（2023·北京·中考真题）方程的解为 ．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
15．（2023·江苏苏州·中考真题）分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程验根即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
16．（2023·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】4
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
17．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 ．
【答案】1
【分析】根据程序分析即可求解．
【详解】解：∵输出y的值是2，
∴上一步计算为或
解得（经检验，是原方程的解），或
当符合程序判断条件，不符合程序判断条件
故答案为：1
【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键．
18．（2022·四川成都·中考真题）分式方程的解是 ．
【答案】
【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．
【详解】解：
解：化为整式方程为：3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键．
19．（2024·福建·中考真题）解方程：．
【答案】．
【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题．
【详解】解：，
方程两边都乘，得．
去括号得：，
解得．
经检验，是原方程的根．
20．（2024·陕西·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
21．（2024·广东广州·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
该分式方程的解为．
22．（2023·西藏·中考真题）解分式方程：．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再求解即可．
【详解】
，
经检验，是原方程的根，
故原方程的解为：．
【点睛】本题考查了求解分式方程的知识，掌握相应的求解方程，是解答本题的关键．注意：解分式方程时，要将所求的解代入原方程进行检验．
23．（2023·山西·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
24．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．
25．（2022·江苏苏州·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】根据解分式方程的步骤求出解，再检验即可．
【详解】方程两边同乘以，得．
解方程，得．
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．即去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．
二、考点02 分式方程的解
26．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A．B．且
C．D．且
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范围为且，
故选：．
27．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A．且B．C．D．且
【答案】A
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解是负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，
故选：．
28．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．
【详解】解：去分母得，，
整理得，，
当时，方程无解，
当时，令，
解得，
所以关于x的分式方程无解时，或．
故选：A．
29．（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】将代入方程，即可求解．
【详解】解：将代入方程，得
解得：
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程．
30．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是非负数，
∴，且，
∴且，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．
31．（2022·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．－26B．－24C．－15D．－13
【答案】D
【分析】根据不等式组的解集，确定a＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a＜1，根据分式方程的增根，确定a≠-2，计算即可．
【详解】∵ ，
解①得解集为，解②得解集为，
∵ 不等式组的解集为，
∴，
解得a＞-11，
∵ 的解是y=，且y≠-1，的解是负整数，
∴a＜1且a≠-2，
∴-11＜a＜1且a≠-2，
故a=-8或a=-5，
故满足条件的整数的值之和是-8-5=-13，
故选D．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．
32．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可．
【详解】解：，
化简得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
由方程的解是正整数，得到为正整数，即或，
解得：或（舍去，会使得分式无意义）．
故答案为：．
33．（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
解分式方程得，
∵关于的分式方程的解均为负整数，
∴且是整数且，
∴且且a是偶数，
∴且且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：．
34．（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ．
【答案】或2
【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到，再根据分式方程无解得到或，解关于k的方程即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
∵关于的方程无解，
∴当或时，分式方程无解，
解得：或（经检验是原方程的解），
即或，无解．
故答案为：或2．
35．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程有增根，则 ．
【答案】
【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出．
【详解】，
解：方程两边同时乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
三、考点03 分式方程的应用
36．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A．200B．300C．400D．500
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，
根据题意，得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
答：改造后每天生产的产品件数．
故选：B．
37．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（ ）
A．60，30B．90，120C．60，90D．90，60
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克．
故选：D．
38．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，再根据时间工作总量工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可．
【详解】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，
由题意得，
故选：D．
39．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
40．（2023·山东青岛·中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 ．
【答案】
【分析】根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元，
∴乙种劳动工具单价为元．
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
41．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）甲、乙两船从相距150km的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行90km时与从地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 km/h．
【答案】6
【分析】设江水的流速为千米每小时，则甲速度为，乙速度为，根据行驶时间相等列出方程解答即可．
【详解】解：设江水的流速为千米每小时，根据题意得：
，
解得，
经检验符合题意，
答：江水的流速．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了列分式方程，读懂题意找出等量关系是解本题的关键．
42．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．

【答案】
【分析】设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．
∴，
解得，
经检验是方程的根且符合题意，
∴两图象交点的纵坐标是．
故答案为：
【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键．
43．（2022·江西·中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 ．
【答案】
【分析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．
【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键．
44．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
【答案】型车的平均速度为
【分析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．
【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，
根据题意可得，，
整理得，，
解得，
经检验是该方程的解，
答：型车的平均速度为．
45．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
【答案】B型机器每天处理60吨垃圾
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的解．
答：B型机器每天处理60吨垃圾．
46．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
(3)两次漂洗的方法值得推广学习
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；
（1）把，代入， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【详解】（1）解：把，代入
得，
解得．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
（2）解：第一次漂洗：
把，代入，
∴，
第二次漂洗：
把，代入，
∴，
而，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
47．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
(2)需要更新设备费用为万元
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
（1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可；
（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解．
【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则
，
解得：，
则；
答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
（2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
则，
则还需要更新设备费用为（万元）；
48．（2023·山东济南·中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
49．（2023·辽宁沈阳·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工个这种零件，甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．
【答案】乙每小时加工个这种零件．
【分析】设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件，利用“甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等”列分式方程即可求解．
【详解】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：乙每小时加工个这种零件．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列出方程进行求解．
50．（2023·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍．
(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：，解得，经检验是原方程的解．
乙：，解得，经检验是原方程的解．
则甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______；
(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？
【答案】(1)型玩具的单价；购买型玩具的数量
(2)最多购进型玩具个
【分析】（1）根据方程表示的意义，进行作答即可；
（2）设最多购进型玩具个，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：对于甲：表示的是：用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，
∴分别表示型玩具和型玩具的数量，
∴表示型玩具的单价；
对于乙：表示的是：型玩具单价是型玩具单价的倍，
∴，分别表示表示型玩具和型玩具的单价，
∴表示购买型玩具的数量；
故答案为：型玩具的单价；购买型玩具的数量
（2）设购进型玩具个，则购买型玩具个，
由（1）中甲同学所列方程的解可知：型玩具的单价为5元，则型玩具的单价为元，
由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴；
答：最多购进型玩具个．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
51．（2023·山东·中考真题）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度．
【答案】大型客车的速度为
【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为12分钟列方程解答.
【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，
根据题意得
，
解得：，
经检验，是原方程的根.
故大型客车的速度为.
【点睛】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，此题的等量关系是快车与慢车所用时间差为12分钟.
52．（2023·贵州·中考真题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
(1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；
(2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．
【答案】(1)
(2)125件
【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了”列代数式即可；
（2）根据题意列分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了，
更新设备后每天生产产品数量为：（件），
故答案为：；
（2）解：由题意知：，
去分母，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（件），
因此更新设备后每天生产125件产品．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程．
53．（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．
54．（2023·重庆·中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
【答案】(1)购买杂酱面80份，购买牛肉面90份
(2)购买牛肉面60份
【分析】（1）设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，由题意知，，解方程可得的值，然后代入，计算求解，进而可得结果；
（2）设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，由题意知，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，
由题意知，，
解得，，
∴，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；
（2）解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，
由题意知，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴购买牛肉面60份．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．