湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系导学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系导学案，共6页。

教材要点
要点 基本不等式
定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥____________，当且仅当a＝b时，等号成立．
推论：对任意a，b≥0，必有____________，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中a+b2称为正数a，b的________，ab称为正数a，b的____________．
状元随笔 不等式a+b2≥ab与不等式a2＋b2≥2ab的异同
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当a，b同号时，ba+ab≥2.( )
(2)函数y＝x＋1x的最小值为2.( )
(3)6和8的几何平均数为23.( )
(4)不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a+b2有相同的适用范围．( )
2．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2ab
C．1a+1b＞2ab D．ba+ab≥2
3．若a＞1，则a＋1a−1的最小值是( )
A．2 B．a
C．2aa−1 D．3
4．已知x，y都是正数．
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
题型1 利用基本不等式比较大小
例1 若a≥b＞0，试比较a, a2+b22，a+b2，ab，21a+1b，b的大小．
方法归纳
一般地，若给出的数(式)涉及两个正数的和、积或两个实数的平方和，则可考虑利用重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R，a＞0，b＞0)和基本不等式a+b2≥ab(a＞0，b＞0)来比较它们的大小，但此时应特别注意能否取到等号．
跟踪训练1 (1)若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2ab，2ab，a2＋b2中最大的一个是( )
A．a2＋b2 B．2ab
C．2ab D．a＋b
(2)已知a＞b＞c，则a−bb−c与a−c2的大小关系是________________.
题型2 利用基本不等式证明不等式
例2 已知a，b，c＞0，求证：a2b+b2c+c2a≥a＋b＋c.
方法归纳
(1)在利用a＋b≥2ab时，一定要注意是否满足条件a＞0，b＞0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2ab或a+b2≥ab(a＞0，b＞0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．
(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．
跟踪训练2 已知实数x，y均为正数，求证：(x＋y)(4x+9y)≥25.
题型3 利用基本不等式求最值
例3 (1)对于代数式12x＋4x.
①当x>0时，求其最小值；
②当x0，b>0，证明：b2a+a2b≥a＋b.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点
2ab a+b2≥ab 算术平均数 几何平均数
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以ba＞0，ab＞0，所以ba+ab≥2ba·ab(当且仅当a＝b时取等号)，即ba+ab≥2成立．故选D.
答案：D
3．解析：a>1，所以a－1>0，
所以a＋1a−1＝a－1＋1a−1＋1≥2a−1·1a−1＋1＝3.
当且仅当a－1＝1a−1即a＝2时取等号．故选D.
答案：D
4．解析：(1)x＋y≥2xy＝215，即x＋y的最小值是215；当且仅当x＝y＝15时取最小值．
(2)xy≤x+y22＝1522＝2254，
即xy的最大值是2254.
当且仅当x＝y＝152时xy取最大值．
答案：(1)215 (2)2254
题型探究·课堂解透
例1 解析：∵a≥b>0，∴ a2+b22≤ a2+a22＝a，∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
∴a2+b22≥a+b22.
又a>0，b>0，则 a2+b22≥ a+b22＝a+b2.
由a>0，b>0，得a+b2≥ab，
∵1a+1b2≥ 1a·1b，∴ab≥21a+1b，
∵21a+1b－b＝ba−ba+b≥0，∴21a+1b≥b，
∴a≥ a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b≥b.
跟踪训练1 解析：(1)方法一 ∵0b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.
方法二 取a＝12，b＝13，则a2＋b2＝1336，
2ab＝63，2ab＝13，a＋b＝56，
显然56最大，故选D.
(2)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴a−c2＝a−b+b−c2≥a−bb−c，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立．
答案：(1)D (2)a−bb−c≤a−c2
例2 证明：∵a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，
∴a2b＋b≥ 2a2b·b＝2a，
当且仅当a2b＝b时等号成立．
b2c＋c≥2b2c·c＝2b，
当且仅当b2c＝c时等号成立．
c2a＋a≥2c2a·a＝2c，
当且仅当c2a＝a时等号成立．
相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，
∴a2b+b2c+c2a≥a＋b＋c.
跟踪训练2 证明：(x＋y)4x+9y＝4＋9＋4yx+9xy＝13＋4yx+9xy，
又因为x>0，y>0，所以4yx>0，9xy>0，
由基本不等式得，4yx+9xy≥24yx·9xy＝12，当且仅当4yx＝9xy时，取等号，
即2y＝3x时取等号，所以(x＋y)4x+9y≥25.
例3 解析：(1)①∵x>0，∴12x>0，4x>0.
∴12x＋4x≥212x·4x＝83.
当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，
∴当x>0时，原式的最小值为83.
②∵x0.
则－12x+4x＝12−x＋(－4x)≥212−x·−4x＝83，当且仅当12−x＝－4x时，即x＝－3时取等号．
∴12x＋4x≤－83.
∴当x0，
∴x＋4x−2＝(x－2)＋4x−2＋2≥2x−2·4x−2＋2＝6.
当且仅当x－2＝4x−2，
即x＝4时，x＋4x−2取最小值6.
跟踪训练3 解析：(1)∵01，令t＝x－1(t>0)，则x＝t＋1，
所以y＝4x2−8x+5x−1＝4t+12−8t+1+5t＝4t2+1t＝4t＋1t≥24t·1t＝4.
当且仅当4t＝1t，即t＝12，x＝32时取等号．
所以y＝4x2−8x+5x−1的最小值为4.
答案：(1)B (2)－1 (3)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：∵命题p：∀a，b∈R，ab≤a+b22，
∴¬p：∃a，b∈R，ab＞a+b22，故A错误；
当a，b一正一负时，ab＜0，a+b22≥0，ab≤a+b22；
当a，b中至少一个为0时，ab＝0，a+b22≥0，ab≤a+b22；
当a，b均为负数时，a＋b＝－(－a－b)≤－2ab，
整理得ab≥a+b22，当且仅当a＝b时取等号；
当a，b均为正数时，a＋b≥2ab，整理得ab≤a+b22，当且仅当a＝b时，取等号．
∴命题p：∀a，b∈R，ab≤a+b22是假命题，故B，D均错误，C正确．故选C.
答案：C
2．解析：A项中，可能ba0，1a+1b≥21ab>0，相乘得(a＋b)1a+1b≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋9a≥2a·9a＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，2aba+b≤ab(a>0，b>0)，所以D不正确．故选B.
答案：B
3．解析：由基本不等式知等号成立的条件为9x−2＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
答案：C
4．解析：依题意得y＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2，当且仅当t＝1时等号成立，即函数y＝t2−4t+1t(t>0)的最小值是－2.
答案：－2
5．证明：∵a>0，b>0，∴b2a＋a≥2b，a2b＋b≥2a，∴b2a+a2b≥a＋b.最新课程标准
学科核心素养
掌握基本不等式ab≤a+b2(a＞0，b＞0)．
1.理解基本不等式的几何意义及其推导过程．(直观想象、逻辑推理)
2．会用基本不等式解决最值问题．(逻辑推理、数学运算)
a2＋b2≥2ab
a+b2≥ab
适用
范围
a，b∈R
a＞0，b＞0
文字
叙述
两数的平方和不小于它们积的2倍
两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值
“ ＝”成
立的条件
a＝b
a＝b