高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数学案及答案

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数学案及答案，共8页。
教材要点
要点一 根式
1．a的n次方根定义
若一个(实)数x的n次方(n∈N，且n≥2)等于a，即________．则称x是a的n次方根．
2．a的n次方根的表示
3.根式：式子__________叫作根式，n叫作__________，a叫作__________．
状元随笔 (1)在n次方根的概念中，关键是数a的n次方根x满足xn ＝a，因此求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.
(2)n次方根实际上就是平方根与立方根的推广．
(3)n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算．
要点二 根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据
(1)________没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作 eq \r(n,0) ＝________．
(3)( eq \r(n,a) )n＝________(n∈N*，且n＞1).
(4) eq \r(n,an) ＝a(n为大于1的奇数).
(5) eq \r(n,an) ＝|a|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( ，a≥0, ，a＜0)) (n为大于1的偶数).
eq \a\vs4\al(状元随笔) eq \r(n,an) 与( eq \r(n,a) )n的区别
(1) eq \r(n,an) 是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时， eq \r(n,an) ＝a；当n为偶数时， eq \r(n,an) ＝|a|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a ，a ＜0.))
(2)( eq \r(n,a) )n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.
要点三 分数指数幂
eq \a\vs4\al(状元随笔) 分数指数幂是根式的一种表示形式，即a eq \s\up6(\f(m,n)) ＝ eq \r(n,am) ，分数指数不能随意约分，如(－3) eq \s\up6(\f(2,4)) 约分后为(－3) eq \s\up6(\f(1,2)) ＝ eq \r(－3) ，而 eq \r(－3) 在实数范围内是无意义的．
要点四 有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)实数a的奇次方根只有一个．( )
(2)当n∈N*时，( eq \r(n,－2) )n＝－2.( )
(3)( eq \r(n,a) )n中实数a的取值范围是任意实数．( )
(4)分数指数幂与根式可以相互转化，如 eq \r(4,a2) ＝a eq \s\up6(\f(1,2)) .( )
2．下列各式正确的是( )
A． eq \r(（－3）2) ＝－3 B． eq \r(4,a4) ＝a
C．( eq \r(3,－2) )3＝－2 D． eq \r(3,（－2）3) ＝2
3．将根式 eq \r(5,a－3) 化为分数指数幂是( )
A．a－ eq \f(3,5) B．a eq \s\up6(\f(3,5)) C．－a eq \s\up6(\f(3,5)) D．－a eq \s\up6(\f(5,3))
4. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(81,625))) eq \s\up12(－\f(1,4)) 的值是________．
题型1 根式的化简与求值
例1 (1)化简 eq \r(3,a3) ＋ eq \r(4,（1－a）4) 的结果是( )
A．1 B．2a－1
C．1或2a－1 D．0
(2)计算下列各式
① eq \r(5,（－2）5) ＋( eq \r(5,（－2）) )5；
② eq \r(6,（－2）6) ＋( eq \r(6,2) )6；
③ eq \r(3＋2\r(2)) ＋ eq \r(3－2\r(2)) .
方法归纳
根式化简或求值的策略
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
跟踪训练1 (1)下列各式正确的是( )
A． eq \r(8,a8) ＝a B．a0＝1
C． eq \r(4,（－4）4) ＝－4 D． eq \r(5,（－5）5) ＝－5
(2)计算下列各式：
① eq \r(6,（3－π）6) ＝________．
② eq \r(6\f(1,4)) － eq \r(3,3\f(3,8)) － eq \r(3,0.125) ＝________．
根式与分数指数幂的互化
例2 (1)将分数指数幂a－ eq \f(3,4) (a＞0)化为根式为________．
(2)化简：(a2· eq \r(5,a3) )÷( eq \r(a) · eq \r(10,a9) )＝________．(用分数指数幂表示)
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．
①a3· eq \r(3,a2) .
② eq \r(a－4·b2·\r(3,ab2)) (a＞0，b＞0).
方法归纳
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法：根指数← eq \(――→,\s\up7(化为 )) 分数指数的分母，被开方数(式)的指数← eq \(――→,\s\up7(化为 )) 分数指数的分子．
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
特别提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．
跟踪训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－ eq \r(x) ＝(－x) eq \s\up6(\f(1,2)) (x＞0) B． eq \r(6,y2) ＝y eq \s\up6(\f(1,3)) (y＜0)
C．x−34＝ eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))\s\up12(3)) (x＞0) D．x−13＝－ eq \r(3,x) (x≠0)
题型3 指数幂的化简与求值
例3 (1)化简：
①a eq \s\up6(\f(2,3)) b eq \s\up6(\f(1,2)) ·(－3a eq \s\up6(\f(1,2)) b eq \s\up6(\f(1,3)) )÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(5,6)))) ；
②(m eq \s\up6(\f(1,4)) n－ eq \f(3,8) )8；
③( eq \r(3,a2) － eq \r(a3) )÷ eq \r(4,a2) .
(2)求值：
① eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5))) eq \s\up12(0) ＋2－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4))) eq \s\up12(－\f(1,2)) －0.010.5；
②0.064－ eq \f(1,3) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,8))) eq \s\up12(0) ＋[(－2)3]－ eq \f(4,3) ＋16－0.75＋|－0.01| eq \s\up6(\f(1,2)) .
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练3 (1)计算：(－1.8)0＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(－2) · eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))\s\up12(2)) － eq \f(1,\r(0.01)) ＋ eq \r(93) ；
(2)化简：(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c).
eq \a\vs4\al(易错辨析) 忽视根式中的变量条件致误
例4 式子a eq \r(－\f(1,a)) 经过计算可得( )
A． eq \r(－a) B． eq \r(a)
C．－ eq \r(a) D．－ eq \r(－a)
解析：因为 eq \r(－\f(1,a)) 成立，所以a＜0，所以a eq \r(－\f(1,a)) ＝a eq \r(－\f(a,a2)) ＝ eq \f(a,|a|) eq \r(－a) ＝－ eq \r(－a) .
故选D.
答案：D
易错警示
课堂十分钟
1．将 eq \r(3,－2\r(2)) 化为分数指数幂，其形式是( )
A．2 eq \s\up6(\f(1,2)) B．－2 eq \s\up6(\f(1,2))
C．2−12 D．－2−12
2．已知m＜ eq \f(2,3) ，则化简 eq \r(4,（3m－2）2) 的结果为( )
A． eq \r(3m－2) B．－ eq \r(3m－2)
C． eq \r(2－3m) D．－ eq \r(2－3m)
3．若2＜a＜3，化简 eq \r(（2－a）2) ＋ eq \r(4,（3－a）4) 的结果是( )
A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
4．计算 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8))) eq \s\up6(\f(2,3)) ＝________．
5．计算：0.0001－ eq \f(1,4) ＋27 eq \s\up6(\f(2,3)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(49,64))) － eq \f(1,2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9))) －1.5.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
1．xn＝a
2. eq \r(n,a) ± eq \r(n,a) [0，＋∞)
3. eq \r(n,a) 根指数 被开方数
要点二
(1)负数 (2)0 (3)a (5)a －a
要点三
0 无意义
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．解析：由于 eq \r(（－3）2) ＝3， eq \r(4,a4) ＝|a|， eq \r(3,（－2）3) ＝－2，故选项A、B、D错误，故选C.
答案：C
3．解析： eq \r(5,a－3) ＝a－ eq \f(3,5) .
答案：A
4．解析： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(81,625))) eq \s\up12(－\f(1,4)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(625,81))) 14＝ eq \r(4,\f(625,81)) ＝ eq \r(4,\f(54,34)) ＝ eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))\s\up12(4)) ＝ eq \f(5,3) .
答案： eq \f(5,3)
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)原式＝a＋|1－a|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，a≤1，,2a－1，a>1.)) 故选C.
(2)①原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
②原式＝|－2|＋2＝4.
③原式＝ eq \r(（\r(2)）2＋2\r(2)＋1) ＋ eq \r(（\r(2)）2－2\r(2)＋1) ＝ eq \r(（\r(2)＋1）2) ＋ eq \r(（\r(2)－1）2) ＝ eq \r(2) ＋1＋ eq \r(2) －1＝2 eq \r(2)
答案：(1)C (2)见解析
跟踪训练1 解析：(1)由于 eq \r(n,an) ＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|a|，n为偶数，,a，n为奇数，)) 则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.
(2)① eq \r(6,（3－π）6) ＝ eq \r(6,（π－3）6) ＝π－3.
② eq \r(6\f(1,4)) － eq \r(3,3\f(3,8)) － eq \r(3,0.125) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up12(2)) － eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(3)) － eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(3)) ＝ eq \f(5,2) － eq \f(3,2) － eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) .
答案：(1)D (2)①π－3 ② eq \f(1,2)
例2 解析：(1)a－ eq \f(3,4) ＝ eq \f(1,a\s\up6(\f(3,4))) ＝ eq \f(1,\r(4,a3)) .
(2)(a2· eq \r(5,a3) )÷( eq \r(a) · eq \r(10,a9) )＝(a2·a eq \s\up6(\f(3,5)) )÷(a eq \s\up6(\f(1,2)) ·a eq \s\up6(\f(9,10)) )＝a eq \s\up6(\f(13,5)) ÷a eq \s\up6(\f(7,5)) ＝a eq \f(13,5) － eq \f(7,5) ＝a eq \s\up6(\f(6,5)) .
(3)①a3· eq \r(3,a2) ＝a3·a eq \s\up6(\f(2,3)) ＝a3＋ eq \f(2,3) ＝a eq \s\up6(\f(11,3)) .
② eq \r(a－4·b2·\r(3,ab2)) ＝ eq \r(a－4·b2·（ab2）\f(1,3)) ＝a−4∙b2∙a13∙b23＝a−113∙b83＝a－ eq \f(11,6) ·b43
答案：(1) eq \f(1,\r(4,a3)) . (2)a eq \s\up6(\f(6,5)) (3)见解析
跟踪训练2 解析：－ eq \r(x) ＝－x eq \s\up6(\f(1,2)) (x>0)； eq \r(6,y2) ＝(y2) eq \s\up6(\f(1,6)) ＝－y eq \s\up6(\f(1,3)) (y0)；
x－ eq \f(1,3) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))) 13＝ eq \r(3,\f(1,x)) (x≠0).
答案：C
例3 解析：(1)①原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3÷\f(1,3))) ×a eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,2) － eq \f(1,6) b eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) － eq \f(5,6) ＝－9a.
② eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m\s\up6(\f(1,4))n－\f(3,8))) eq \s\up12(8) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m\s\up6(\f(1,4)))) eq \s\up12(8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(3,8))) eq \s\up12(8)
＝m2n－3
＝ eq \f(m2,n3) .
③( eq \r(3,a2) － eq \r(a3) )÷ eq \r(4,a2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(2,3))－a\s\up6(\f(3,2)))) ÷a12
＝a eq \s\up6(\f(2,3)) ÷a eq \s\up6(\f(1,2)) －a eq \s\up6(\f(3,2)) ÷a eq \s\up6(\f(1,2))
＝a eq \f(2,3) － eq \f(1,2) －a eq \f(3,2) － eq \f(1,2)
＝a eq \s\up6(\f(1,6)) －a
＝ eq \r(6,a) －a.
(2)①原式＝1＋ eq \f(1,4) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9))) eq \s\up6(\f(1,2)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100))) 12＝1＋ eq \f(1,6) － eq \f(1,10) ＝ eq \f(16,15) ；
②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝ eq \f(10,4) －1＋ eq \f(1,16) ＋ eq \f(1,8) ＋ eq \f(1,10) ＝ eq \f(143,80) .
跟踪训练3 解析：(1)原式＝1＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8))) 23－10＋932＝1＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(2) －10＋27＝29－10＝19.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－ eq \f(1,3) a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ eq \f(a,3c) .
[课堂十分钟]
1．解析： 3−22 =（−22）13 =（−2×212）13=（−232）13= -212
答案：B
2．解析：∵m