高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.2 任意角的三角函数导学案

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.2 任意角的三角函数导学案，共9页。
教材要点
要点一 诱导公式一
(1)语言表示：终边相同的角的________三角函数值相等．
(2)式子表示sinα+2kπ=________，csα+2kπ=________，tanα+2kπ=________，其中k∈Z.
要点二 诱导公式二
要点三 诱导公式三
要点四 诱导公式四
状元随笔 诱导公式一～四的理解
(1)公式一～四中角α是任意角．
(2)公式一概括为：终边相同的角的同一三角函数值相等．
(3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：
①记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin (π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin (π＋α)＝－sin α.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式中的角α一定是锐角．( )
(2)口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．( )
(3)由公式三知cs [－(α－β)]＝－cs (α－β)．( )
(4)在△ABC中，sin (A＋B)＝sin C．( )

2．sin 600°的值是( )
A．12 B．－12 C．32 D．－32
3．若sin (π＋α)＝－12，则sin (4π－α)的值是( )
A．－12 B．12 C．－32 D．32
4．化简：cs−αtan7π+αsinπ+α＝________．
题型1 给角求值问题
例1 (1)sin 43π·cs 56π·tan −43π的值是( )
A．－334 B．334
C．－34 D．34
(2)sin2120°＋cs180°＋tan 45°－cs2(－330°)＋sin(－210°)＝________．
方法归纳
利用诱导公式解决给角求值问题的方法
(1)“负化正”；
(2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1 (1)sin 16π3的值等于( )
A．12 B．32
C．－12 D．－32
(2)sin 585°cs 1290°＋cs (－30°)cs 135°＋tan 135°＝________．
题型2 给值(或式)求值问题
例2 (1)若sin (π＋α)＝12，α∈−π2，0，则tan (π－α)等于( )
A．－12 B．－32
C．－3 D．33
(2)已知cs π6−α＝33，求cs 5π6+α－sin2α−π6.
变式探究 本例(2)中的条件不变，求cs7π6−α－sin2α−13π6.
方法归纳
解决条件求值问题的方法
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
跟踪训练2 (1)已知sin(π－α)＝14，则sin (π＋α)＝________．
(2)已知sin2π−αcsπ+αcsπ−αsin3π−αsin−π−α＝3，求tan (5π－α)的值．
题型3 化简求值问题
例3 (1)计算：cs π7＋cs 2π7＋cs 3π7＋cs 4π7＋cs 5π7＋cs 6π7＝________．
(2)化简：csπ+αcs3π−αtanπ+αsinπ+αcs−α−π .
方法归纳
三角函数式化简的方法和技巧
方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，灵活应用相关的公式及变形解决．
技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．
跟踪训练3 csπ+α·sin23π+αtan4π+α·tanα−π·cs3−α的值为( )
A．1 B．－1
C．sinα D．tan α
易错辨析 不能正确理解“符号看象限”的含义致误
例4 已知cs (π＋α)＝m，α∈π，3π2，则sin (5π＋α)＝________．
解析：∵cs (π＋α)＝－cs α＝m，
∴cs α＝－m，
∴sin (5π＋α)＝sin (π＋α)＝－sin α＝－−1−cs2α
＝1−m2.
答案：1−m2
易错警示
课堂十分钟
1．cs−19π6＝( )
A．－32 B．－12
C．12 D．32
2．若cs (π＋α)＝－12，3π2＜α＜2π，则sin (2π＋α)等于( )
A．12 B．±32
C．32 D．－32
3．已知α∈π2，π，tan α＝－34，则sin (α＋π)＝( )
A．35 B．－35
C．45 D．－45
4．已知cs π12−α＝24，则cs α+11π12的值为________．
5．化简cs180°+αsinα+360°tan−α−180°cs−180°+α.
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
同一 sinα cs α tan α
要点二
x轴 －sin α cs α
要点三
原点 －sin α －cs α tan α
要点四
y轴 sin α －cs α －tan α
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：sin 600°＝sin (600°－720°)＝sin (－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－ eq \f(\r(3),2) .故选D.
答案：D
3．解析：∵sin (π＋α)＝－ eq \f(1,2) ，∴sin α＝ eq \f(1,2) ，sin (4π－α)＝－sin α＝－ eq \f(1,2) .故选A.
答案：A
4．解析：原式＝ eq \f(cs αtan α,－sin α) ＝ eq \f(sin α,－sin α) ＝－1.
答案：－1
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)sin eq \f(4,3) π·cs eq \f(5,6) π·tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)π))
＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3))) cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6))) tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(2π,3)))
＝－sin eq \f(π,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(π,6))) tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))
＝－ eq \f(\r(3),2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2))) ·(－ eq \r(3) )
＝－ eq \f(3\r(3),4) .
故选A.
(2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cs230°＋sin30°＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2))) eq \s\up12(2) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) .
答案：(1)A (2) eq \f(1,2)
跟踪训练1 解析：(1)sin eq \f(16π,3) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5π＋\f(π,3))) ＝－sin eq \f(π,3) ＝－ eq \f(\r(3),2) .故选D.
(2)原式＝sin (360°＋225°)cs (3×360°＋210°)＋cs 30°cs 135°＋tan 135°
＝sin 225°cs 210°＋cs 30°cs 135°＋tan 135°
＝sin (180°＋45°)cs (180°＋30°)＋cs 30°cs (180°－45°)＋tan (180°－45°)
＝sin 45°cs 30°－cs 30°cs 45°－tan 45°
＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(\r(3),2) － eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(2),2) －1
＝－1.
答案：(1)D (2)－1
例2 解析：(1)因为sin (π＋α)＝－sin α，根据条件得sin α＝－ eq \f(1,2) ，
又∵α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0)) ，所以cs α＝ eq \r(1－sin2α) ＝ eq \f(\r(3),2) .
所以tanα＝ eq \f(sin α,cs α) ＝－ eq \f(1,\r(3)) ＝－ eq \f(\r(3),3) .
所以tan (π－α)＝－tan α＝ eq \f(\r(3),3) .故选D.
(2)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α)) －sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))
＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)))) －sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
＝－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)) － eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)) －1＋cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
＝ eq \f(－\r(3),3) －1＋ eq \f(1,3)
＝－ eq \f(2＋\r(3),3) .
答案：(1)D (2)－ eq \f(2＋\r(3),3)
变式探究 解析：cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－α)) －sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(13π,6)))
＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)))) －sin2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))－2π))
＝－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)) －sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
＝－ eq \f(\r(3),3) － eq \f(2,3)
＝－ eq \f(\r(3)＋2,3) .
跟踪训练2 解析：(1)因为sin(π－α)＝sin α＝ eq \f(1,4) ，
所以sin (π＋α)＝－sin α＝－ eq \f(1,4) .
(2)∵ eq \f(sin （2π－α）cs （π＋α）,cs （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）)
＝ eq \f(sin （－α）（－cs α）,－cs α·sin （π－α）·[－sin （π＋α）])
＝ eq \f(－sin α·（－cs α）,－cs α·sin α·sin α)
＝3，
∴sin α＝－ eq \f(1,3) ，
∴当α为第三象限角时，
cs α＝－ eq \f(2\r(2),3) ，tan α＝ eq \f(\r(2),4) ；
当α为第四象限角时，
cs α＝ eq \f(2\r(2),3) ，tan α＝－ eq \f(\r(2),4) .
∴tan (5π－α)＝tan (π－α)＝－tan α＝± eq \f(\r(2),4) .
答案：(1)－ eq \f(1,4) (2)见解析
例3 解析：(1)原式＝cs eq \f(π,7) ＋cs eq \f(2π,7) ＋cs eq \f(3π,7) ＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(3π,7))) ＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2π,7))) ＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,7))) ＝cs eq \f(π,7) ＋cs eq \f(2π,7) ＋cs eq \f(3π,7) －cs eq \f(3π,7) －cs eq \f(2π,7) －cs eq \f(π,7) ＝0.
(2)原式＝ eq \f(（－cs α）·（－cs α）·tan α,（－sin α）·（－cs α）) ＝ eq \f(cs α,sin α) · eq \f(sin α,cs α) ＝1.
答案：(1)0 (2)见解析
跟踪训练3 解析：原式＝ eq \f(－cs α·sin2α,tanα·tan α·cs3α) ＝ eq \f(－csα·sin2α,\f(sin2α,cs2α)·cs3α) ＝－1.
故选B.
答案：B
[课堂十分钟]
1．解析：cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,6))) ＝cs eq \f(19π,6) ＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋π＋\f(π,6))) ＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6))) ＝－cs eq \f(π,6) ＝－ eq \f(\r(3),2) .
故选A.
答案：A
2．解析：由cs (π＋α)＝－ eq \f(1,2) ，得cs α＝ eq \f(1,2) ，故sin (2π＋α)＝sin α＝－ eq \r(1－cs2α) ＝－ eq \f(\r(3),2) (α为第四象限角).故选D.
答案：D
3．解析：由tanα＝－ eq \f(3,4) ，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) 得sin α＝ eq \f(3,5) .又∵sin (α＋π)＝－sin α，∴sin (α＋π)＝－ eq \f(3,5) .
答案：B
4．解析：cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(11π,12))) ＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－α)))) ＝－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－α)) ＝－ eq \f(\r(2),4) .
答案：－ eq \f(\r(2),4)
5．解析：tan (－α－180°)＝tan [－(180°＋α)]
＝－tan (180°＋α)＝－tan α，
cs (－180°＋α)＝cs [－(180°－α)]
＝cs (180°－α)＝－cs α，
所以原式＝ eq \f(－cs αsin α,（－tan α）（－cs α）) ＝－cs α.
终边关系
图示
角－α与角α的终边关于________对称
公式
sin (－α)＝________，
cs (－α)＝________，
tan (－α)＝－tan α
终边关系
图示
角π＋α与角α的终边关于________对称
公式
sin (π＋α)＝________，
cs (π＋α)＝________，
tan (π＋α)＝________
终边关系
图示
角π－α与角α的终边关于________对称
公式
sin (π－α)＝________，
cs (π－α)＝________，
tan (π－α)＝________
易错原因
纠错心得
错误理解“符号看象限”，得到错解：
∵α∈π，3π2，∴π＋α∈2π，5π2，
∴π＋α是第一象限，∴cs(π＋α)＝cs α＝m，
∴sin (5π＋α)＝sin (π＋α)＝sin α＝－1−cs2α＝－1−m2.
在利用诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”判断三角函数符号时，不论角为何值，都应将它看作“锐角”处理．